2011年高考数学试卷解析版-湖南卷［文理两份］

2011 年高考数学试卷解析版 理两份 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 文史类 解析版 本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共 6 页时量 120 分钟，满分 150 分 参考公式（ 1）柱体体积公式 V ，其中 S 为底面面积， h 为高 （ 2）球的体积公式 343，其中 R 为球的半径 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 2 , 4 , N M C N （ ） A 1,2,3 B 1,3,5 1,4,5 2,3,4 答案： B 解析：画出韦恩图，可知 N 1,3,5 。 若 ,a b R i 为虚数单位，且 ()a i i b i ，则 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 答案： C 解析：因 ( ) 1a i i a i b i ，根据复数相等的条件可知 1, 1 。 1 | | 1 是 的 A充分不必要条件 必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 答案： A 解析：因 1 | | 1 ，反之 | | 1 1 1 x x x 或，不一定有 1x 。 设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A 9 42 36 18 9 122 9 182答案： D 解析：有三视图可知该几何体是一个长方 体和球构成的组合体，其体积 34 3 9+ 3 3 2 = 1 83 2 2V （ ）。 5通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 3 3 2 正视图 侧视图 俯视图 图 1 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 22 22( ) 1 1 0 ( 4 0 3 0 2 0 3 0 ) 7 . 8( ) ( ) ( ) ( ) 6 0 5 0 6 0 5 0n a d b b c d a c b d 算 得 ,附表： 2()P K k 0 050 0 010 0 001 k 3 841 6 635 10 828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C 在犯错误的概率不超过 0 1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有 关” D 在犯错误的概率不超过 0 1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案： A 解析：由 2 7 5K ，而 2( 6 . 6 3 5 ) 0 . 0 1 0，故由独立性检验的意义可知选A. 6设双曲线 222 1 ( 0 )9xy 的渐近线方程为 3 2 0,则 a 的值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为 3，故可知 2a 。 7曲线 s i n 1s i n c o s 2xy 在点 ( ,0)4M 处的切线的斜率为（ ） A 12B 12C 22D 22答案： B 解析：22c o s ( s i n c o s ) s i n ( c o s s i n ) 1 ( s i n c o s ) ( s i n c o s )x x x x x xy x x x x ，所以 2411|2( s i n c o s )44 。 8已知函数 2( ) 1 , ( ) 4 3 ,xf x e g x x x 若有 ( ) ( ),f a g b 则 b 的取值范围为 A 2 2 , 2 2 B ( 2 2 , 2 2 ) C 1,3 D (1,3) 答案： B 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 解 析 ： 由题 可 知 ( ) 1 1xf x e ， 22( ) 4 3 ( 2 ) 1 1g x x x x ，若有( ) ( ),f a g b 则 ( ) ( 1,1 ，即 2 4 3 1 ，解得 2 2 2 2b 。 二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题解分，共青团员 5 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 （一）选做题（请考生在第 9， 10 两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 9在直角坐标系 ，曲线1 c o s (3 s i 为 参 数 )在极坐标系（与直角坐标系 相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线2 c o s s i n ) 1 0 , 则1 答案： 2 解析：曲线 221 :143，曲线 2 : 1 0C x y ，联立方程消 y 得 27 8 8 0 ，易得 0 ，故有 2 个交点。 10已知某试验范围为 10， 90，若用分数法进行 4 次优选试验，则第二次试点可以是 答案： 40 或 60（只填一个也正确） 解析：有区间长度为 80，可以将其等分 8 段，利用分数法选取试点：1 51 0 ( 9 0 1 0 ) 6 08x ，2 1 0 9 0 6 0 4 0x ，由对称性可知，第二次试点可以是 40 或 60。 (二 )必做题（ 11） 11 若执行如图 2 所示的框图，输入1 2 3 41 , 2 , 4 , 8 ,x x x x 则输出的数等于 答案： 154解 析 ： 由 框 图 功 能 可 知 ， 输 出 的 数 等 于1 2 3 4 1544x x x 。 12 已知 () 奇 函 数 ，( ) ( ) 9 , ( 2 ) 3 , ( 2 )g x f x g f 则 答案： 6 开始 输入1 2 3 4, , ,x x x 0 ix x x开始 4?i开始 否 是 结束 输出 x 4开始 图 2 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 解析： ( 2 ) ( 2 ) 9 3 , ( 2 ) 6g f f 则， 又 ()以 ( 2 ) ( 2 ) 6 。 13设向量 , | | 2 5 , ( 2 , 1 ) ,方向相反，则 坐标为 答案： ( 4, 2) 解析：由题 2| | 2 1 5b r ，所以 2 ( 4 , 2 ) 14设 1,m 在约束条件1 下，目标函数 5z x y 的最大值为 4，则 m 的值为 答案： 3 解析：画出可行域，可知 5z x y 在点 1( , )11取最大值为 4，解得 3m 。 15已知圆 22: 1 2 ,C x y直线 : 4 3 2 5 .l x y （ 1）圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 (2) 圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 答案： 5， 16解析：（ 1）由点到直线的距离公式可得2225 543d ； （ 2）由（ 1）可知圆心到直线的距离为 5，要使圆上点到直线的距离小于 2，即1 : 4 3 1 5l x y与圆相交 所得劣弧上，由半径为 23，圆心到直线的距离为 3 可知劣弧所对圆心角为3，故所求概率为 1326P. 16、给定 *，设函数 *:f N N 满足：对于任意大于 k 的正整数 n ， ()f n n k （ 1）设 1k ，则其中一个函数 f 在 1n 处的函数值为 ； （ 2）设 4k ，且当 4n 时， 2 ( ) 3，则不同的函数 f 的个数为 。 答案：（ 1） () 整 数 ，（ 2） 16 解析：（ 1）由题可知 *()f n N ，而 1k 时， 1n 则 *( ) 1f n n N ，故只须 *(1)，2011 年高考数学试卷解析版 理两份 故 (1 ) ( )f a a 为 正 整 数。 （ 2 ）由题可知 4k ， 4n 则 *( ) 4f n n N ，而 4n 时， 2 ( ) 3即( ) 2, 3，即 1, 2, 3, 4n ， ( ) 2, 3，由乘法原理可知，不同的函数 f 的个数为42 16 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 在 ，角 ,对的边分别为 ,s i n c o s a C （ I）求角 C 的大小； （ 3 s i n c o s ( )4的最大值，并求取得最大值时角 , 解析：（ I）由正弦定理得 s i n s i n s i n c o s A C 因为 0,A 所以 s i n 0 . s i n c o s . c o s 0 , t a n 1 ,4A C C C C C 从 而 又 所 以 则（ （ I）知 3 于是 3 s i n c o s ( ) 3 s i n c o s ( )43 s i n c o s 2 s i n ( ) 10 , , , ,4 6 6 1 2 6 2 3A B A A A Q 从 而 当 即 时2 )6A 取最大值 2 综上所述， 3 s i n c o s ( )4的最大值为 2，此时 5, 218（本题满分 12 分） 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量 X（单位：毫米）有关据统计，当 X=70 时， Y=460； X 每增加 10， Y 增加5；已知近 20 年 X 的值为： 140， 110， 160， 70， 200， 160， 140， 160， 220， 200， 110，160， 160， 200， 140， 110， 160， 220， 140， 160 （ I）完成如下的频率分布表： 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 120420220（ 定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千瓦时）或超过 530（万千瓦时）的概率 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 解：（ I）在所给数据中，降雨量为 110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200 毫米的有 3 个，故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 120320420720320220（ 1 3 2 32 0 2 0 2 0 1 0P 发 电 量 低 于 490 万 千 瓦 时 或 超 过 530 万 千 瓦 时 )=P(P(故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千瓦时）或超过 530（万千瓦时）的概率为 310 19（本题满分 12 分） 如图 3，在圆锥 ，已知 2, e 的直径 2 , ,A B C A B D A C 上 , 且 0 为的中点 （ I）证明： ;A C P O D 平 面 （ 直线和平面 成角的正弦值 解析：（ I）因为,O A O C D A C是 的 中 点 , 所 以 A C O D . 