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文档简介
2009年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工农医科)第卷 一、选择题:1.设集合则( C ).已知函数连续,则常数的值是( B ). . . . .复数的值是( A ). . . . 4.已知函数,下面结论错误的是( D )A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数5.如图,已知六棱锥的底面是正六边形,则下列结论正确的是( D ). .平面 C. 直线平面. 6.已知为实数,且。则“”是“”的( B )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.已知双曲线的左右焦点分别为,其一条渐近线方程为,点在该双曲线上,则=( C )A. B. C .0 D. 4 8.如图,在半径为3的球面上有三点,球心到平面的距离是,则两点的球面距离是( B )A. B. C. D. 9.已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( A )A.2 B.3 C. D. 10.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是( D )A. 12万元 B. 20万元C. 25万元 D. 27万元11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( B )A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 12.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是( A )A.0 B. C.1 D.2009年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理科)第卷考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在题中横线上13.的展开式的常数项是 -20 (用数字作答)14.若与相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是 4 15.如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,是侧 棱的中点,则异面直线所成的角的大小是 。16设是已知平面上所有向量的集合,对于映射,记的象为。若映射满足:对所有及任意实数都有,则称为平面上的线性变换。现有下列命题:设是平面上的线性变换,则对设,则是平面上的线性变换;若是平面上的单位向量,对设,则是平面上的线性变换;设是平面上的线性变换,若共线,则也共线。其中真命题是 (写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共6小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分12分)在中,为锐角,角所对应的边分别为,且(I)求的值;(II)若,求的值。解:()、为锐角,又, ()由()知,. 由正弦定理得,即, , , 18. (本小题满分12分)为振兴旅游业,四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中是省外游客,其余是省内游客。在省外游客中有持金卡,在省内游客中有持银卡。(I)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;(II)在该团的省内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量,求的分布列及数学期望。 解:()由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”, 事件为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”, 事件为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”。 所以在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。()的可能取值为0,1,2,3 , , 所以的分布列为0123 所以19(本小题满分12分)如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,是等腰直角三角形,(I)求证:;(II)设线段的中点为,在直线上是否存在一点,使得?若存在,请指出点的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由;(III)求二面角的大小。解法一:()因为平面平面,平面,平面平面,所以平面所以.因为为等腰直角三角形, ,所以又因为,所以,即,所以平面。 ()存在点,当为线段AE的中点时,PM平面 取BE的中点N,连接AN,MN,则MNPC 所以PMNC为平行四边形,所以PMCN 因为CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内, 所以PM平面BCE ()由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知,EA平面ABCD作FGAB,交BA的延长线于G,则FGEA。从而,FG平面ABCD作GHBD于G,连结FH,则由三垂线定理知,BDFH因此,AEF为二面角F-BD-A的平面角因为FA=FE, AEF=45,所以AFE=90,FAG=45.设AB=1,则AE=1,AF=. FG=AFsinFAG=在RtFGH中,GBH=45,BG=AB+AG=1+=,GH=BGsinGBH=在RtFGH中,tanFHG= = 故二面角F-BD-A的大小为arctan. 解法二:()因为ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又因为平面ABEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则AE=1,B(0,1,0),D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因为FA=FE, AEF = 45,所以AFE= 90.从而,.所以,.,.所以EFBE, EFBC.因为BE平面BCE,BCBE=B ,所以EF平面BCE. () M(0,0,).P(1, ,0).从而=(,).于是所以PMFE,又EF平面BCE,直线PM不在平面BCE内,故PM平面BCE. () 设平面BDF的一个法向量为,并设=(x,y,z)=(1,1,0), 即去y=1,则x=1,z=3,从=(0,0,3)取平面ABD的一个法向量为=(0,0,1)故二面角F-BD-A的大小为. 20(本小题满分12分)已知椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线方程为。(I)求椭圆的标准方程;(II)过点的直线与该椭圆交于两点,且,求直线的方程。 解:()有条件有,解得。 。 所以,所求椭圆的方程为。()由()知、。 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1. 将x=-1代入椭圆方程得。 不妨设、, 直线l的斜率存在。 设直线l的斜率为k,则直线的方程为y=k(x+1)。设、,联立,消y得。由根与系数的关系知,从而,又,。 。化简得解得 21. (本小题满分12分)已知函数。(I)求函数的定义域,并判断的单调性;(II)若(III)当(为自然对数的底数)时,设,若函数的极值存在,求实数的取值范围以及函
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