2011年高考数学试卷解析版-新课标卷［文理两份］

2011 年高考数学试卷解析版 理两份 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分。第卷 1 至 2 页。第卷 3至 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 。 第卷 注意事项： 1答题前，考生在答题卡上务必用直径 米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚， 并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号， 在试题卷上作答无效。 3第 卷共 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）已知集合 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 3 , 5 , ,M N P M N 的子集共有 （ A） 2个 （ B） 4 个 （ C） 6 个 （ D） 8个 解析：本题考查交集和子集概念，属于容易题。显然 P= 3,1 ，子集数为 22=4 故选 B （ 2）复数 512i i （ A） 2 i （ B） 12i （ C） 2 i （ D） 12i 解析：本题考查复数的运算，属 容易题。 解法一：直接法 512i i 22121 215，故选 C 解法二：验证法 验证每个选项与 1积，正好等于 5i 的便是答案。 （ 3）下列函数中，即是偶数又在 0, 单调递增的函数是 A. 3 B. 1 C. 2 1 D. 2 解析：本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题 可以直接判断： 是 0, 的增函数，故选 B。 (4)2116 8的离心率为 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 A. 13B. 12C. 33D. 22解析 ;本题考查椭圆离心率的概念，属于容易题，直接求 e=224 22 选 D。 。 （ 5）执行右面得程序框图，如果输入的 N 是 6， 那么输出的 p 是 （ A） 120 （ B） 720 （ C） 1440 （ D） 5040 解析：本题考查程序框图，属于容易题。 可设 11P, 2122,2 46 3,3 524 4,4 6120 5,5 67720 6,6 输出 （ 6）有 3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （ A） 13(B) 12(C) 23(D) 34 解析：本题考查古典概型，属于容易题。设三个兴趣小组分别为 A,B,C. 他们参加情况共一下 9种情况，其中参加同一小组情况共 3中，故概 故选 A。 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 （ 7）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则 = （ A） 45（ B） 35(C) 35(D) 45解析：本题考查三角公式，属于容易题。 易知 =2， =51 .由 =2 1= 35 故选 B （ 8）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为 解析：本题考查三视图的知识，同时考察空间想象能力。属于难题。 由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥，后面是一个圆锥，由此可选 D （ 9） 已知直线 的焦点，且与 C 的对称轴垂直。 交于 A,12， P 为 C 的准线上一点，则 面积为 （ A） 18 （ B） 24 （ C） 36 （ D） 48 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 解析：本题考查抛物线的方程，属于中等题。 易知 2P=12，即 2，三角形的高是 P=6，所以面积为 36，故选 C。 （ 10） 在下列区间中，函数 的零点所在的区间为 解析：本题考查零点存在定理，属于中等题。只需验证端点值，凡端点值异号就是答案。故选 C。 （ 11）设函数，则 （ A） y= 在 单调递增，其图像关于直线 对称 （ B） y= 在 单调递增，其图像关于直线 对称 （ C） y= f (x) 在（ 0，2）单调递减，其图像关于直线 x = 4对称 （ D） y= f (x) 在（ 0，2）单调递减，其图像关于直线 x = 2对称 解析：本题考查三角函数的性 质。属于中等题。 解法一： f(x)= 2 x+2)= 2 f(x) 在（ 0，2）单调递减，其图像关于直线 x = 2对称。故选 D。 解法二：直接验证 由选项知 （ 0，2） 不是递增就是递减，而端点值又有意义，故只需验证端点值，知递减，显然 x = 4 不会是对称轴 故选 D。 (12) 已知函数 y= f (x) 的周期为 2，当 x 11， 时 f (x) =么函数 y = f (x) 的图像与函数 y = 图像的交点共有 （ A） 10 个 （ B） 9 个 （ C） 8 个 （ D） 1 个 解析：本题考查函数的图象和性质，属于难题。 本题可用图像法解。易知共 10 个交点 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须回答。第 22 题 第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分。 （ 13）已知 a与 b 为两个不共线的单位向量， 向量 a+b 与向量则 k= 。 解析：本题考查向量的基本运算和性质，属于容易题。 解法一：直接法 (a+b)(0 展开易得 k=1. 解法二：凭经验 k=1 时 a+b, 量积为 0，易知 k=1. （ 14）若变量 x， y 满足约束条件 则 z=x+2y 的最小值为 。 解析：本题考查线性规划的基本知识，属于容易题。只需画出线性区域即可。 易得 z=x+2y 的最小值 为 （ 15） B=120， ， ，则 面积为 。 解析：本题考查余弦定理和面积公式，属于容易题。 