2013年数学全真模拟试卷1（教师版）.doc

启东市2013年数学全真模拟试卷一一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知集合，则 易得，则；2 若（其中表示复数z的共轭复数），则复数z的模为 3 ；3 已知函数在处的导数为，则实数的值是 2 易得，则，即；4 根据国家质量监督检验检疫局发布的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验(GB195222004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml；血液酒精含量（单位：mg/100ml）02020404060608080100人数18011522“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 0.09 “饮酒驾车” 发生的频率等于；5 要得到函数的函数图象，可将函数的图象向右至少平移 个单位 将向右至少平移个单位得；开始结束（第7题）6在平面直角坐标系xOy中，“直线，与曲线相切”的充要条件是“ ” 易得，且，即；7 如图，表示第i个学生的学号，表示第i个学生的成绩，已知学号在110的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是；8 在ABC中，若，则 设，则，且，利用可求得，所以；9 已知是上的奇函数，且时，则不等 式的解集为 易得，故所求解集为；10设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 法1 设正四棱锥的底面边长为，则体积，记， ，利用导数可求得当时，此时；法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为，则， ，记，利用导数可求得当时，此时；（第11题图）11 已知平面向量，满足，的夹角等于，且，则的取值范围是 如图，设ABC中，由余弦定理得，由知，点的轨迹是以为直径的圆，且，故；12 在平面直角坐标系xOy中，过点、分别作x轴的垂线与抛物线分别交于点，直线与 x轴交于点，这样就称确定了同样，可由确定，若，则 设、，则割线的方程为：， 令得，即，不难得到； 13定义：x，y为实数x，y中较小的数已知，其中a，b 均为正实数，则h的最大值是 易得，所以（当且仅当时取等号）；14在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，其中为直角顶点若该三角形的面积的最大值为，则实数的值为 3 设AB的方程为：，则AC的方程为：，由得 ，解得用“”替换“”得 故 所以， 令，则（当且仅当时等号成立），由得解得或（舍去），所以二、解答题：15已知函数 （1）求的最小正周期和值域；（2）若为的一个零点，求的值 命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解能力（1）易得 ， 所以周期，值域为；（2）由得， 又由得 所以故， 此时， （第16题）DABC 16（本题满分14分） 如图，在边长为1的菱形ABCD中，将正三角形BCD沿BD向上折起，折起后的点C记为，且（）（1）若，求二面角CBD的大小；（2）当变化时，线段上是否总存在一点E，使得A/平面BED？请说明理由 命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力（第16题图）DABCOE解：（1）连结，交于点，连结， 菱形ABCD中， 因三角形BCD沿BD折起，所以， 故为二面角CBD的平面角， 易得，而， 所以，二面角CBD的大小为； （2）当变化时，线段的中点E总满足A/平面BED，下证之： 因为E，O分别为线段，AC的中点， 所以， 又平面BED，平面BED， 所以A/平面BED. 17在平面直角坐标系中，设A、B是双曲线上的两点，是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点（1）求直线AB与CD的方程；（2）判断A、B、C、D四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力解：（1）设A，则， 代入双曲线得 解得或 即的坐标为、， 所以：，：； （2）A、B、C、D四点共圆，下证之： 证明：由与联立方程组可得的坐标为、 ，由三点A、B、C可先确定一个圆， 经检验适合式，所以A、B、C、D四点共圆 （注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）18某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位） （参考数据：，） 命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力 解：（1）设文科阅卷人数为，且， 则阅卷时间为（5分） 而故， 答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分） （2）文科阅卷时间为：，（11分） 理科阅卷时间为：，（14分） 答：全省阅卷时间最短为天（15分）19 已知函数的导函数是二次函数，且的两根为若的极大值与极小值 之和为0， （1）求函数的解析式； （2）若函数在开区间上存在最大值与最小值，求实数的取值范围（3）设函数，正实数a，b，c满足，证明：19命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形 结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的综合能力（第19题图） 解：（1）设， 则可设，其中为常数. 因为的极大值与极小值之和为0， 所以，即， 由得， 所以；（5分） （2）由（1）得，且0+0极小值极大值 列表： 由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分） 又，故， 所以，且， 解得；（10分） （3）题设等价与，且a，b，c0，所以a，b，c均小于 假设在a，b，c中有两个不等，不妨设ab，则ab或ab 若ab，则由得即， 又由得ca于是abca，出现矛盾 同理，若ab，也必出现出矛盾故假设不成立，所以（16分）20设首项为1的正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，其中为常数. （1）求的值；（2）求证：数列为等比数列；（3）证明：“数列，成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“， 且”命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力解：（1）n = 1时，由得p = 0或2，（2分） 若p = 0时，当时，解得或， 而，所以p = 0不符合题意，故p = 2；（5分） （2）当p = 2时， ，则， 并化简得 ，则 ， 得（），又易得， 所以数列an是等比数列，且；（10分） （3）充分性：若x = 1，y = 2，由知，依次为， 满足，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；（12分） 必要性：假设，成等差数列，其中x、y均为整数，又， 所以， 化简得 显然，设， 因为x、y均为整数，所以当时，或，故当，且当，且时上式成立，即证 （16分） 21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若 多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤B（矩阵与变换）已知矩阵的属于特征值的一个特征向量为，求实数、的值 命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知=，（5分） 所以解得.（10分）C（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，已知点在曲线（为参数，为正常数），求的值 C命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力解：由（为参数，为正常数），消去参数得，（8分） 将点代入得.（10分）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤22已知函数，求的最大值. 命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识，考查运算求解、推理论证能力证明：由得，（2分）令，则，当时，在上为增函数；当x0时，在上为减函数，所以在x=0处取得极大值，且，（6分）故（当且仅当时取等号），所以函数为上