一元一次方程总结.doc

一元一次方程归类总结（一）行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程速度时间 时间路程速度 速度路程时间（2）基本类型 相遇问题； 追及问题；相背而行；环形跑道问题。航行问题；基本量之间的关系： （3）相遇问题 （2）追及问题 快行距慢行距原距 快行距慢行距原距（4）常常借助画草图来分析，理解行程问题。 1、 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。 （1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ （1）分析：相遇问题，画图表示为： 等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 230x=390 答：（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？ 分析：等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。 解：设x小时后两车相距600公里，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 x= 答： （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ 分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程+480公里=600公里。 解：设x小时后两车相距600公里，(14090)x+480=600 50x=120 x=2.4 答：2.4小时后两车相距600公里。（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ 分析：追及问题，等量关系：快车的路程=慢车走的路程+480公里。 解：设x小时后快车追上慢车。 140x=90x+480 50x=480 x=9.6 答：9.6小时后快车追上慢车。（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。解：设快车开出x小时后追上慢车。140x=90(x+1)+480 50x=570 x=11.4 答：快车开出11.4小时后追上慢车。 2、已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？解：设甲的速度为x千米/小时。 3、 甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？ 分析追击问题，不能直接求出狗的总路程，可转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路程=它的速度时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间解：设甲用X小时追上乙 5X=3X+5 X=2.5， 狗的总路程：152.5=37.5 答： 4、有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长 解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为分过完第二铁桥所需的时间为分 += 解方程x+50=2x-50 得x=100 2x-50=2100-50=150 5、一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以18米/分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为14米/分。问：若已知队长320米，则通讯员几分钟返回？若已知通讯员用了25分钟，则队长为多少米？（1）设通讯员x分钟返回.则 x=90 （2）设队长为x米。则 （二）航行问题 流水、飞速问题是研究船、飞机在流水、风中的行程问题，因此，叫航行问题。 流水问题有如下两个基本公式：（飞机顺风、逆风是同样道理）顺水（风）速度=船、飞机速（静水、风）+水流（风）速度 船速= 顺水速度 水速逆水（风）速度=船、飞机速（静水、风）-水流（风）速度 船速=逆水速度+ 水速1、 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？ 解：设船在静水中的航速为 x km/h 2(x+3)=3(x-3) x=15 2(3+15)=362、一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两码头之间的距离。解：设甲、乙两码头之间的距离为x千米。 则。 x=803、某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。 分析这属于行船问题，相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。 解：设A、B两码头之间的航程为x千米，则B、C间的航程为(x-10)千米， 由题意得， 答： 4、一架飞机在两个城市之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的飞行路程？解：设两个城市之间的飞行路程为x千米。则 （三）工程问题：工程问题中的三个量及其关系为： 工作量工作效率工作时间 工作效率工作量工作时间 工作时间工作量工作效率 完成某项任务的各工作量的和总工作量11、 一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？ 分析甲独作10天完成，说明的他的工作效率是乙的工作效率是等量关系是：甲乙合作的效率合作的时间=1解：设合作X天完成, 依题意得方程 答：2、一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？解：设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作 根据题意，得+（+）x=1 解这个方程，得x= =2小时12分 答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作3. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。 解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得， 答：4、某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做1个零件，问甲工人每天能做几个零件？原计划几天完成？甲工人每天能做几个零件解：设甲工人每天能做x个零件。5、一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？解：设还需x天。6、 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？ . 分析等量关系为：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。 解：设打开丙管后x小时可注满水池， 由题意得， 答：7、某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元若此车间一共获利1440元，求这一天有几个工人加工甲种零件解：设这天有x名工人加工甲种零件，则加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个 根据题意，得165x+244（16-x）=1440 解得x=6答：这一天有6名工人加工甲种零件（四）劳力调配问题；分配问题：1、某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？ 解：设需从第一车间调x人到第二车间2(64-x)=56+x2、甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。解：设乙车间人数为x，则，由第一个假设得：甲车间人数+100=6(x-100)，甲车间=6x-700，由第二个假设得：甲车间人数-100=x+100，甲车间=x+200，这样就可以建立一元一次方程：6x-700=x+200， x=180，甲车间人数=380。分配问题： 3、100个和尚100个馍，大和尚每人吃两个，小和尚两人吃一个，问有多少大和尚，多少小和尚。 设有x个大和尚，小和尚100-x2x+(100-x)2=1004.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。解：设求房间的个数为x。8x+12=9（x-2）x=30 30 8 +12=252（人）（五）配套问题：1.有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？解：设鸡有x只, 则兔有(88-x)只 2x+(88-x) 4=2442、机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？