又, , O A C O A C O D 底 面 所 以 面 的 两条相交直线，所以;A C P O D 平 面 （ （ I）知， ,A C P O D 平 面 又,A C P A C 平 面 所以平面 ,P O D P A C 平 面 在平面 ，过 O 作 O H 于 H,则,O H P A C 平 面 连结 则 O C P A 面 上的射影，所以 是直线平面 成的角 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 在221222,3124P O O DR t P O D O O D 在 2, s i t O H C O C H V 中20（本题满分 13 分） 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M， M 的价值在使用过程中逐年减少，从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价值为上年初的 75% （ I）求第 n 年初 M 的价值 （ 12 ,nn a a aA n 0 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对M 更新，证明：须在第 9 年初对 M 更新 解析：（ I） 当 6n 时，数列 20，公差为 10 的等差数列 1 2 0 1 0 ( 1 ) 1 3 0 1 0 ;na n n 当 6n 时，数列 比为 34为等比数列，又6 70a ，所以 637 0 ( ) ;4 因此，第 n 年初， M 的价值 0 1 0 ( 1 ) 1 3 0 1 0 , 637 0 ( ) , 74n n na (n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当 16n时， 1 2 0 5 ( 1 ) , 1 2 0 5 ( 1 ) 1 2 5 5 ;n n n A n n 当 7n 时，666 7 863 3 3( ) 5 7 0 7 0 4 1 ( ) 7 8 0 2 1 0 ( )4 4 437 8 0 2 1 0 ( )4 a a 以 8 6 9 689337 8 0 2 1 0 ( ) 7 8 0 2 1 0 ( )4 7 7 9448 2 8 0 , 7 6 8 0 ,8 6 4 9 9 6 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 所以须在第 9 年初对 M 更新 21已知平面内一动点 P 到点 F（ 1， 0）的距离与点 P 到 y 轴的距离的等等于 1 （ I）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （ 点 F 作两条斜率存在且互相垂直 的直线12,1 相交于点 , 相交于点 , B最小值 解析：（ I）设动点 P 的坐标为 ( , )由题意为 22( 1 ) | | 1 .x y x 化简得 2 2 2 | |,y x x 当 20 , 4 ; 0x y x x 时 当 时 ,y=0.、 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 2, 4 ( 0 ) 0 )y x x x 和 y = 0 ( . （ 题意知，直线1，设为 k ，则1 1)y k x 由2( 1)4y k ，得 2 2 2 2( 2 4 ) 0 .k x k x k 设1 1 2 2( , ) , ( , ) ,A x y B x 是 1 2 1 2242 , 1x x x 因为12所以2k 设3 3 4 4( , ) , ( , ) ,D x y B x 3 4 3 42 4 , 1x x k x x 故1 2 3 42222( ) ( )| | | | | | | |( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )41 ( 2 ) 1 1 ( 2 4 ) 118 4 ( )A D E B A F F D E F F E F A F F B F D E F F D F F B F D E Fx x x u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u g g gu u ur u u ur u u ur u u 2 1 6 21k k 即 1k 时， B最小值 16 22（本小题 13 分） 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 设函数 1( ) l n ( ) .f x x a x a (I)讨论 () （ ()过点1 1 2 2( , ( ) ) , ( , ( ) )A x f x B x f k ，问：是否存在 a ，使得 2? 若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由 解析：（ I） ()0, ). 