辽宁卷,高考文科数学试卷.pdf

2010201020102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 辽宁卷辽宁卷 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 2010 辽宁 文 1 已知集合U 1 3 5 7 9 A 1 5 7 则 A 等于 A 1 3 B 3 7 9 C 3 5 9 D 3 9 答案 D 2 2010 辽宁 文 2 设a b为实数 若复数 bia i 21 1 i 则 A a 2 3 b 2 1 B a 3 b 1 C a 2 1 b 2 3 D a 1 b 3 答案 A 3 2010 辽宁 文 3 设Sn为等比数列 an 的前n项和 已知 3S3 a4 2 3S2 a3 2 则公比q 等于 A 3B 4C 5D 6 答案 B 4 2010 辽宁 文 4 已知a 0 函数f x ax2 bx c 若 0 x满足关于x的方程 2ax b 0 则下列 选项的命题中为假命题的是 A x R R R R f x f 0 x B x R R R R f x f 0 x C x R R R R f x f 0 x D x R R R R f x f 0 x 答案 C 5 2010 辽宁 文 5 如果执行下面的程序框图 输入n 6 m 4 那么输出的p等于 开始 输入 n m kp 1 1 p p n m k k m0 函数y sin x 3 2 的图像向右平移 3 4 个单位后与原图像 重合 则 的最小值是 A 3 2 B 3 4 C 2 3 D 3 答案 C 7 2010辽宁 文7 设抛物线y2 8x的焦点为F 准线为l P为抛物线上一点 PA l A为垂足 如果直线AF的斜率为 3 那么 PF 等于 A 43B 8C 83D 16 答案 B 8 2010 辽宁 文 8 平面上O A B三点不共线 设OA a a a a OB b b b b 则 OAB的面积等于 A 2 22 baba B 2 22 baba C 2 22 2 1 baba D 2 22 2 1 baba 答案 C 9 2010 辽宁 文 9 设双曲线的一个焦点为F 虚轴的一个端点为B 如果直线FB与该双曲 线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A 2B 3C 2 13 D 2 15 答案 D 10 2010 辽宁 文 10 设 a 2 b 5 m 且 a 1 b 1 2 则m等于 A 10B 10C 20D 100 答案 A 11 2010 辽 宁 文 11 已 知S A B C是 球O表 面 上 的 点 SA 平 面ABC AB BC SA AB 1 BC 2 则球O的表面积等于 A 4 B 3 C 2 D 答案 A 12 2010 辽宁 文 12 已知点P在曲线y 1 4 x e 上 为曲线在点P处的切线的倾斜角 则 的取值范围是 A 0 4 B 4 4 C 2 4 3 D 4 3 答案 D 第 卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 2010辽宁 文13 三张卡片上分别写上字母E E B 将三张卡片随机地排成一行 恰好排 成英文单词BEE的概率为 答案 3 1 14 2010 辽 宁 文 14 设Sn为 等 差 数 列 an 的 前n项 和 若S3 3 S6 24 则 a9 答案 15 15 2010 辽 宁 文 15 已 知 1 x y 4 且 2 x y 3 则z 2x 3y的 取 值 范 围 是 答案用区间表示 答案 3 8 16 2010辽宁 文16 如图 网格纸的小正方形的边长是1 在其上用粗线画出了某多面体的 三视图 则这个多面体最长的一条棱的长为 答案 23 三 解答题 本大题共 8 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 2010 辽 宁 文 17 在 ABC中 a b c分 别 为 内 角A B C的 对 边 且 2asinA 2b c sinB 2c b sinC 1 求A的大小 2 若 sinB sinC 1 试判断 ABC的形状 解 1 由已知 根据正弦定理得 2a2 2b c b 2c b c 即a2 b2 c2 bc 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccosA 故 cosA 2 1 A 120 2 由 1 得 sin2A sin2B sin2C sinBsinC 又 sinB sinC 1 得 sinB sinC 2 1 因为 0 B 90 0 C10 828 所以有 99 9 的把握认为 注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的 疱疹面积有差异 19 2010 辽宁 文 19 如图 棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形 B1C A1B 1 证明平面AB1C 平面A1BC1 2 设D是A1C1上的点 且A1B 平面B1CD 求A1D DC1的值 A B C D A 1 B 