有余弦定理得 1 2 0 0222 c o 所以 ，有面积公式得 S=43151 9 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 （ 16）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的163，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 。 解析：本题考查球内接圆锥 问题，属于较难的题目。 由 圆锥底面面积是这个球面面积的163 得1634 22 所以 23则小圆锥的高为 ,2R 大圆锥的高为 23R ，所以比值为31三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12 分） 已知等比数列 13a ，公比 13q。 （ I） n 项和，证明： 12 nn （ 3 1 3 2 3l o g l o g l o a a a ，求数列 解析：本题考查等比数列基本知识和等差数列的基本知识。 （ I） 31 13131 12 nn （ 1 3 2 3l o g l o g l o a a a =-（ 1+2+3+ +n） =- 2 )1( 数列 通项公式 为 1( 18）（本小题满分 12 分） 如 图 ， 四 棱 锥 P 中 ， 底 面 平 行 四 边 形 。2011 年高考数学试卷解析版 理两份 6 0 , 2 ,D A B A B A D P D o 底面 。 （ I）证明： D （ 1D，求棱锥 D 的高。 解： （ ）因为 6 0 , 2D A B A B A D , 由余弦定理得 3D 从而 底面 得 以 平面 故 ）过 D 作 E，由 （ I） 知 底面 所以 面 平面 以 面 题设知 ，则 3 ,， 由 D 3,即 棱锥 D 的高 为23（ 19）（本小题 12 分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为 分配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： （）分别估计用 A 配方， B 配方生产的产品的优质品率； （）已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y（单位：元）与其质量指标值 t 的关系式为 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率，并求用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润。 解：本题考查概率的基 本知识，属于容易题。 （） 由实验结果知，用 A 配方生产的产品中优质品的频率为100822= 配方生产的产品中优质品率的估计值为 由实验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为1001032= 所以用 B 配方生产的产品中优质品率的估计值为 （） 由条件知， 用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率 当且仅当 t 94,由试验结果知， t 94 的频率为 以 用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率估计 值为 用 B 配方生产的上述 100 件产品平均一件的利润为 4422542 =） 2 （ 20）（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 ， 曲线 2 61y x x 与坐标轴的交点都在圆 （）求 圆 C 的方程； （） 若圆 C 与直线 0x y a 交与 A， B 两点，且 B ，求 a 的值。 解析：本题考查圆的方程和直线和圆的关系。 （） 曲线 2 61y x x 与坐标轴的交点为（ 0,1）（ 3 ）0,22 故可设圆的圆心坐标为（ 3， t）则有 22122 +解得 t=1,则圆的半径为 313 22 t 所以圆的方程为 913 22 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 （） 设 A( ),11 ),22 0x y a 2 913 22 消去 12)82(2 22 由已知可得判别式 =560 由韦达定理可得 421，212221 由 B 可得 11 22。所以 2 0)( 22121 a 由 可得 a=足 0，故 a= （ 21）（本小题满分 12分） 已知函数 1a x ，曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程为2 3 0 。 （）求 a 、 b 的值； （） 证明： 当 0x ，且 1x 时， 1x 。 解析：本题考查导数的基本概念和几何意义， （）221( l n )( ) ( 1 )x 由于直线 2 3 0 的斜率为 12，且过点 (1,1) ，故 (1) 1, 1(1) ,2 即 1, 1,22ba b 解得 1a ， 1b 。 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 （） 由 （） 知 f(x)= ,11ln xx x 所以 22考虑函数 则 h (x)= 2222 1122 所以 x 1时 h (x) 0 而 h(1)=0 故 x 1,0 时 h(x)0 可得 1x x ，1 h(x)0,故 13q。 由122 3 1得122 3 1a a q，所以1 13a。 故数列 通项式为 3n。 （ ）3 1 3 2 3 nl o g l o g . . . l o a a a (1 2 . )( 1 )2 故 1 2 1 12 ( )( 1 ) 1nb n n n n 121 1 1 1 1 1 1 1 2. . . 2 ( ( 1 ) ( ) . . . ( ) )2 2 3 1 1b b n n n 所以数列 1n 项和为 21(18)(本小题满分 12 分 ) 如图，四棱锥 ，底面 平行四 边形， 0 ,D底面 ( )证明： ( )若 D，求二面角 余弦值。 解析 1： （ ）因为 6 0 , 2D A B A B A D , 由余弦定理得 3D 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 从而 底面 得 以 平面 故 ）如图，以 D 为坐标原点， 长为单位长，射线 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 则 1,0,0A , 0 3, 0B ， , 1, 3, 0C , 0,0,1P 。 ( 1 , 3 , 0 ) , ( 0 , 3 , 1 ) , ( 1 , 0 , 0 )A B P B B C u u uv u u v u u 平面 法向量为 n=（ x,y,z），则 00n B 即 3030 因此可取 n=( 3,1, 3) 设平面 法向量为 m，则 00m C 可取 m=（ 0， 3 ） 4 2 7c o s ,727 故二面角 余弦值为 277（ 19）（本小题满分 12 分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品， 现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： （）分别估计用 A 配方， B 配方生产的产品的优质品率； （ ）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位：元 )与其质量指标值 t 的关系式z x P C B A D y 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 为 从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望 .（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率） 解析：（）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的平率为 22 8 =所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 3 2 1 0 0 100 ，所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 ）用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 ， 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间 9 0 , 9 4 , 9 4 , 1 0 2 , 1 0 2 , 1 1 0的频率分别为 ,054,此 X 的可能值为 ,4 P(X= P(X=2)= P(X=4)=即 X 的分布列为 X 的数学期望值 2 20）（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 ，已知点 A(0, B 点在直线 y = ， M 点满足 / M A A B M B B A M 点的轨迹为曲线 C。 （）求 C 的方程； （） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 解析 ; ( )设 M(x,y),由已知得 B(x,A(0, 所以 （ 1, (0, (x, 再由题意可知（ 0, 即（ 4 (x,0. X 4 P 011 年高考数学试卷解析版 理两份 所以 曲线 C 的方程式为 y=142. ( )设 P(x0,曲线 C： y=142 上一点，因为 y =12x,所以 l 的斜率为 12l 的方程为0 0 01 ()2y y x x x ，即 20 0 02 2 0x x y y x 。 则 o 点到 l 的距离 20020| 2 |4001 24，所以 20 2022001 4142 ( 4 ) 2 ,244 当 20x=0 时取等号，所以 o 点到 l 距离的最小值为 2. （ 21）（本小题满分 12 分） 已知函数 1a x ，曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处 的 切 线方 程 为2 3 0 。 （）求 a 、 b 的值； （）如果当 0x ，且 1x 时， 1，求 k 的取值范围。 解析：（）221( l n )( ) ( 1 )x 由于直线 2 3 0 的斜率为 12，且过点 (1,1) ，故 (1) 1, 1(1) ,2 即 1, 1,22ba b 解得 1a ， 1b 。 （）由（）知 f ( )1xx ，所以 22l n 1 ( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( 2 l n )11x k k xf x xx x x x 。 考虑函数 ( ) 2 x x 2( 1)( 1)( 0)x，则 22( 1 ) ( 1 ) 2( ) k x x 。 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 (i)设 0k ，由 222( 1 ) ( 1 )( ) k x x 知，当 1x 时， ( ) 0， h(x)递减。而 (1) 0h 故当 (0,1)x 时， ( ) 0，可得21 ( ) 01 ； 当 x （ 1， + ）时， h（ x） 0 从而当 x0,且 x 1 时， f（ x） -（1lnx x+0，即 f（ x） 1lnx x+（ 00,故 h (x） 0,而 h（ 1） =0，故当 x （ 1，k11）时， h（ x） 0，可得211x h（ x） 0,而 h（ 1） =0，故当 x （ 1， + ）时， h（ x） 0，可得211x h（ x） 0,与题设矛盾。 综合得， k 的取值范围为（ - ， 0 点评 ;求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解。若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了。即以参数为分类标准，看是否符合题意。求的答案。此题用的便是后者。 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4何证明选讲如图， D ， 的边 的点，且不与 的顶点重合。已知 长为 m ， 长为 n, 长是关于 x 的方程2 1 4 0x x m n 的两个根。 （）证明： C ， B ， D ， E 四点共圆； （）若 90A ，且 4, 6，求 C ， B ， D ， E 所在圆的半径。 解析：（ I）连接 据题意在 ， A D A B m n A E A C 即 而 因此 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 所以