2007-2012年高考数学试卷(海南、宁夏理科)打印版.doc

.2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知命题，则（）， ，2已知平面向量，则向量（）开始？是否输出结束3函数在区间的简图是（）4已知是等差数列，其前10项和，则其公差（）5如果执行右面的程序框图，那么输出的（）24502500255026526已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且， 则有（） 2020正视图20侧视图101020俯视图7已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（）8已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（） 9若，则的值为（）10曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）11甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664 12一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则（）第II卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为14设函数为奇函数，则15是虚数单位，（用的形式表示，）16某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种（用数字作答）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高18（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值19（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由20（本小题满分12分）如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目（I）求的均值；（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率附表：P（k）21（本小题满分12分）设函数（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于22请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点（）证明四点共圆；（）求的大小22（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程和的极坐标方程分别为（）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求经过，交点的直线的直角坐标方程22（本小题满分10分）选修；不等式选讲设函数（I）解不等式；（II）求函数的最小值2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题123456789101112二、填空三、解答题17解：在中，由正弦定理得所以在中，18证明：（）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）解法一：取中点，连结，由（）知，得为二面角的平面角由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值为解法二：以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为19解：（）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得 整理得直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或即的取值范围为（）设，则，由方程，又 而所以与共线等价于，将代入上式，解得由（）知或，故没有符合题意的常数20解：每个点落入中的概率均为 依题意知（）（）依题意所求概率为，21解：（），依题意有，故从而的定义域为，当时，；当时，； 当时，从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少（）的定义域为，方程的判别式（）若，即，在的定义域内，故的极值（）若，则或若，当时，当时，所以无极值若，也无极值（）若，即或，则有两个不同的实根，当时，从而有的定义域内没有零点，故无极值当时，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值综上，存在极值时，的取值范围为的极值之和为22（）证明：连结因为与相切于点，所以因为是的弦的中点，所以于是由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆（）解：由（）得四点共圆，所以由（）得由圆心在的内部，可知所以22解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位（），由得所以即为的直角坐标方程同理为的直角坐标方程（）由解得即，交于点和过交点的直线的直角坐标方程为22解：（）令，则3分作出函数的图象，它与直线的交点为和所以的解集为（）由函数的图像可知，当时，取得最小值2008年普通高等学校统一考试（海南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知函数y=2sin(x+)(0)在区间0，2的图像如下：那么=（ ）A. 1B. 2C. 1/2D. 1/32、已知复数，则（ ）A. 2iB. 2i C. 2 D. 23、如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）是否开始输入a,b,cx=abx输出x结束x=bx=c否是A. 5/18B. 3/4 C. /2 D. 7/84、设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）A. 2B. 4C. D. 5、右面的程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）A. c xB. x cC. c bD. b c6、已知，则使得都成立的取值范围是（ ）A.（0，） B. （0，） C. （0，） D. （0，）7、=（ ）A. B. C. 2 D. 8、平面向量，共线的充要条件是（ ）A. ，方向相同B. ，两向量中至少有一个为零向量C. ，D. 存在不全为零的实数，9、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ）A. 20种B. 30种C. 40种D. 60种10、由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（ ）A. B. C. D. 11、已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）A. （，1）B. （，1）C. （1，2）D. （1，2）12、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（ ）A. B. C. 4D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。13、已知向量，且，则= _14、过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，那么这个球的体积为 _16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：由以上数据设计了如下茎叶图：甲品种：271273280285285287292294295301303303307308310314319323325325328331334337352乙品种：284292295304306307312313315315316318318320322322324327329331333336337343356甲乙31277550284542292587331304679403123556888553320224797413313673432356根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：_三、解答题：本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。17、（本小题满分12分）已知数列是一个等差数列，且，。（1） 求的通项；（2） 求前n项和的最大值。18、（本小题满分12分）如图，已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，PDA=60。（1） 求DP与CC1所成角的大小；（2） 求DP与平面AA1D1D所成角的大小。19、（本小题满分12分）A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%X22%8%12%P0.80.2P0.20.50.3（1） 在A、B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1、DY2；（2） 将x（0x100）万元投资A项目，100x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。（注：D(aX + b) = a2DX）20、（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2。F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且。（1） 求C1的方程；（2） 平面上的点N满足，直线lMN，且与C1交于A、B两点，若=0，求直线l的方程。21、（本小题满分12分）设函数，曲线在点处的切线方程为。（1） 求的解析式；（2） 证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3） 证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值。请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。22、（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P。（1）证明：OMOP = OA2；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的切线交直线ON于K。证明：OKM = 90。23、（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线C1：，曲线C2：。（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。写出，的参数方程。与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。24、（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数。（1） 作出函数的图像；（2） 解不等式。