22211( ) 1 a x a x x x 令 2( ) 1 ,g x x a x 其 判 别 式2 V (1) 当 | | 2 , 0 , ( ) 0 ,a f x ( ) ( 0 , )在 上单调递增 (2) 当 2a 0 , g ( x ) = 0的两根都小于 0，在 (0, ) 上， ( ) 0，故( ) ( 0 , )在 上单调递增 (3) 当 2a 0 , g ( x ) = 0的两根为 221244,a a a ， 当10 时， ( ) 0；当12x x x时， ( ) 0；当2， ( ) 0，故 () , ), ( , )上单调递增，在12( , ) （ （ I）知， 2a 因为121 2 1 2 1 212( ) ( ) ( ) ( l n l n )x f x x x a x ，所以 1 2 1 21 2 1 2 1 2( ) ( ) l n l x f x x x x x x x g 又由 (I)知，121于是1212l n l n2 g 若存在 a ，使得 则1212ln 即 1 2 1 2l n l nx x x x 亦即2 2 221 2 l n 0 ( 1 ) ( * )x x 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 再由（ I）知，函数 1( ) 2 t t 在 (0, ) 上单调递增，而2 1x ，所以222112 l n 1 2 l n 1 0 这与 (*) 式矛盾故不存在 a ，使得 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 6 页，时量 120 分钟，满分150 分。 参考公式：（ 1） ()()()P A A 其中 , ( ) 0， （ 2）柱体体积公式 V ，其中 S 为底面面积， h 为高。 （ 3）球的体积公式 343，其中 R 为求的半径。 一 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 a b R ， i 为虚数单位，且 ()a i i b i ，则（ ） A 1, 1 B 1, 1 C 1, 1 D 1, 1 答案： D 解析： 因 ( ) 1a i i a i b i ，根据复数相等的条件可知 1, 1 。 1, 2M ， 2，则“ 1a ”是“ ”则（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 答案： A 解析： 因 “ 1a ” ，即 1N ，满足 “ ” ，反之“ ” ，则 2 = 1，或 2 = 2，不一定有 “ 1a ” 。 该几何体的体积为（ ） 3 3 2 正视图 侧视图 俯视图 图 1 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 A 9 122B 9 182C 9 42 D 36 18 答案： B 解析：有三视图 可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积34 3 9+ 3 3 2 = 1 83 2 2V （ ） 。 10 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b b c d a c b d 算得 22 1 1 0 ( 4 0 3 0 2 0 2 0 ) 7 . 86 0 5 0 6 0 5 0K 附表： 2()P K k k 照附表，得到的正确结论是（ ） A在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D有 99% 以上的把握认为“爱好该项运动与 性别有关” 答案： C 解析： 由 2 7 5K ，而 2( 6 . 6 3 5 ) 0 . 0 1 0，故由独立性检验的意义可知选C. 22 1 ( 0 )9xy 的渐近线方程为 3 2 0，则 a 的值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为 3，故可知 2a 。 6. 由直线 , , 033x x y 与曲线 所围成的封闭图形的面积为（ ） A 12B 1 C 32D 3 答案： D 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 解析：由定积分知识可得 3 33333c o s s i n | ( ) 322S x d x x ，故选 D。 7. 设 1m ，在约束条件1 下，目标函数 z x 的最大值小于 2，则 m 的取值范围为（ ） A (1,1 2) B (1 2 , ) C (1,3) D (3, ) 答案： A 解析： 画出可行域，可知 5z x y 在点 1( , )11取最大值，由 21 211解得 1 2 1m 。 与函数 2( ) , ( ) l nf x x g x x的图像分别交于点 ,当 |到最小时 t 的值为（ ） A 1 B 12C 52D 22答案： D 解析：由题 2| | x x， ( 0)x 不妨令 2( ) x x x ，则 1( ) 2h x ，令( ) 0解得 22x ，因 2(0, )2x 时， ( ) 0，当 2( , )2x 时， ( ) 0，所以当 22x时， |到最小。即 22t。 二填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。 一、选做题（请考生在第 9、 10、 11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） ，曲线 1 （ 为参数 ）在极坐标系（与直角坐标系 相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴 ） 中，曲线2 c o s s i n 1 0 ，则1 。 