解：设需安排x名工人加工大齿轮,则小齿轮加工人数为(85-x)316x210(85-x) x=25 85-25=60答：25人生产大齿轮，60人生产小齿轮3、工厂有工人共28人，已知1人一天能生产螺钉12个或螺母18个，如何分配才能使一天生产的产品刚好配套？（1个螺钉配2个螺母）解：设X人生产螺钉，28-X人生产螺母。 2（12X)=18（28-X) 24X=504-18X24X+18X=50442X=504 X=12 螺母28-12=26人（六）年龄问题；数字问题1、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是_20_.解：设现在的年龄为x。x+15-5=2(x-5)数字问题：（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1a9， 0b9， 0c9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n-2表示；奇数用2n+1或2n-1表示。1、一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后新两位数解：设十位上的数字X，则个位上的数是2X，102X+X=（10X+2X）+36X=4， 2X=8，答：原来的两位数是48。2、一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数.分析若设十位上的数为x，则百位上的数为x+7，个位上的数是3x，等量关系为三个数位上的数字和为17。解：设这个三位数十位上的数为X，则百位上的数为x+7，个位上的数是3xx+x+7+3x=17 解得x=2x+7=9，3x=6 答：这个三位数是926（七）利润赢亏、打折销售问题（1）销售问题中常出现的量有： 进价、售价、标价、利润等（2）有关关系式： 商品利润=商品售价-商品进价（成本价） =商品标价折扣率-商品进价 商品利润率100% 商品售价=商品标价折扣率（如8折80%）（3）商品销售额商品销售价商品销售量；商品销售利润（销售价成本价）销售量1.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？解：设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（ ） A.45%（1+80%）x-x=50 B. 80%（1+45%）x - x = 50C. x-80%（1+45%）x = 50 D.80%（1-45%）x - x = 502. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？ 分析 等量关系：商品利润率=商品利润/商品进价 解：设标价是X元，解之：x=105 优惠价为3某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折解：设至多打x折，根据题意有100%=5% 解得x=0.7=70% 答：至多打7折出售4一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价解：设每台彩电的原售价为x元，根据题意 10x（1+40%）80%-x=2700， x=2250 答： （七） 储蓄、储蓄利息问题 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税 利息=本金利率期数 本息和=本金+利息 利息税=利息税率（20%） (3）1白云商场购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元（销售价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润）现为了扩大销售量，把每件的销售价降低x%出售，但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%，则x应等于（ ） A1 B1.8 C2 D10点拨：根据题意列方程，得（10-8）90%=10（1-x%）-8，解得x=2，故选C2. 某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税） 分析等量关系：本息和=本金（1+利率） 解：设半年期的实际利率为X，250（1+X）=252.7， 250x6=252.7-250X=0.0108 年利率为0.01082=0.0216 答：银行的年利率是21.6%3、小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）解：设这种债券的年利率是x，根据题意有4500+45002x（1-20%）=4700， 解得x=0.03 答： 一年2.25三年2.70六年2.884、为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：(1）直接存入一个6年期；(2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期；(3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？分析这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。解：(1）设存入一个6年的本金是X元,依题意得方程X（1+62.88%）=20000，解得X=17053(2）设存入两个三年期开始的本金为Y元，Y（1+2.7%3）(1+2.7%3）=20000，X=17115(3）设存入一年期本金为Z元 ，Z（1+2.25%）6=20000，Z=17894所以存入一个6年期的本金最少。（八）比赛积分问题；起步价问题1、某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了 8 道题。解：设回答正确的题目数量为x ; 错误题数则为50-5-x 即 45-x3x-(45-x)=103 x=37 45-x=45-37=8 所以做错了8题 2、已知：我市出租车收费标准如下：乘车里程不超过3公里的一律收费7元；乘车里程超过2公里的，除了收费7元外超过部分按每公里1.4元计费。某游客乘出租车从客运中心到三星堆，付了车费11.2元，试估算从客运中心到三星堆大约有多少公里？解：设 客运中心到三星堆相距x公里，则超程费为1.4(x-3)元。根据题意（起步费+超程费=总付费）7+1.4(x-3)=11.2 解得 x=6（九）增长率问题：1.某化肥厂去年生产化肥3200吨，今年计划生产3600吨，今年计划比去年增产 12、5 %(3600-3200)/3200=0.0125解：设今年计划比去年增产X吨 3200+X=3600X=400 400/3200=0.125=12.5%2.某加工厂有出米率为70%的稻谷加工大米，现在加工大米100公斤，设要这种大米x公斤，则列出的正确的方程是 x70%=100 （九）和差倍分问题 （1）（1）和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系，关键词语：如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，能指导我们正确地列出代数式或方程式。 增长量原有量增长率 现在量原有量增长量（2）等积变形问题：常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变 圆柱体的体积公式 V=底面积高Shr2h长方体的体积 V长宽高abc1、某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的。问每个仓库各有多少粮食？解：设第二个仓库存粮2、一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，3.14）解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得 （）2x=30030080 x229.3答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米3、长方体甲的长、宽、高分别为260mm，150mm，325mm，长方体乙的底面积为130130mm2，又知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高？解：设乙的高为（十五）方案选择问题1某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是： 如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工 方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成你认为哪种方案获利最多？为什么？解：方案一：获利1404500=630000（元） 方案二：获利1567500+（140-156）1000=725000（元） 方案三：设精加工x吨，则粗加工（140-x）吨 依题意得=15 解得x=60 获利607500+（140-60）4500=810000（元） 因为第三种获利最多，所以应选择方案三2某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过