高一数学基础知识点总结.doc

精品文档高一数学基础知识点总结.1集合2函数3基本初等函数4立体几何初步5平面解析几何初步6基本初等函数7平面向量8三角恒等变换9解三角形10.数列11.不等式1集合一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。如（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母 集合的分类: 并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作AB（或BA），读作“A并B”（或“B并A”），即AB=x|xA,或xB交集： 以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作AB（或BA），读作“A交B”（或“B交A”），即AB=x|xA,且xB差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合注:空集属于任何集合,但它不属于任何元素.空集属于任何集合吗?你这句话是错误的,空集也是集合,而集合跟集合之间的关系只能是包含和被包含的关系.只有集合里的元素与集合间的关系才是属于关系但是如果你把“属于”改成“包含于”就对了.也就是“空集包含于任何集合”.空集真包含于任何非空集合也是对的.某些指定的对象集在一起就成为一个集合，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做。 集合的性质：确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。不能写成1，1，2，应写成1，2。无序性：a,b,cc,b,a是同一个集合集合有以下性质：若A包含于B，则AB=A，AB=B常用数集的符号：（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N+（或N*）（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q（5）全体实数的集合通常简称实数集，级做R集合的运算：1.交换律AB=BAAB=BA2.结合律(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)3.分配律A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)例题已知集合Aa2，a1，3，Ba3，2a1，a21，且AB3，求实数a的值AB33B若a33，则a0，则A0，1，3，B3，1，1AB3，1与B3矛盾，所以a33若2a13，则a1，则A1，0，3，B4，3，2此时AB3符合题意，所以a12函数函数的单调性：设函数f(x)的定义域为I. 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时： （1）若总有f(x1)f(x2),则称函数y=f(x)在这个区间上是减函数。 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。函数的奇偶性：在函数y=f(x)中，如果对于函数定义域内的任意一个x. （1）若都有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数； （2）若都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。 如果函数y=f(x)在某个区间上是奇函数或者偶函数，那么称函数y=f(x)在该区间上具有奇偶性。1作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点） 2性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与x轴交点的坐标总是（0，b)正比例函数的图像总是过原点。 3k，b与函数图像所在象限： 当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大； 当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b0时，直线必通过一、二象限；当b0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx （k为常数，k0）例 证明函数在上是增函数1分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流证明：任取, 设元求差变形,断号即函数在上是增函数定论3基本初等函数指数函数的一般形式为y=ax(a0且不=1) ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得 如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。在函数y=ax中可以看到：（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于一般也不考虑。（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合。（3） 函数图形都是下凹的。（4） a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。（7） 函数总是通过（0，1）这点（8） 显然指数函数无界。 （9） 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。例1：下列函数在R上是增函数还是减函数？