2008年高考文科数学试卷中的数列题浅析.pdf

2008 年高考文科数学试卷中的数列题浅析 河南 木山河南 木山 文章来源 2008 年下半年度 试题与研究 数列 在高中数学教学大纲中只有 12 课时 在考纲中也只是要求 理解数列的概念 了解数列通项公式的意义 了解递推公式是给出数列的一种方法 并能根据递推公式写出 数列的前几项 理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 并能解 决简单的实际问题 理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 并 能解决简单的实际问题 等等 但是 在历年的高考中 都把数列当作重要的内容来考查 题目有一定的难度 深度和综合程度 在考查演绎推理能力中发挥着越来越重要的作用 纵观2008 年全国各省的高考文科数学试卷 涉及数列的题目大都是 一小一大 分值 17 分左右 约占试卷总分值的 1 9 难度大都为中低档 但也有少数省份将数列题作为把关 压轴题 如安徽卷 上海卷的第21题 重庆卷的第 22题等 下面 我们仅对其中的一些 题目进行简要的分析 例1 设 an 是等差数列 若 a2 3 a7 13 则数列 an 前8 项的和为 A 128 B 80 C 64 D 56 福建卷第 3题 略解 a2 a7 a1 a8 16 an 前 8项的和为 64 故应选 C 例2 已知等比数列 n a满足 1223 36aaaa 则 7 a A 64B 81C 128D 243 全国 卷第 7 题 答案 A 例 3 已知等差数列 n a中 2 6a 5 15a 若 2nn ba 则数列 n b的前 5 项和 等于 A 30B 45C 90D 186 北京卷第 7 题 略解 a5 a2 3d 9 d 3 b1 2 6a b5 a10 30 n b的前 5 项和等于 90 故答案是C 例4 记等差数列的前n项和为 n S 若 24 4 20SS 则该数列的公差d A 2 B 3 C 6 D 7 广东卷第 4 题 略解 422 412 3SSSdd 故选 B 例 5 在数列 n a中 5 4 2 n an 2 12n aaaanbn L nN 其中 a b为 常数 则ab 安徽卷第15 题 答案 1 1 例6 在数列 n a中 1 2a 1 1 ln 1 nn aa n 则 n a A 2lnn B 2 1 lnnn C 2lnnn D 1lnnn 江西卷第 5 题 答案 A 例 7 设数列 n a中 11 2 1 nn aaan 则通项 n a 四川卷 第16题 此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式 抓住 1 1 nn aan 中 1 nn aa 系数相同是找到方法的突破口 略 解 11 2 1 nn aaan 1 11 nn aan 12 21 nn aan 23 31 nn aan K 32 2 1aa 21 1 1aa 1 21 1a 将以上各式 相 加 得 1232 11 n annnn L 11 11 22 nnn n n 故应填 1 2 n n 1 例8 若 x 1 2x n的展开式中前三项的系数成等差数列 则展开式中x4项的系数为 A 6B 7C 8 D 9 重庆卷第10 题 答案 B 使用选择题 填空题形式考查的文科数列试题 充分考虑到文 理科考生在能力上的 差异 侧重于基础知识和基本方法的考查 命题设计时以教材中学习的等差数列 等比数 列的公式应用为主 如 例 4 以前的例题 例 5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变 化的一种特殊函数的理解 例 6 例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项 公式的能力 例 8 则考查二项展开式系数 等差数列等概念的综合运用 重庆卷第 1 题 浙江卷第 4 题 陕西卷第 4 题 天津卷第 4 题 上海卷第 14 题 全国 卷第 19 题等 都 是关于数列的客观题 可供大家作为练习 例 9 已知 an 是正数组成的数列 a1 1 且点 1 nn aa n N 在函数 y x2 1 的图象上 求数列 an 的通项公式 若数列 bn 满足 b1 1 bn 1 bn 2n a 求证 bn bn 2 b2n 1 福建卷第 20 题 略解 由已知 得 an 1 an 1 又 a1 1 所以数列 an 是以 1 为首项 公差为 1 的等差数列 故an 1 n 1 1 n 由 知 an n 从而 bn 1 bn 2n bn bn bn 1 bn 1 bn 2 b2 b1 b1 2n 1 2n 2 2 1 2n 1 bn bn 2 b 2 1 n 2n 1 2n 2 1 2n 1 1 2 2n 0 bn bn 2 b 2 1 n 对于第 小题 我们也可以作如下的证明 2 b2 1 bn bn 2 b 2 1 n bn 1 2n bn 1 2n 1 b 2 1 n 2n 1 bn 1 2n bn 1 2n 2n 1 2n bn 1 2n 1 2n bn 2n 2n 1 2n bn 2n 2n b1 2 2n 0 bn bn 2的所有 k 的值 并说明理由 湖南卷第20题 略解 I 22 311 1 cos 4sin44 22 aaa 22 422 1 cos 4sin24 aaa 一般地 当21 nkkN 时 22 212121 21 21 1 cos 4sin4 22 kkk kk aaa 即 2121 4 kk aa 所以数列 21k a 是 首项为 0 公差为 4 的等差数列 因 此 21 4 1 k ak 当 2 nk kN 时 22 2222 22 1 cos 4sin2 22 kkk kk aaa 所以数列 2k a是首项 为 2 公 比 为 2 的 等 比 数 列 因 此 2 2 k k a 故 数 列 n a的 通 项 公 式 为 2 2 1 21 2 2 n n nnkkN a nk kN II 由 I 知 1321kk Saaa L 044 1 2 1 kk k L 242kk Taaa L 21 22222 kk L 1 2 1 22 k k k k Sk k W T 于是 1 0 W 2 1 W 3 3 2 W 4 3 2 W 5 5 4 W 6 15 16 W 下面证明 当6k 时 1 k W 事实上 当6k 时 1 1 1 1 3 0 222 kk kkk kkk kkk WW 即 1 kk WW 又 6 1 W 所以当6k 时 1 k W 的所有k 的值为 3 4 5 例12 例13 代表了另一种重要的题型 从比较抽象的数列入手 给定数列的一些性 质 要求考生进行严格的逻辑推证 找到数列的通项公式 或证明数列的其他一些性质 这些试题对恒等证明能力提出了很高的要求 要求考生首先明确变形目标 然后根据变形 目标进行恒等变形 在变形过程中 不同的变形方法也可能简化原来的式子 也可能使其 更加复杂 所以还存在变形路径的选择问题 从以上例子不难看出 在考查相关知识内容的基础上 高考对数列的考查把重点放在 对数学思想和方法的考查 放在对思维能力以及创新意识和实践能力的考查上 往往突出 5 考查函数与方程的思想 数形结