（江苏专用）2020高考数学二轮复习 综合仿真练（三）.doc

综合仿真练(三)1已知向量m(cos x，1)，n(sin x，cos2x)(1)当x时，求mn的值；(2)若x，且mn，求cos 2x的值解：(1)当x时，m，n，所以mn. (2)mncos xsin xcos2xsin 2xcos 2xsin，若mn，则sin，即sin，因为x，所以2x，所以cos， 则cos 2xcoscoscossinsin.2.如图，三棱柱abca1b1c1中，m，n分别为ab，b1c1的中点(1)求证：mn平面aa1c1c；(2)若cc1cb1，cacb，平面cc1b1b平面abc，求证：ab平面cmn.证明：(1)法一： 取a1c1的中点p，连结ap，np.因为c1nnb1，c1ppa1，所以npa1b1，npa1b1.在三棱柱abca1b1c1中，a1b1ab，a1b1ab.所以npab，且npab.因为m为ab的中点，所以amab.所以npam，且npam，所以四边形amnp为平行四边形，所以mnap.因为ap平面aa1c1c，mn平面aa1c1c，所以mn平面aa1c1c.法二： 取bc的中点q，连结nq，mq.由三棱柱可得，四边形bcc1b1为平行四边形又q，n分别为bc，b1c1的中点，所以cqc1n，cqc1n，所以四边形cqnc1为平行四边形所以nqcc1.因为nq平面mnq，cc1平面mnq，所以cc1平面mnq.因为ammb，cqqb，所以mqac.同理可得ac平面mnq.因为ac平面aa1c1c，cc1平面aa1c1c，accc1c，所以平面mnq平面aa1c1c.因为mn平面mnq，所以mn平面aa1c1c.(2)因为cacb，m为ab的中点，所以cmab.因为cc1cb1，n为b1c1的中点，所以cnb1c1.在三棱柱abca1b1c1中，bcb1c1，所以cnbc.因为平面cc1b1b平面abc，平面cc1b1b平面abcbc，cn平面cc1b1b，所以cn平面abc.因为ab平面abc，所以cnab.因为cm平面cmn，cn平面cmn，cmcnc，所以ab平面cmn.3.(2019海门中学模拟)某城市有一矩形街心广场abcd，其中ab4百米，bc3百米，在其中心p处(ac中点)有一观景亭现将挖掘一个三角形水池pmn种植荷花，其中m点在bc边上，n点在ab边上，满足mpn45.设pmc.(1)将pm表示为角的函数，并求出cos 的取值范围；(2)求水池pmn面积的最小值解：(1)矩形abcd，ab4百米，bc3百米，ac5百米，p为ac中点，apcp百米设acb，则且sin ，cos 在cpm中，即 pm，当点m在b处时，即为pbcpcb，则cos ，当点n在b处时，pbc，cos coscos 的取值范围为(0). (2)在apn中，即，pnspmnpmpnsin 当2，即(0，)时，sinmax1，则(spmn)min3(1)此时cos 符合条件答：水池pmn面积的最小值为(33)百米2.4.如图，在平面直角坐标系xoy中，焦点在x轴上的椭圆c：1经过点(b,2e)，其中e为椭圆c的离心率过点t(1,0)作斜率为k(k0)的直线l交椭圆c于a，b两点(a在x轴下方)(1)求椭圆c的标准方程；(2)过点o且平行于l的直线交椭圆c于点m，n，求的值；(3)记直线l与y轴的交点为p.若，求直线l的斜率k.解：(1)因为椭圆c：1经过点(b,2e)，所以1.因为e2，所以1，又a2b2c2，1，解得b24或b28(舍去)所以椭圆c的方程为1.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)因为t(1,0)，则直线l的方程为yk(x1)联立直线l与椭圆方程消去y，得(2k21)x24k2x2k280，所以x1x2，x1x2.因为mnl，所以直线mn的方程为ykx，联立直线mn与椭圆方程消去y得(2k21)x28，解得x2.因为mnl，所以，因为(1x1)(x21)x1x2(x1x2)1，(xmxn)24x2.所以.(3)在yk(x1)中，令x0，则yk，所以p(0，k)，从而(x1，ky1)，(x21，y2)，x1(x21)，即x1x2，由(2)知x1x2，联立得x1，x2.又x1x2，50k483k2340，解得k22或k2(舍去)又因为k0，所以k.5数列an中，对任意给定的正整数n，存在不相等的正整数i，j(ij)，使得anaiaj，且in，jn，则称数列an具有性质p.(1)若仅有3项的数列1，a，b具有性质p，求ab的值；(2)求证：数列具有性质p；(3)正项数列bn是公比不为1的等比数列若bn具有性质p，则数列bn至少有多少项？请说明理由解：(1)数列1，a，b具有性质p 或ab2或ab2；(2)证明：假设存在不相等的正整数i，j(i0且q1，则bnb1qn1.数列bn具有性质p存在不相等的正整数i，j(ii1，且i，jn*，ij21若ij21，即b1，b21，b3q要使b1bibj，则必为bn中的项，与b1矛盾；ij21若ij22，即b1，b2，b31，b4q，要使b1bibj，则必为bn中的项，与b1矛盾；ij22若ij23，即b1，b2，b3，b41，b5q，b6q2，b7q3, 这时对于n1,2，7，都存在bnbibj，其中i0)，g(x)ln x2.(1)当m1时，求函数f(x)的单调增区间；(2)设函数h(x)f(x)xg(x)，x0.若函数yh(h(x)的最小值是，求m的值；(3)若函数f(x)，g(x)的定义域都是1，e，对于函数f(x)的图象上的任意一点a，在函数g(x)的图象上都存在一点b，使得oaob，其中e是自然对数的底数，o为坐标原点求m的取值范围解：(1)当m1时，f(x)xln x，f(x)ln x1.因为f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)0，所以当x1时，f(x)0；当0x1时，f(x)0.所以函数f(x)的单调增区间是(1，)(2)h(x)2x，则h(x)2，令h(x)0，得x ，当0x 时，h(x) 时，h(x)0，函数h(x)在上单调递增所以h(x)minh2.当(21) ，即m时，函数yh(h(x)的最小值h(2)，即17m2690，解得1或(舍去)，所以m1.当0(21) ，即m0在1，e上恒成立，所以函数y在1，e上单调递增，故kob，所以koa，即ln xe在1，e上恒成立，即x2ln xmx2(eln x)在1，e上恒成立设p(x)x2l