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第4讲不等式选讲 高考定位高考对本内容的考查主要有 1 含绝对值的不等式的解法 B级要求 2 不等式证明的基本方法 B级要求 3 利用不等式的性质求最值 B级要求 4 几个重要的不等式的应用 B级要求 真题感悟 1 2014 江苏卷 已知x 0 y 0 证明 1 x y2 1 x2 y 9xy 2 2013 江苏卷 已知a b 0 求证 2a3 b3 2ab2 a2b 证明2a3 b3 2ab2 a2b 2a a2 b2 b a2 b2 a2 b2 2a b a b a b 2a b 因为a b 0 所以a b 0 a b 0 2a b 0 从而 a b a b 2a b 0 即2a3 b3 2ab2 a2b 考点整合 1 含有绝对值的不等式的解法 1 f x a a 0 f x a或f x 0 a f x a 3 对形如 x a x b c x a x b c的不等式 可利用绝对值不等式的几何意义求解 2 含有绝对值的不等式的性质 a b a b a b 此性质可用来解不等式或证明不等式 3 基本不等式定理1 设a b R 则a2 b2 2ab 当且仅当a b时 等号成立 热点一含绝对值不等式的解法例1已知函数f x x a x 2 1 当a 3时 求不等式f x 3的解集 2 若f x x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 当x 3时 由f x 3得2x 5 3 解得x 4 所以f x 3的解集为 x x 1 或x 4 2 f x x 4 x 4 x 2 x a 当x 1 2 时 x 4 x 2 x a 4 x 2 x x a 2 a x 2 a 由条件得 2 a 1且2 a 2 即 3 a 0 故满足条件的a的取值范围是 3 0 规律方法 1 用零点分段法解绝对值不等式的步骤 求零点 划区间 去绝对值号 分别解去掉绝对值的不等式 取每个结果的并集 注意在分段时不要遗漏区间的端点值 2 用图象法 数形结合可以求解含有绝对值的不等式 使得代数问题几何化 既通俗易懂 又简洁直观 是一种较好的方法 训练1 2014 南京 盐城 已知关于x的不等式 x a 1 x 0的解集为R 求实数a的取值范围 规律方法不等式证明过程中要认真分析待证不等式的结构特征 充分利用几个重要不等式 灵活使用综合法 分析法 反证法和数学归纳法来证明不等式 训练2 2014 福建卷 已知定义在R上的函数f x x 1 x 2 的最小值为a 1 求a的值 2 若p q r是正实数 且满足p q r a 求证 p2 q2 r2 3 1 解因为 x 1 x 2 x 1 x 2 3 当且仅当 1 x 2时 等号成立 所以f x 的最小值等于3 即a 3 2 证明由 1 知p q r 3 又因为p q r是正实数 所以 p2 q2 r2 12 12 12 p 1 q 1 r 1 2 p q r 2 9 即p2 q2 r2
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