2008年普通高等学校统一考试（宁夏卷）数学（理科）参考答案一、选择题1B2B3D4C5A6B 7C8D9A10D11A12C二、填空题131415161乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）2甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）3甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm4乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀三、解答题17解：（）设的公差为，由已知条件，解出，所以ABCDPxyzH（）所以时，取到最大值18解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由可得解得，所以（）因为，所以即与所成的角为（）平面的一个法向量是因为，所以可得与平面所成的角为19解：（）由题设可知和的分布列分别为 Y1510P0.80.2 Y22812P0.20.50.3，（），当时，为最小值20解：（）由：知设，在上，因为，所以，得，在上，且椭圆的半焦距，于是 消去并整理得，解得（不合题意，舍去）故椭圆的方程为（）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率设的方程为由 消去并化简得设，因为，所以所以此时，故所求直线的方程为，或21解：（），于是 解得 或因，故（）证明：已知函数，都是奇函数所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形而可知，函数的图像按向量平移，即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形（）证明：在曲线上任取一点由知，过此点的切线方程为令得，切线与直线交点为令得，切线与直线交点为直线与直线的交点为从而所围三角形的面积为所以，所围三角形的面积为定值22解：（）证明：因为是圆的切线，所以又因为在中，由射影定理知，（）证明：因为是圆的切线，同（），有，又，所以，即又，所以，故23解：（）是圆，是直线的普通方程为，圆心，半径的普通方程为因为圆心到直线的距离为，所以与只有一个公共点（）压缩后的参数方程分别为：（为参数）； ：（t为参数）化为普通方程为：，：，联立消元得，其判别式，所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同24解：11Oxy23424-1-2-28-4（）图像如下：（）不等式，即，由得由函数图像可知，原不等式的解集为2009年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）数学（理工农医类）一、选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M=x|3x5,N=x|5x0,V=ST (B) A0, V=S+T （D）A0, V=S+T（11）正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为ABCDEFH（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2（12）若满足2x+=5, 满足2x+2(x1)=5, +（A） (B) 3 (C) (D) 4二、填空题（13）某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h. （14）等差数列的前项和为，且则 （15）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 （16）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。四、解答题（17）（本小题满分12分）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） （18）（本小题满分12分）如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。（I）若平面ABCD 平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。 （19）（本小题满分12分）某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。（）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；（）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A） （20）（本小题满分12分）已知，椭圆C过点A ，两个焦点为（1，0），（1，0）。求椭圆C的方程；E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)=xax+(a1)，。（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分10分）选修41：几何证明讲 已知 ABC 中，AB=AC, D是 ABC外接圆劣弧上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。求证：AD的延长线平分CDE；若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC外接圆的面积。（23）（本小题满分10分）选修44 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。（24）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数。（1）若解不等式；（2）如果,求 的取值范围。2009年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）参考答案选择题（每小题5分，共60分）(1) 【答案】B 【解析】直接利用交集性质求解,或者画出数轴求解. (2) 【答案】D 【解析】 (3) 【答案】B 【解析】由已知|a|2,|a2b|2a24ab4b24421cos60412 (4) 【答案】B 【解析】圆心在xy0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可. (5) 【答案】A【解析】直接法：一男两女,有C51C425630种,两男一女,有C52C4110440种,共计70种；间接法：任意选取C9384种,其中都是男医生有C5310种,都是女医生有C414种,于是符合条件的有8410470种.(6) 【答案】B【解析】设公比为q ,则1q33 q32，于是 (7) 【答案】D 【解析】y,当x1时切线斜率为k2 (8) 【答案】B 【解析】由图象可得最小正周期为， 于是f(0)f(),注意到与关于对称，所以f()f() (9) 【答案】A【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)f(|x|)； 得f(|2x1|)f(),再根据f(x)的单调性；得|2x1| 解得x (10) 【答案】C 【解析】月总收入为S,因此A0时归入S,判断框内填A0 支出T为负数,因此月盈利VST (11) 【答案】C 【解析】由于G是PB的中点,故PGAC的体积等于BGAC的体积 在底面正六边形ABCDER中 BHABtan30AB 而BDAB 故DH2BH 于是VDGAC2VBGAC2VPGAC (12) 【答案】C 【解析】由题意 所以, 即2令2x172t,代入上式得72t2log2(2t2)22log2(t1)，52t2log2(t1)与式比较得tx2；于是2x172x2) (13) 【答案】1013 【解析】1013 (14) 【答案】 【解析】Snna1n(n1)d S55a110d,S33a13d 6S55S330a160d(15a115d)15a145d15(a13d)15a4 (15) 【答案】4 【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于2434 (16) 【答案】9 【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F(4,0), 于是由双曲线性质|PF|PF|2a4 而|PA|PF|AF|5 两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立. (17)解:在ABC中，DAC=30, ADC=60DAC=30,所以CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 5分在ABC中，即AB=因此，BD=故B，D的距离约为0.33km。 (18) （18）（I）解法一：取CD的中点G，连接MG，NG。设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MGCD，MG=2，NG=.因为平面ABCD平面DCED，所以MG平面DCEF，可得MNG是MN与平面DCEF所成的角。因为MN=，所以sinMNG=为MN与平面DCEF所成角的正弦值 解法二： 设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.则M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(1,1,2).又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，可得所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos 6分()假设直线ME与BN共面， 8分则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。又AB/CD，所以AB/平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB/EN。又AB/CD/EF，所以EN/EF，这与ENEF=E矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线. 12分(19) （19）解：（）依题意X的分列为01234P（）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2. B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2.依题意知P（A1）=P(B1)=0.1，P（A2）=P(B2)=0.3，,所求的概率为 12分 (20) （20）解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）所以椭圆方程为。 4分（）设直线AE方程为：，代入得 设,因为点在椭圆上，所以 8分又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以K代K，可得所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。 12分(21) (21)解：(1)的定义域为。（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数 则由于1a6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好（20.）解：（I）由椭圆定义知，又，得的方程为，其中。设，则A、B两点坐标满足方程组化简的则因为直线AB斜率为1，所以得故所以E的离心率（II）设AB的中点为，由（I）知，。由，得，即得，从而故椭圆E的方程为。（21）解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.（22）解：（I）因为,所以.又因为与圆相切于点，故，所以.（II）因为,所以，故，即.(23)解： （）当时，的普通方程为，的普通方程为。联立方程组 ，解得与的交点为（1,0）。（）的普通方程为。A点坐标为，故当变化时，P点轨迹的参数方程为