111正弦定理(第一课时)教案.doc

课题1.1.1 正弦定理 (一) 知识要点:正弦定理.(二)能力目标1.了解向量知识应用；2.掌握正弦定理推导过程；3.会利用正弦定理证明简单三角形问题；4.会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题；5.能利用计算器进行运算.典型例题：例1在ABC中，已知c10，A45，C30，求b(保留两个有效数字).分析：如图，此题属于已知两角和其中一角求对边的问题，直接应用正弦定理可求出边a，若求边b，则需通过三角形内角和为180，求出角B，再利用正弦定理求出边b.解：B180(AC)180(4530)105，b19评述：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先利用内角和180求出第三角，再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器，但应注意如下约定：当计算器所示结果为准确数时，或者为不少于四个有效数字的近似数而需要保留四个有效数字时，一律使用等号；保留的有效数字不少于四个时，使用约等号.例2在ABC中，已知a20，b28，A40，求B(精确到1)和c(保留两个有效数字).分析：结合幻灯片5.9.1 C，此例题属于bsinAab的情形，故有两解.这样在求解之后呢，可以无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的很明确，同时体会分析问题的重要性.解：sinB0.8999，B164，B2116当B164时，C1180(B1A)180(6440)76，c130.当B2116时，C2180(B2A)180(11640)24，c213.评述：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理所求角有两种可能，但是都不符合题意，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的例题来体会.例3在ABC中，已知a60，b50，A38，求B(精确到1)和c(保留两个有效数字).分析：结合幻灯片5.9.1 C，此例题属于ab这一类情形，有一解，也可根据三角形内大角对大边，小角对小边这一性质来排除B为钝角的情形.解：已知ba，所以BA，因此B也是锐角.sinB0.5131，B31C180(AB)180(3831)111c91.评述：同样是已知两边和一边对角，但可能出现不同的结果，应强调学生注意解题的灵活性.对于例3，如果没有考虑到角B所受限制而求出角B的两个解，进而求出边c两解，也可利用三角形内两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符题意的解.例4在ABC中，已知a28，b20，A120，求B(精确到1)和c(保留两个有效数字).分析：结合幻灯片5.9.1 C，此例题属于A为钝角且ab的情形，有一解.也可应用正弦定理求解角B后，利用三角形内角和为180排除角B为钝角情形.解：sinB0.6187B138，B2142(舍)C180(AB)22c8.7评述：(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性.对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围，已知两角一边或两边与其中一边的对角.(3)对于已知两边夹角这一类型，将通过下一节所学习的余弦定理求解.师为巩固本节我们所学内容，接下来进行课堂练习.1在ABC中，A60，a4，b4，则()AB45或135BB135CB45 D以上答案都不对解析：选C.sin B，ab，B45.2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c，b，B120，则a等于()A. B2C. D.解析：选D.由正弦定理sin C，于是C30A30ac.3在ABC中，若tan A，C150，BC1，则AB_.解析：在ABC中，若tan A，C150，A为锐角，sin A，BC1，则根据正弦定理知AB.答案：4已知ABC中，AD是BAC的平分线，交对边BC于D，求证：.证明：如图所示，设ADB，则ADC.在ABD中，由正弦定理得：，即；在ACD中，.由得，.作业练习能力基础题1在ABC中，a5，b3，C120，则sin Asin B的值是()A. B.C. D.解析：选A.根据正弦定理得.2在ABC中，若，则C的值为()A30 B45C60 D90解析：选B.，又由正弦定理.cos Csin C，即C45，故选B.3(2010年高考湖北卷)在ABC中，a15，b10，A60，则cos B()A B.C D.解析：选D.由正弦定理得，sin B.ab，A60，B为锐角cos B.4在ABC中，已知BC，sin C2sin A，则AB_.解析：ABBC2BC2.答案：25在ABC中，已知sin Asin Bsin C456，且abc30，求a.解：sin Asin Bsin Cabc，abc456.a308.能力提升提5.在ABC中，absin A，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析：选B.由题意有b，则sin B1，即角B为直角，故ABC是直角三角形6在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A，a，b1，则c()A1 B2C.1 D.解析：选B.由正弦定理，可得，sin B，故B30或150.由ab，得AB，B30.故C90，由勾股定理得c2.7(2011年天津质检)在ABC中，如果A60，c4，a4，则此三角形有()A两解 B一解C无解 D无穷多解解析：选B.因csin A24，且ac，故有唯一解8在ABC中，B30，C120，则abc_.解析：A1803012030，由正弦定理得：abcsin Asin Bsin C11.答案：119(2010年高考北京卷)在ABC中，若b1，c，C，则a_.解析：由正弦定理，有，sin B.C为钝角，B必为锐角，B，A.ab1.答案：110在ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c.已知a5，b2，B120，解此三角形解：法一：根据正弦定理，得sin A1.所以A不存在，即此三角形无解法二：因为a5，b2，B120，所以AB120.所以AB240，这与ABC180矛盾所以此三角形无解法三：因为a5，b2，B120，所以asin B5sin 120，所以basin B又因为若三角形存在，则bsin Aasin B，得basin B，所以此三角形无解11在ABC中，acos(A)bcos(B)，判断ABC的形状解：法一：acos(A)bcos(B)，asin Absin B由正弦定理可得：ab，a2b2，ab，ABC为等腰三角形法二：acos(A)bcos(B)，asin Absin B由正弦定理可得：2Rsin2A2Rsin2B，即sin Asin B，AB.(AB不合题意舍去)故ABC为等腰三角形12.在ABC中(结果保留两个有效数字).(1)已知c，A45，B60，求b；(2)已知b12，A30，B120，求a.解：(1)C180(AB)180(4560)75b1.6(2)a6.9评述：此题为正弦定理的直接应用，意在使学生熟悉正弦定理的内容，可以让数学成绩较弱的学生进行板演，以增强其自信心.13.根据下列条件解三角形(角度精确到1，边长精确到1)：(1)b11，a20，B30；(2)a28，b20，A45；(3)c54，b39，C115；(4)a20，b28，A120.解：(1) sinA0.9091A165，A2115当A165时，C1180(BA1)180(3065)85c122.当A2115时，C2180(BA2)180(30115)35c213.(2)sinB0.5051B130，B2150由于AB245150180，故B2150应舍去(或者由ba知BA