数学北师大版九年级上册一元二次方程的解法（2）.docx

解一元二次方程第课时1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.3.熟练地使用求根公式解一元二次方程.1.通过探究一元二次方程的求根公式,提高学生的观察能力、分析问题能力,同时培养学生的数学建模意识.2.通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力.3.通过探究求根公式的推导及应用过程,获得成功的数学体验,增强学好数学的信心.1.探究公式的过程中,小组之间的交流合作,进一步发展学生合作交流的意识和能力,让学生体验数学活动充满着创造和乐趣.2.发展学生独立思考、勇于探索的创新精神,向学生渗透转化思想,让学生感受数学中的内在美.【重点】根的判别式及用公式法解一元二次方程.【难点】一元二次方程求根公式的推导过程.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P4042.导入一:韦达是16世纪法国最伟大的数学家之一,当比利时数学家提出一个一元45次的方程的求解问题向各国数学家挑战时,法国国王把这个问题交给了韦达,韦达当时就得出一解,回家后一鼓作气,很快又得出22解,答案公布,震惊世界.像这种高次方程,有没有一个通法,也就是说:对于每个次数的一元方程能否找出一公式来求解,一直是各国数学家都想解决的一个问题.我们今天就来研究一下,一元二次方程是否可找出一个公式,我们在解这类方程的时候按公式代入就行了呢?导入二:【课件展示】用配方法解下列方程.(1)x2-6x-15=0(2)4x2-3x+2=0【师生活动】学生独立完成后,小组内交流答案.师生共同复习配方法解一元二次方程的一般步骤.【课件展示】(1)移项,得x2-6x=15,配方,得x2-6x+9=15+9,即(x-3)2=24,开方得x-3=26,x-3=26或x-3=-26,x1=3+26,x2=3-26.(2)移项,得4x2-3x=-2,二次项系数化为1,得x2-34x=-12,配方,得x2-34x+964=-12+964,即x-382=-2364,-23640,(1)当b2-4ac0时,b2-4ac4a20,x+b2a=b2-4ac2a.方程有两个不相等的实数根:x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.(2)当b2-4ac=0时,b2-4ac4a2=0,x+b2a2=0.方程有两个相等的实数根:x1=x2=-b2a.(3)当b2-4ac0时,b2-4ac4a20时,方程有两个不相等的实数根;(2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当b2-4ac0时,方程没有实数根.我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式.当b2-4ac0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的两实数根可以用x=-bb2-4ac2a.求出的这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.教师强调:(1)用一元二次方程根的判别式可以判定一元二次方程根的情况;(2)一元二次方程的根由系数a,b,c决定;(3)用公式法解一元二次方程时,先将方程化成一般形式,确定a,b,c的值,然后代入公式求解.设计意图通过小组合作交流,既加深了学生对根的判别式和求根公式的认识,又培养了学生的合作意识和归纳总结能力,同时达到了熟练记忆求根公式的目的,为熟练判断一元二次方程根的情况及应用公式解方程提供了理论依据.过渡语我们学习了一元二次方程根的判别式及公式法解一元二次方程,下面让我们通过例题检验一下学习情况吧.例题讲解【课件展示】(教材41页例3)不解方程,判别下列方程根的情况:(1)x2+3x+2=0;(2)x2-4x+4=0;(3)2x2-4x+5=0.【师生活动】教师提问:不解方程,如何判断一元二次方程根的情况?学生回答后教师点评,然后学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况,看谁做得既快又准确,学生回答后教师课件展示解答过程.解:(1)这里a=1,b=3,c=2.b2-4ac=32-412=1,原方程有两个不相等的实数根.(2)这里a=1,b=-4,c=4.b2-4ac=(-4)2-414=0,原方程有两个相等的实数根.(3)这里a=2,b=-4,c=5.b2-4ac=(-4)2-425=-240,x=-14924=-178,即x1=34,x2=-1.(2)这里a=1,b=-2,c=-5.b2-4ac=(-2)2-41(-5)=240,x=-(-2)2421=2262=16,即x1=1+6,x2=1-6.追问:你能总结公式法解一元二次方程的步骤吗?(将所给方程化成一般形式;找出系数a,b,c;计算判别式b2-4ac;代入求根公式)设计意图通过例题让学生熟练掌握根的判别式及公式法解方程,看谁判断速度快,激发学生的竞争意识,培养学习兴趣;演示解方程的过程,规范答题格式,培养学生严谨的学习态度.知识拓展公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a0;(2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号;(3)计算b2-4ac,若结果为负数,方程无解;(4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果.1.用根的判别式判定一元二次方程的根的情况:当b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac0时,方程没有实数根.2.求根公式:当b2-4ac0时,一元二次方程ax2+bx+c=0的两实数根为x=-bb2-4ac2a.3.公式法解一元二次方程的步骤.4.用公式法解方程应注意的问题:先将方程化为一般形式,确定a,b,c的值时注意符号,当b2-4ac0时,将a,b,c的值代入求根公式.1.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),下列叙述正确的是()A.方程总有两个实数根B.只有当b2-4ac0时,方程才有两个实数根C.