y=4x因为41，所以y=4x在R上是增函数；y=(1/4)x因为01/41,所以y=(1/4)x在R上是减函数对数函数一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1在一个普通对数式里 a0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga Mn = nloga M 如果a0,N0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);（3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （n属于R）4立体几何初步 1.1.1 构成空间几何体的基本元素柱 1.1.2 棱、棱锥和棱台的结构特征 1.1.3 圆柱、圆锥和圆台的结构特征 1.1.4 投影与直观图 1.1.5 三视图 1.1.6 棱柱、棱锥和棱台的表面积 1.1.7 柱、锥和台的体积棱柱表面积A=L*H+2*S,体积V=S*H (L-底面周长,H-柱高,S-底面面积) 圆柱表面积A=L*H+2*S=2*R*H+2*R2,体积V=S*H=*R2*H (L-底面周长,H-柱高,S-底面面积,R-底面圆半径) 球体表面积A=4*R2,体积V=4/3*R3 (R-球体半径) 圆锥表面积A=1/2*s*L+*R2,体积V=1/3*S*H=1/3*R2*H (s-圆锥母线长,L-底面周长,R-底面圆半径,H-圆锥高) 棱锥表面积A=1/2*s*L+S,体积V=1/3*S*H (s-侧面三角形的高,L-底面周长,S-底面面积,H-棱锥高)长方形的周长=（长+宽）2 正方形 a边长 C4a Sa2 长方形 a和b边长 C2(a+b) Sab 三角形 a,b,c三边长 ha边上的高 s周长的一半 A,B,C内角 其中s(a+b+c)/2 Sah/2 ab/2sinC s(s-a)(s-b)(s-c)1/2a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D对角线长 对角线夹角 SdD/2sin 平行四边形 a,b边长 ha边的高 两边夹角 Sah absin 菱形 a边长 夹角 D长对角线长 d短对角线长 SDd/2 a2sin 梯形 a和b上、下底长 h高 m中位线长 S(a+b)h/2 mh d直径 Cd2r Sr2 d2/4 扇形 r扇形半径 正方形的周长=边长4 长方形的面积=长宽 正方形的面积=边长边长 三角形的面积=底高2 平行四边形的面积=底高 梯形的面积=（上底+下底）高2 直径=半径2 半径=直径2 圆的周长=圆周率直径= 圆周率半径2 圆的面积=圆周率半径半径 长方体的表面积= （长宽+长高宽高）2 长方体的体积 =长宽高 正方体的表面积=棱长棱长6正方体的体积=棱长棱长棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积高 圆锥的体积=底面积高3 长方体（正方体、圆柱体） 的体积=底面积高 平面图形 名称 符号 周长C和面积S a圆心角度数 C2r2r(a/360) Sr2(a/360) 弓形 l弧长 b弦长 h矢高 r半径 圆心角的度数 Sr2/2(/180-sin) r2arccos(r-h)/r -(r-h)(2rh-h2)1/2 r2/360 - b/2r2-(b/2)21/2 r(l-b)/2 + bh/2 2bh/3 圆环 R外圆半径 r内圆半径 D外圆直径 d内圆直径 S(R2-r2) (D2-d2)/4 椭圆 D长轴 d短轴 SDd/4 立方图形 名称 符号 面积S和体积V 正方体 a边长 S6a2 Va3 长方体 a长 b宽 c高 S2(ab+ac+bc) Vabc 棱柱 S底面积 h高 VSh 棱锥 S底面积 h高 VSh/3 棱台 S1和S2上、下底面积 h高 VhS1+S2+(S1S1)1/2/3 拟柱体 S1上底面积 S2下底面积 S0中截面积 h高 Vh(S1+S2+4S0)/6 圆柱 r底半径 h高 C底面周长 S底底面积 S侧侧面积 S表表面积 C2r S底r2 S侧Ch S表Ch+2S底 VS底h r2h 空心圆柱 R外圆半径 r内圆半径 h高 Vh(R2-r2) 直圆锥 r底半径 h高 Vr2h/3 圆台 r上底半径 R下底半径 h高 Vh(R2Rrr2)/3 球 r半径 d直径 V4/3r3d2/6 球缺 h球缺高 r球半径 a球缺底半径 Vh(3a2+h2)/6 h2(3r-h)/3 a2h(2r-h) 球台 r1和r2球台上、下底半径 h高 Vh3(r12r22)+h2/6 圆环体 R环体半径 D环体直径 r环体截面半径 d环体截面直径 V22Rr2 2Dd2/4 桶状体 D桶腹直径 d桶底直径 h桶高 Vh(2D2d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) Vh(2D2Dd3d2/4)/15 (母线是抛物线形)三视图的投影规则是：主视、俯视 长对正主视、左视 高平齐 左视、俯视 宽相等点线面位置关系公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上 公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上 公理三：三个不共线的点确定一个平面 推论一：直线及直线外一点确定一个平面 推论二：两相交直线确定一个平面 推论三：两平行直线确定一个平面 公理四：和同一条直线平行的直线平行 异面直线定义：不平行也不相交的两条直线 判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等线线平行线面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 线面平行面面平行 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 线线垂直线面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 线面垂直线线平行 如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 线面垂直面面垂直 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 线面垂直线线垂直 线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面。 