1 C1 解 1 证明 因为侧面BCC1B1是菱形 所以B1C BC1 又已知B1C A1B 且A1B BC1 B 所以B1C 平面A1BC1 又B1C平面AB1C 所以平面AB1C 平面A1BC1 A B C D A 1 B 1 C1 E 2 设BC1交B1C于点E 连结DE 则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线 因为A1B 平面B1CD 所以A1B DE 又E是BC1的中点 所以D为A1C1的中点 即A1D DC1 1 20 2010 辽宁 文 20 设F1 F2分别为椭圆C 2 2 a x 2 2 b y 1 a b 0 的左 右焦点 过F2的 直线l与椭圆C相交于A B两点 直线l的倾斜角为 60 F1到直线l的距离为 23 1 求椭圆C的焦距 2 如果 2 AF 2BF2 求椭圆C的方程 解 1 设焦距为 2c 由已知可得F1到直线l的距离3c 23 故c 2 所以椭圆C的焦距为 4 2 设A x1 y1 B x2 y2 由题意知y10 直线l的方程为y 3 x 2 联立 1 2 3 2 2 2 2 b y a x xy 得 3a2 b2 y2 43b2y 3 4 b 0 解得y1 22 2 3 22 3 ba ab y2 22 2 3 22 3 ba ab 因为 2 AF 2BF2 所以 y1 2y2 即 22 2 3 22 3 ba ab 2 22 2 3 22 3 ba ab 得a 3 而a2 b2 4 所以b 5 故椭圆C的方程为 9 2 x 5 2 y 1 21 2010 辽宁 文 21 已知函数f x a 1 lnx ax2 1 1 讨论函数f x 的单调性 2 设a 2 证明 对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 解 1 f x 的定义域为 0 f x x a1 2ax x aax12 2 当a 0 时 f x 0 故f x 在 0 上单调增加 当a 1 时 f x 0 故f x 在 0 上单调减少 当 1 a0 当x a a 2 1 时 f x 0 故f x 在 0 a a 2 1 上单调增加 在 a a 2 1 上单调减少 2 证明不妨假设x1 x2 由于a 2 故f x 在 0 上单调减少 所以 f x1 f x2 4 x1 x2 等价于f x2 f x1 4x1 4x2 即f x2 4x2 f x1 4x1 令g x f x 4x 则g x x a1 2ax 4 x axax142 2 于是g x x xx144 2 x x 2 12 0 从而g x 在 0 上单调减少 故g x1 g x2 即f x1 4x1 f x2 4x2 故对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 22 2010 辽宁 文 22 选修 4 1 几何证明选讲 如图 ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E 1 证明 ABE ADC 2 若 ABC的面积S 2 1 AD AE 求 BAC的大小 A B C D E 1 证明 由已知条件 可得 BAE CAD 因为 AEB与 ACB是同弧上的圆周角 所以 AEB ACD 故 ABE ADC 2 解 因为 ABE ADC 所以 AE AB AC AD 即AB AC AD AE 又S 2 1 AB ACsin BAC 且S 2 1 AD AE 故AB ACsin BAC AD AE 则 sin BAC 1 又 BAC为三角形内角 所以 BAC 90 23 2010 辽宁 文 23 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知P为半圆C sin cos y x 为参数 0 上的点 点A的坐标为 1 0 O为坐标 原点 点M在射线OP上 线段OM与C的弧AP的长度均为 3 1 以O为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求点M的极坐标 2 求直线AM的参数方程 解 1 由已知 M点的极角为 3 且M点的极径等于 3 故点M的极坐标为 3 3 2 M点的直角坐标为 6 6 3 A 1 0 故直线AM的参数方程为 ty tx 6 3 1 6 1 t为参数 24 2010 辽宁 文 24 选修 4 5 不等式选讲 已知a b c均为正数 证明a2 b2 c2 a 1 b 1 c 1 2 63 并确定a b c为何值时 等号成立 证法一 因为a b c均为正数 由平均值不等式得 a2 b2 c2 3 3 2 abc a 1 b 1 c 1 3 3 1 abc 所以 a 1 b 1 c 1 2 9 3 2 abc 故a2 b2 c2 a 1 b 1 c 1 2 3 3 2 abc 9 3 2 abc 又 3 3 2 abc 9 3 2 abc 227 63 所以原不等式成立 当且仅当a b c时 式和 式等号成立 当且仅当 3 3 2 abc 9 3 2 abc时 式等号成立 即当且仅当a b c 4 1 3时 原式等号成立 证法二 因为a b c均为正数 由基本不等式得a2 b2 2ab b2 c2