希尔伯特变换

希尔伯特变换2.1 共轭Poisson核 在中给定一个函数，由可将其延伸到上半平面，是Poisson 核.我们同样可以表示成： 定义则在中也是调和的，若是实的，则和均是实的。因此, 是可分的,所以 v 是u的调和共轭。显然，也可表示为等价于（2.1） （2.2） 引用傅里叶变换，有（2.3） 容易验证 在上半平面以及其共轭Poisson核 .更精确地说,在中是可分的。2.2 的柯西主值 我们定义回火分布称为的主值,记为 ，这种表达即定义了一种回火分布, 由在上可积且为0.得出命题2.1 在中，证明： 对任意的，函数是有界的。在中，因此，足以证明在中，令有当时，根据dominated积分定理，在对称域中得出两个奇函数的积分，.因此,极限为0.作为这个命题的结果，我们可以得到： 通过福利叶变换在 上的连续性以及(3.2)可以得到给定函数，定义希尔伯特变换有如下表示方式：第三种表示，对于中的函数的希尔伯特变换，满足（2.4） （2.5） （2.6） 2.3 M.Biesz 和 Kolmogorov 定理下面的定理展示了希尔伯特变换，现在在中定义函数可以被扩展到空间中,定理 3.2 对于,下列断言是正确的：（1） （Kolmogorov）H 是弱（1,1）型的，（2） （M.Riesz）H是强（p,p）型的，：证明：（1） 给定，非负。构成的Calderon-Zygmund 分解;这会产生不相交的区间序列这样得到的分解之后，将分解为两个函数和，定义如下：其中易知几乎处处成立，在中成立且积分为零。由根据（2.4）我们估计第一部分：令和同中心，长度为的两倍。令，则且若总和有限，则几乎处处成立。若不然，由和分别在空间中收敛到和。通过不等式足以完成弱（1,1）型不等式的证明。对于任意，当时，等式仍成立。记为的中心，积分为零。由于，则上式对于任意函数均可分解成正，负两部分，所以在证明弱（1,1）不等式时，考虑非负函数即可。（2） H是弱（1,1），且强（2,2）型的，根据Marcinkiewicz插值定理，得到强（p,p）不等式若运用（2.6），且有根据定理3.2可以将函数的希尔伯特变换扩充到空间中。若且是一族函数序列，在中收敛到由弱（1,1）型不等式可知是可测的柯西列。对于任意均成立。若，是在中的一个函数序列，其在中收敛到。根据强（p,p）不等式，是中的一个柯西列，且在空间收敛，我们称该过程为的希尔伯特变换。 在任何情况下，的一个子序列，取决于，几乎处处点收敛到所定义的。当时，强不等式不成立。因为若令，有既不可积又不有界，不符合我们对的定义，所以不成立。2.4 截断积分和逐点收敛对于，函数属于，则有定义，。此外，满足弱（1,1）和强（p,p）且对于所有的均一致有界。我们首先需注意：上式一致有界，所以强（2,2）不等式趋近于常熟于无关。我们现在可以证明弱（1,1）型不等式如定理2.2中所示以及强（p,p）型不等式遵循插值和二元性。若给定，则在空间中，序列收敛于上面定义的，当时，其可测.。给定序列在中收敛到。Then现在表明相同的等式几乎处处逐点成立。定理2.3 给定则定理2.4 是强（p,p）,且弱（1,1）。证明定理2.4，需要运用到下面的引理2.5.引理2.5 若，则证明：给定一函数，该函数非负，甚至,在上递减，在上积分为1。令，则若，则若，则 因此 定理3.4的证明：由于极大函数和希尔伯特变换均是强（p,p）,由引理2.5可以得出是强（p,p）。假设，给定，构成的Calderon-Zygmund分解。.则可表示成是强（2,2），则问题简化为给定，且在 上，,则