当b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b2-4ac0时,方程无实数根.故选B.2.一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根解析:方程中a=1,b=-4,c=5,代入根的判别式计算得b2-4ac=(-4)2-415=-40,所以方程没有实数根.故选D.3.当m=时,关于x的一元二次方程2x2+mx+2=0有两个相等的实数根.解析:由方程2x2+mx+2=0有两个相等的实数根得b2-4ac=0,即m2-422=0,m2=16,m=4.故填4.4.已知关于x的一元二次方程-x2+(2m+1)x+(1-m2)=0,当m为何值时,该方程没有实数根?解:b2-4ac=(2m+1)2-4(-1)(1-m2)=4m+5,该方程没有实数根,4m+50,m0,x=-bb2-4ac2a=-(-3)1321=3132,即x1=3+132,x2=3-132.(2)a=4,b=-3,c=1,b2-4ac=(-3)2-441=-70,x=54923=576,即x1=2,x2=-13.第2课时共同探究一用配方法解方程ax2+bx+c=0(a0)共同探究二一元二次方程的求根公式例题讲解一、教材作业【必做题】教材第42页习题A组第1,2题.【选做题】教材第42页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列方程中没有实数根的是()A.x2+x-1=0B.x2+x+2=0C.x2+8x+1=0D.x2-22x+2=02.若m为不等于零的实数,则方程x2+mx-m2=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个实数根D.没有实数根3.方程x2+x-1=0的一个根是()A.1-5B.1-52C.-1+5D.-1+524.(2015广东中考)若关于x的方程x2+x-a+94=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是()A.a2B.a2C.a2D.a25.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是,条件是.6.关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.7.当x=时,代数式x2-8x+12的值是-4.8.公式法解下列方程:(1)4x2-x-3=0;(2)3x2+1=23x;(3)(x+1)(x-1)=22x;(4)4x2-3x+1=0.【能力提升】9.已知关于x的方程x2+(1-m)x+m24=0有两个不相等的实数根,则m的最大整数值是.10.已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为两边长的直角三角形的周长.【拓展探究】11.某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时A100元收费.(1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?(用A表示)(2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况.月份用电量(千瓦时)交电费总金额(元)3801544510根据上表数据,求电厂规定的A值为多少.【答案与解析】1.B(解析:分别求各方程的判别式b2-4ac,满足b2-4ac0,所以方程有两个不相等的实数根.故选B.)3.D(解析:方程中a=1,b=1,c=-1,代入求根公式可得-bb2-4ac2a=-152,故选D.)4.C(解析:b2-4ac=1-4-a+940,即1+4a-90,解得a2,故选C.)5.x=-bb2-4ac2a=b2-4ac06.k12且k1(解析:一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有两个不相等的实数根,b2-4ac0,且k-10,即4-4(k-1)(-2)0,且k1,解得k12且k1,故填k12且k1.)7.4(解析:根据题意列方程得x2-8x+12=-4,解方程可得x1=x2=4,故填4.)8.解:(1)a=4,b=-1,c=-3,b2-4ac=1-44(-3)=490,x=14924=178,x1=-34,x2=1.(2)将方程化为一般形式3x2-23x+1=0,a=3,b=-23,c=1,b2-4ac=(-23)2-431=0,x1=x2=2323=33.(3)将方程化为一般形式为x2-22x-1=0,a=1,b=-22,c=-1,b2-4ac=(-22)2-41(-1)=120,x=22122=23,x1=2+3,x2=2-3.(4)a=4,b=-3,c=1,b2-4ac=(-3)2-441=-70,解得m0,方程有两个不相等的实数根.(2)解:把x=1代入方程可得1-(m+2)+2m-1=0,解得m=2,所以原方程为x2-4x+3=0,解方程可得x1=1,x2=3,方程的另一个根是x=3.当1,3为直角三角形的两条直角边时,由勾股定理得斜边长为1+9=10,此时周长为4+10;当3为直角三角形的斜边时,另一直角边长为9-1=22,此时周长为4+22.11.解:(1)超过部分电费=(90-A)A100=-1100A2+910A,答:超过部分电费为-1100A2+910A元.(2)依题意得(80-A)A100=15,解得A1=30,A2=50.A应大于45千瓦时,A=30千瓦时舍去,答:电厂规定的A值为50千瓦时.本节课通过复习配方法解一元二次方程,很自然地引出用配方法解一般形式的一元二次方程,从而推出求根公式,在探究求根公式的过程中,教师通过设计一个个的小问题,给学生留下足够的思考时间和空间,让学生通过自主学习,合作交流等活动,积极主动地探究知识,同时让学生体会了数学中的分类思想在数学中的应用.在整节课中无论是公式的推导,还是公式的应用,都是在教师的引导下,学生自己完成的,注重了知识的形成过程,锻炼了学生的发散思维.在课堂检测中编排的习题既注重本节课基础知识的训练,又注重学生能力的培养,整节课学生在愉悦的课堂气氛中掌握了知识,培养了能力.本节课有一元二次方程根的判别式和求根公式两个重点内容,在探究公式的过程中有部分学生对字母系数的方程不够熟悉,造成推导公式的困难,所以在时间安排上,学生思考时间过短,如一元二次方程根的判别式与方程根之间的关系,没给学生留充