（江苏专用）2020高考数学二轮复习 专项强化练（十二）椭圆、双曲线和抛物线.doc

专项强化练(十二)椭圆、双曲线和抛物线a组题型分类练题型一椭圆的定义及标准方程1设f1，f2是椭圆1的两个焦点，p是椭圆上的点，且pf1pf243，则pf1f2的面积为_解析：因为pf1pf214，又pf1pf243，所以pf18，pf26.因为f1f210，所以pf1pf2.所以spf1f2pf1pf28624.答案：242一个椭圆的中心在原点，焦点f1，f2在x轴上，p(2，)是椭圆上一点，且pf1，f1f2，pf2成等差数列，则椭圆方程为_解析：设椭圆的标准方程为1(ab0)由点(2，)在椭圆上，知1.又pf1，f1f2，pf2成等差数列，则pf1pf22f1f2，即22c2a，又c2a2b2，联立得a28，b26.故椭圆方程为1.答案：1临门一脚1求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)如若不能确定焦点的位置，则两种情况都要考虑，这一点一定要注意，不要遗漏，此时设所求的椭圆方程为一般形式：ax2by21(a0，b0且ab)；若ab，则焦点在x轴上；若ab，则焦点在y轴上2椭圆的定义中一定满足“pf1pf22a，且ac”，用椭圆的定义求解a，b，c有时比用方程简便题型二椭圆的几何性质1椭圆1的离心率是_解析：根据题意知，a3，b2，则c，椭圆的离心率e.答案：2椭圆x2my21的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m_.解析：由题意可得， ，所以m4.答案：43已知圆c1：x22cxy20，圆c2：x22cxy20，椭圆c：1(ab0)，若圆c1，c2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是_解析：圆c1，c2都在椭圆内等价于圆c2的右顶点(2c,0)，上顶点(c，c)在椭圆内部，只需0b0)的左、右顶点分别为a1，a2，且以线段a1a2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则c的离心率为_解析：以线段a1a2为直径的圆的方程为x2y2a2，由原点到直线bxay2ab0的距离da，得a23b2，所以c的离心率e .答案：临门一脚1弄清楚a，b，c，e的几何意义，以及相关的点坐标、线的方程的表示2求解几何性质之前方程应先化为标准式，否则会混淆a，b.3离心率求解主要是根据几何条件建立关于a，b，c的方程或不等式题型三双曲线的定义及标准方程1f1，f2分别是双曲线c：1的左、右焦点，p为双曲线c右支上一点，且|pf1|8，则pf1f2的周长为_解析：由双曲线的方程可知a3，b，所以c4，则|pf2|pf1|2a2，|f1f2|2c8，据此可知pf1f2的周长为82818.答案：182已知双曲线经过点(2，1)，其一条渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_解析：设双曲线的方程为y2(0)，则12，解得1，故双曲线的标准方程为y21.答案：y213(2018柳州模拟)设双曲线1的左、右焦点分别为f1，f2，过f1的直线l交双曲线左支于a，b两点，则|af2|bf2|的最小值为_解析：|af2|bf2|2a|af1|2a|bf1|4a|ab|4a4316.答案：164设双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是_解析：法一：椭圆1的焦点坐标是(0，3)，设双曲线方程为1(a0，b0)，根据双曲线的定义知2a|4，故a2.又b232a25，故所求双曲线的方程为1.法二：椭圆1的焦点坐标是(0，3)设双曲线方程为1(a0，b0)，则a2b29，又点(，4)在双曲线上，所以1，联立解得a24，b25.故所求双曲线的方程为1.法三：设双曲线的方程为1(270，b0)的离心率为2，直线xy20经过双曲线c的焦点，则双曲线c的渐近线方程为_解析：由题意可得直线xy20与x轴的交点(2,0)为双曲线c的焦点，所以c2，又双曲线c的离心率为2，所以a1，b，所以双曲线c的渐近线方程为yxx.答案：yx3(2018南京高三模拟)在平面直角坐标系xoy中，若双曲线1(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率为_解析：由双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为2a得b2a，则该双曲线的离心率e .答案：4已知f是双曲线1(a0，b0)的左焦点，e是该双曲线的右顶点，过点f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点，若abe是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为_解析：由题意得e(a,0)，不妨设a，b，显然abe是等腰三角形，故当abe是锐角三角形时，aeb90，从而ac，化简得c2ac2a20，即e2e20，解得1e2，又e1，故1e2.答案：(1,2) 临门一脚1双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求根据渐近线方程求离心率时要注意有两解2在解析几何中，解决求范围问题，一般可从以下几个方面考虑：(1)与已知范围联系，通过求函数值域或解不等式来完成；(2)通过一元二次方程的根的判别式的符号建立不等关系；(3)利用点在曲线内部建立不等式关系；(4)利用解析式的结构特点，如a2，|a|，等的非负性来完成范围的求解题型五抛物线1在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y24x上一点p到焦点的距离为3，则点p的横坐标是_解析：因为抛物线方程为y24x，所以焦点f(1,0)，准线l的方程为x1，设pal，a为垂足，所以pfpaxp(1)3，所以点p的横坐标是2.答案：22若点p到直线y1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点p的轨迹方程是_解析：由题意可知点p到直线y3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点p的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线，且p6，所以其标准方程为x212y.