面面垂直线面垂直 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。例题对于四面体ABCD,(1)若AB=AC,BD=CD如何证明BC垂直于AD?(2)若AB垂直于CD,BD垂直于AC,如何证明BC垂直于AD?证明：(1).取BC的中点F,连结AF,DF,则 AB=AC,BD=CD， ABC与DBC是等腰三角形， AFBC,DFBC.而AFDF=F, BC面AFD.又AD在平面AFD内， BC (2).设A在面BCD上的射影为O.连结BO,CO,DO.则 CDAB,CDAO,ABAO=A,CD面ABO. 而BO在平面ABO内，BOCD. 同理，DOBC.因此，O是BCD的垂心，因此有 COBD. BDCO,BDAO,COAO=O,BD面AOC. 而AC在平面AOC内，BDAC.5平面解析几何初步两点距离公式：根号(x1-x2)2+(y1-y2)2中点公式：X=(X1+X2)/2 Y=(Y1+Y2)/2直线的斜率 倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切，叫做这条直线的斜率.通常用k来表示，记作： k=tga(0a180且a90) 倾斜角是90的直线斜率不存在，倾斜角不是90的直线都有斜率并且是确定的点斜式:y-y1=k(x-x1)；斜截式：y=kx+b；截距式：x/a+y/b=1直线的标准方程：Ax+Bx+C=0圆的一般方程： x2y2DxEyF0圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 2表示平方圆与圆的位置关系：1 点在圆上(点到半径的距离等于半径) 点在圆外(点到半径的距离大于半径) 点在圆内(点到半径的距离小于半径) 2 (1)相切:圆心到直线的距离等于半径 (2)相交:圆心到直线的距离小于半径 (3)相离:圆心到直线的距离大于半径 3 圆的切线是指 垂直于半径,直线到圆心距离等于半径的直线,垂足叫切点 4 圆心距为Q 大圆半径为R 小圆半径为r 两圆外切 Q=R+r 两圆内切 Q=R-r (用大减小) 两圆相交 QR+r 两圆内含 Qr,反之dr则相离, 相切则d=r,反之d=r则相切, 相交则dr,反之d=2时 有Sn=3an+2 1式 S(n-1)=3a(n-1)+2 （括号代表下标 下同）2式 1式-2式 得 an=3an-3a(n-1) 【an=Sn-S(n-1)】 所以 3a(n-1)=2an an=3/2a(n-1) 所以an是以-1为首项 以3/2为公比的等比数列2已知等差数列AN的前N项和为SN，且A3=5，S15=225.数列BN是等比数列，B3=A2+A3，B2B5=128. （1）求数列AN的通项AN及数列BN的前9项的和T9解 1.设等差数列an的首项为a1,公差为d；等比数列首项b1,公比为q a3=a1+2d=5 s15=(a1+a15)*15/2=(a1+a1+14d)*15/2=225 解出a1=1 d=2 所以数列an通项公式an=a1+(n-1)d=2n-1 可以求出a2=3,a3=5,所以b3=8 b3=b1q2=8 b2b5=(b1q)*(b1q4)=b12*q5=128 解出b1=1 q=2 所以bn=b1*q(n-1)=2(n-1) tn=a1(1-qn)/(1-q)=2n-1 所以t9=29-1=51111不等式不等式(inequality)用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。例如2x2y2xy，sinx1，ex0 ，2x3等 。根据解析式的分类也可对不等式分类，不等号两边的解析式都是代数式的不等式，称为代数不等式；只要有一边是超越式，就称为超越不等式。例如lg(1x)x是超越不等式。通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，z)G(x，y，z )（其中不等号也可以为， 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。不等式的最基本性质有：如果xy，那么yx；如果yx，那么xy；如果xy，yz；那么xz；如果xy，而z为任意实数，那么xzyz； 如果xy，z0，那么xzyz；如果xy，z0，那么xzyz。由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，其中比较有名的有：柯西不等式：对于2n个任意实数x1，x2，xn和y1，y2，yn，恒有（x1y1x2y2xnyn）2（x12x22xn2）（y12y22yn2）。排序不等式：对于两组有序的实数x1x2xn，y1y2yn，设yi1，yi2，yin是后一组的任意一个排列，记Sx1ynx2yn-1xny1，Mx1yi1x2yi2xnyin，Lx1y1x2y2xnyn，那么恒有SML。根据不等式的基本性质，也可以推出解不等式可遵循的一些同解原理。主要的有：不等式F（x） G（x）与不等式 G（x）F（x）同解。如果不等式F（x） G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）G（x）与不等式F（x）H（x）G（x）H（x）同解。如果不等式F（x）G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）0，那么不等式F(x)G（x）与不等式H（x）F（x）H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）0，那么不等式F（x）G（x）与不等式H (x)F（x）H（x）G（x）同解。不等式F（x）G（x）0与不等式同解；不等式F（x）G（x）0与不等式同解。不等式分为严格不等式与非严