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2020 3 12 1 二阶常系数齐次线性微分方程的通解 2020 3 12 2 一 定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 2020 3 12 3 二 二阶常系数齐次线性方程解法 特征方程法 将其代入上方程 得 故有 特征方程 特征根 2020 3 12 4 有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 2020 3 12 5 反之 2020 3 12 6 有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 2020 3 12 7 反之 2020 3 12 8 有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 特征根为 2020 3 12 9 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 2020 3 12 10 例1求方程y 2y 3y 0的通解 解该方程的特征方程为r2 2r 3 0 它有两个不等的实根r1 1 r2 3 其对应的两个线性无关的特解为y1 e x与y2 e3x 所以方程的通解为 2020 3 12 11 例2求方程y 4y 4y 0的满足初始条件y 0 1 y 0 4的特解 解该方程的特征方程为r2 4r 4 0 求得 将y 0 1 y 0 4代入上两式 得C1 1 C2 2 y 1 2x e2x 其对应的两个线性无关的特解为y1 e2x与y2 xe2x 所以通解为 因此 所求特解为 它有重根r 2 2020 3 12 12 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例2 2020 3 12 13 例3求方程2y 2y 3y 0的通解 解该方程的特征方程为2r2 2r 3 0 它有共轭复根 对应的两个线性无关的解为 所以方程的通解为 2020 3 12 14 例4求方程y 4y 0的通解 解该方程的特征方程为r2 4 0 它有共轭复根r1 2 2i 即a 0 b 2 对应的两个线性无关的解y1 cos2x y2 sin2x 所以方程的通解为 2020 3 12 15 2020 3 12 16 三 n阶常系数齐次线性方程解法 特征方程为 2020 3 12 17 注意 n次代数方程有n个根 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项 且每一项各一个任意常数 2020 3 12 18 特征根为 故所求通解为 解 特征方程为 例4 2020 3 12 19 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤 1 写出相应的特征方程 2 求出特征根 3 根据特征根
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