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 答案： 2 解析： 曲线 221 : ( 1 ) 1C x y ，2 : 1 0C x y ，由圆心到直线的距离| 0 1 1 | 012d ，故 1C 与 2C 的交点个数为 2. x y R ,则222211( ) ( 4 )的最小值为 。 答案： 9 解析：由柯西不等式可知2 2 22211( ) ( 4 ) ( 1 2 ) 9 。 ， ,径 4， C ,垂足为 D, 交与点 F，则 长为 。 答案： 233解析：由题 可知， 60A O B E O C ， 2B,得 1D, 33 又 2 3A D B D C D ，所以 233A F A D D F . 二、必做题（ 1216 题） 12、设 ( )na n N的 前 n 项和，且141, 7，则5 _S 答案： 25 解析：由141, 7可得1 1 , 2 , 2 1na d a n ，所以5 (1 9 ) 5 252S 。 13、若执行如图 3 所示的框图，输入1 2 31 , 2 , 3 , 2x x x x ，则输出的数等于 。 答案： 23解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差， 则 2 2 2( 1 2 ) ( 2 2 ) ( 3 2 ) 233S 。 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 14、在边长为 1 的正三角形 ，设 2 , 3B C B D C A C E _A D B Eu ur 答案： 14解析：由题 12A D C D C A C B C A u u ur u u ur u u u 13B E C E C B C A C B 所以 1 1 1 1 7 1( ) ( )2 3 2 3 6 4A D B E C B C A C A C B C B C A u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u 15、如图 4， 以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 ”，B 表示事件“豆子落在扇形 阴影部分）内”，则 （ 1） = _ _ _ _ _ _） ；（ 2） = _ _ _ _ _ _B| ） 答案：（ 1） 2；（ 2） 1=4B| ）解析：（ 1）由几何概型概率计算公式可得 2=正圆（ ）； （ 2）由条件概率的计算公式可得2114= = =2 4P A （ ）（ B| ） （ ）。 16、对于 *，将 n 表示为 1 2 1 00 1 2 12 2 2 2 2k k k a a a a a L，当 0i 时， 1当 1 时， 或 )上述表示中 的个数，（例如 01 1 2 ， 2 1 04 1 2 0 2 0 2 ：故 (1) 0 , ( 4 ) 2）则 （ 1） (1 2 ) _ _ _ _ _I （ 2） 127()12 _ _ _ _ _ _ 答案：（ 1） 2；（ 2） 1093 解析：（ 1）因 3 2 1 01 2 1 2 + 1 2 0 2 0 2 ，故 (12) 2I ； （ 2）在 2 进制的 ( 2)位数中，没有 0 的有 1 个，有 1 个 0 的有 11，有 2 个 0 的有 21，有 m 个 0 的有1，有 1k 个 0 的有 11 1 个。故对所有 2 进制为 k 位数 的数 n ，在所求式中的 ()2和为： 0 1 1 2 2 1 1 11 1 11 2 2 2 2 3k k kk k C L。 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 又 7127 2 1恰为 2 进制的最大 7 位数，所以 1 2 7 7( ) 0 1122 2 3 1 0 9 3I n 。 三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 12 分）在 中，角 ,对的边分别为 ,满足s i n c o a C . （ I）求角 C 的大小； （ 3 s i n c o s ( )4的最大值，并求取得最大值时角 , 解析：（ I）由正弦定理得 s i n s i n s i n c o s A C 因为 0,A 所以 s i n 0 . s i n c o s . c o s 0 , t a n 1 ,4A C C C C C 从 而 又 所 以 则（ （ I）知 3 于是 3 s i n c o s ( ) 3 s i n c o s ( )43 s i n c o s 2 s i n ( ) 10 , , , ,4 6 6 1 2 6 2 3A B A A A Q 从 而 当 即 时2 )6A 取最大值 2 综上所述， 3 s i n c o s ( )4的最大值为 2，此时 5, 218. 某商店试销某种 商品 20 天，获得如下数据： 日销售 量（件） 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品 3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货 补充 至3件，否则 不进货 ，将频率视为概率。 ( ）求当天商品 不进货 的概率； （ ）记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 。 解析： （ I） P（“当天商店不进货”） =P（“当天商品销售量为 0 件”） +P（“当天商品销售量 1 件”） = 1 5 320 20 10。 （ 题意知， X 的可能取值为 2， 3. 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 51( 2 ) ( ) 2 0 4P x P 当 天 商 品 销 售 量 为 1 件； ( 3 ) ( ) + ( ) + ( 1 9 5 3 ) + +2 0 2 0 2 0 4P x P P P当 天 商 品 销 售 量 为 0 件 当 天 商 品 销 售 量 为 2 件 当 天 商 品 销 售量 为 3 件故 X 的分布列为 X 2 3 P 14 34 X 的数学期望为 1 3 1 12 + 3 =4 4 4 。 19.（本 题满分 12 分 ）如 图 5 ， 在圆 锥 ，已知 2, e 的直径2 , ,A B C A B D A C 是 的 中 点 , 为的中点 （ I）证明： ;P O D P A C平 面 平 面 （ 二面角 B 的 余 弦值 解：（ I） 连接 因为 C ,D 为的 点，所以 D . 又 , , O A C O A C P O 底 面 所 以因为 , 面 的两条相交直线 ，所以A C P O D 平 面 。而 A C P A C 平 面 ，所以P O D P A C平 面 平 面。 （ 在平面 ，过 O 作 D 于 H ， 由（ I）知， P O D P A C平 面 平 面,所以 ,O H P A C 平 面 又 ,P A P A C 平 面 所以 H . 在平面 ，过 O 作 A 于 G,连接 则 有 P A O G H 平 面 ， 从而 G ， 所以 是 二面角 B 的 平面 角 在 2, s i n 4 52R t O D A O D O A 中2011 年高考数学试卷解析版 理两份 在2222102,51+ 2+2P O O DR t P O D O O D 中 在222 1 6,32 + 1+P O O AR t P O A O O A 中 在10155, s i t O H G O G 中 ,所以 10c o 。 故二面角 B 的 余 弦值 为 105。 20. 如图 6，长方形物体 E 在雨中沿面 P（面积为 S）的垂直方向作匀速移动，速度为 ( 0)，雨速沿 E 移动方向的分速度为 ()c c R 。 E 移动时 单位时间 内的淋雨量包括两部分：（ 1） P 或 P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与 S 成正比，比例系数为 110；（ 2）其它面的淋雨量 之和，其值为 12，记 移动 过程 中的总 淋雨 量， 当移动 距离 d=100 ，面 积 S= 32时。（ ）写出 y 的表达式 （ ）设 0 v 10,0 c 5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度 v ，使总淋雨量 y 最少。 解析：（ I）由题意知， E 移动时单位时间内的淋雨量为 31|2 0 2， 2011 年高考数学试卷解析版 理两份 故 1 0 0 3 1 5( | | ) ( 3 | | 1 0 )2 0 2y v c v . （ (I)知，当 0 时， 5 5 ( 3 1 0 )( 3 3 1 0 ) 1 5cy c ；当 10 时， 5 5 ( 1 0 3 )( 3 3 1 0 ) 1 5cy v 3 1 0 ) 1 5 , 05 (1 0 3 ) 1 5 , 1 0c 。 (1)当 1003c时， y 是关于 v 的减函数 0v 时，m 20 2。 (2) 当 10 53 c时，在 (0, c 上， y 是关于 v 的减函数；在 ( ,10c 上， y 是关于 v 的增函数；故当 时，0y c。 A.(本小题满分 13 分） 如图 7，椭圆 221 22: 1 ( 0 )a 的离心率为 32， x 轴被曲线 22 :C y x b 截得的线段长等于 1C 的长半轴长。 （）求 1C ， 2C 的方程； （）设 2C 与 y 轴的交点为 M，过坐标原点 O 的直2011 年高考数学试卷解析版 理两份 线 l 与 2C 相交于点 A,B,直线 B 分别与 1C 相交与 D,E. （ i）证明： E ； ( 面积分别是 12,否存在直线 l ,使得213217 ? 请说明理由。 解析：（ I）由题意知 32，从而 2，又 2 ，解得 2, 1。 故 1C ， 2C 的方程 分别为 2 221 , 14x y y x 。 （ i） 由题意知，直线 l 的斜率存在，设为 k ，则直线 l 的方程为 y . 由2 1y 得 2 10x ， 设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，则12,是1 2 1 2,1x x k x x 。 又点 M 的坐标为 (0, 1) ，所以 2 221 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21 1 ( 1 ) ( 1 ) ( ) 1 1 11M A M By y k x k x k x x k x x x x x x x 故 B ，即 E 。 （ 直线的斜率为1k，则直线的方程为1 1y k x，由 1211y k 解得 01或 121 1，则点的坐标为 211( , 1)直线 斜率为11k ，同理可得点 B 的坐标为21111( , 1). 于是 22 11 1 1 21 1 111 1 1 1| | | | 1 | | 1 | | 2 | | A M B k kk k k 由 12214 4 0y k 得 2211(1 4 ) 8 0k