答案：x212y3一个顶点在原点，另外两点在抛物线y22x上的正三角形的面积为_解析：如图，根据对称性：a，b关于x轴对称，故aox30.直线oa的方程yx，代入y22x，得x26x0，解得x0或x6.即得a的坐标为(6,2)，所以ab4.故正三角形oab的面积为4612.答案：124在平面直角坐标系xoy中，抛物线y26x的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，pal，a为垂足若直线af的斜率k，则线段pf的长为_解析：抛物线方程为y26x，焦点f，准线l的方程为x.直线af的斜率为，直线af的方程为y，当x时，y3，由此可得a点坐标为.pal，a为垂足，p点纵坐标为3，代入抛物线方程，得p点坐标为，pfpa6.答案：6临门一脚1一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”2抛物线标准方程形式要记清楚，求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置和开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程3求解几何性质时，首先要把方程化为标准方程，其次抛物线方程的p几何意义要明确b组高考提速练1(2019扬州期末)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为x2y0，则该双曲线的离心率为_解析：双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为y，又该双曲线的一条渐近线方程为x2y0，即yx，所以，a2b，则cb，则该双曲线的离心率e.答案：2在矩形abcd中，ab4，bc3，则以a，b为焦点，且过c，d两点的椭圆的短轴的长为_解析：依题意得ac5，所以椭圆的焦距为2cab4，长轴长2aacbc8，所以短轴长为2b224.答案：43抛物线y22px(p0)的准线截圆x2y22y10所得的弦长为2，则p_.解析：抛物线y22px(p0)的准线方程为x，而圆化成标准方程为x2(y1)22，圆心坐标为(0,1)，半径为，圆心到准线的距离为，所以21()2，解得p2.答案：24已知p是以f1，f2为焦点的椭圆1(ab0)上的一点，若120，tanpf1f2，则此椭圆的离心率为_解析：因为120，tanpf1f2，所以12，sinpf1f2，cospf1f2.所以pf1c，pf2c，则pf1pf2c2a，所以e.答案：5(2019海门中学模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为f2，过f2且与x轴垂直的直线l与双曲线交于m，n两点，t是双曲线的左顶点，若tmn为直角三角形，则该双曲线的渐近线方程为_解析：由题意可得tmn为等腰直角三角形，且mtn为直角，故mf2tf2.由1，解得y，所以mf2.因为tf2ac，所以ac，得b2a2ac，即c2a2a2ac，得c2a，所以ba，所以该双曲线的渐近线方程为xy0.答案：xy06已知椭圆1(ab0)的一个焦点是f(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点m，n与f构成正三角形，则此椭圆的方程为_解析：由fmn为正三角形，得cofmnb1.解得b，a2b2c24.故椭圆的方程为1.答案：17(2019如皋中学模拟)已知双曲线c：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，且两条渐近线的夹角为60，过点f1作x轴的垂线，交双曲线c的左支于m，n两点，若mnf2的面积为4，则双曲线c的方程为_解析：因为双曲线c的两条渐近线的夹角为60，ab0，所以.易知f1(c,0)，所以直线mn的方程为xc，代入双曲线的方程得y，所以mn，所以mnf2的面积sf1f2mn2c4，又a2b2c2，所以由得a3，b，c2，故双曲线c的方程为1.答案：18(2018镇江高三期末)已知双曲线y21的左焦点与抛物线y212x的焦点重合，则双曲线的右准线方程为_解析：由题意知双曲线y21的左焦点为(3,0)，所以a28，因此双曲线的右准线方程为x.答案：x9(2019常州期初)已知椭圆m：y21，圆c：x2y26a2在第一象限有公共点p，设圆c在点p处的切线斜率为k1，椭圆m在点p处的切线斜率为k2，则的取值范围为_解析：由于椭圆m：y21，圆c：x2y26a2在第一象限有公共点p，所以解得3a25.设椭圆m：y21与圆cx2y26a2在第一象限的公共点p(x0，y0)，则椭圆m在点p处的切线方程为y0y1，圆c在p处的切线方程为x0xy0y6a2，所以k1，k2，a2，所以(3,5)答案：(3,5) 10已知抛物线x22py(p0)的焦点f是椭圆1(ab0)的一个焦点，若p，q是椭圆与抛物线的公共点，且直线pq经过焦点f，则该椭圆的离心率为_解析：设点p在第一象限，由题意，p2c，p(，c)，即p(2c，c)，代入椭圆方程，可得1，整理可得e46e210，0e1，e1.答案：111.如图所示，f1，f2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，以坐标原点o为圆心，of1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为a，b，且f2ab是等边三角形，则双曲线的离心率为_解析：连结af1，依题意得af1af2，af2f130，af1c，af2c，因此该双曲线的离心率e1.答案：112.如图，已知过椭圆1(ab0)的左顶点a(a,0)作直线l交y轴于点p，交椭圆于点q，若aop是等腰三角形，且2，则椭圆的离心率为_解析：法一：因为aop是等腰三角形，所以oaop，故a(a,0)，p(0，a)，又2，所以q，由点q在椭圆上得1，解得，故离心率e .法二：因为aop是等腰三角形，所以oaop，故直线ap的方程为yxa，与椭圆方程联立并消去y得(a2b2)x22a3xa2c20，从而(a)xq，即xq，又由a(a,0)，p(0，a)，2，得xq，故，即5c24a2，e2，故e.答案：13(2018南京四校联考)已知右焦点为f的双曲线的离心率为，过点f且与一条渐近线平行的直线l与另一条渐近线交于点a，af2，则该双曲线的标准方程为_解析：法一：由e知，双曲线的渐近线方程为yx，不妨设直线l：yxc，联立得解得a，af2，解得c28，又由e知，a2b24，故双曲线的标准方程为1.法二：由e知，双曲线的渐近线方程为yx，且两条渐近线互相垂直，此时af2ba