2020届高考数学大二轮复习 层级二 专题四 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法课时作业（理）.doc

第3讲 立体几何中的向量方法限时50分钟满分60分解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分)1如图1，在rtabc中，acb90，b30，d，e分别是ab，cd的中点，ae的延长线交cb于f.现将acd沿cd折起，折起二面角，如图2，连接af.(1)求证：平面aef平面cbd；(2)当acbd时，求二面角acdb的余弦值解：本题主要考查折叠、面面垂直的证明、二面角等问题，考查考生的空间想象能力及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算(1)在平面图形中afcd，所以折叠后得到aecd，efcd，即可证得结论；(2)可以利用向量法和传统法求解(1)在rtabc中，由d为ab的中点，得adcddb，又b30，所以acd是正三角形，又e是cd的中点，所以afcd.折起后，aecd，efcd，又aeefe，ae平面aef，ef平面aef，故cd平面aef，又cd平面cbd，故平面aef平面cbd.(2)解法一如图，过点a作ahef，垂足h落在fe的延长线上因为cd平面aef，所以cdah，所以ah平面cbd.以e为原点，ef所在的直线为x轴，ed所在的直线为y轴，过e与ah平行的直线为z轴建立空间直角坐标系由(1)可知aef为所求二面角的平面角，设为，并设aca，可得c，d，b，a.故，因为acbd，所以0，即cos 0，得cos .故二面角acdb的余弦值为.解法二如图，过点a作ahef，垂足h落在fe的延长线上，因为cd平面aef，所以cdah，所以ah平面cbd.连接ch并延长交bd的延长线于g，由acbd，得chbd，即cgb90，因此cehcgd，则，设aca，易得gdc60，dg，ce，cg，代入得eh，又ea，故coshea.又aecd，efcd，所以aef即所求二面角的平面角，故二面角acdb的余弦值为.2(2019北京卷)如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，adcd，adbc，paadcd2，bc3.e为pd的中点，点f在pc上，且.(1)求证：cd平面pad；(2)求二面角faep的余弦值；(3)设点g在pb上，且.判断直线ag是否在平面aef内，说明理由解析：(1)由于pa平面abcd，cd平面abcd，则pacd，由题意可知adcd，且paada，由线面垂直的判定定理可得cd平面pad.(2)以点a为坐标原点，平面abcd内与ad垂直的直线为x轴，ad，ap方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系axyz，易知：a(0,0,0)，p(0,0,2)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，由可得点f的坐标为f，由可得e(0,1,1) ，设平面aef的法向量为：m(x，y，z)，则 ，据此可得平面aef的一个法向量为：m(1,1，1)，很明显平面aep的一个法向量为n(1,0,0)，cosm，n，二面角faep的平面角为锐角，故二面角faep的余弦值为.(3)易知p(0,0,2)，b(2，1,0)，由可得g，则，注意到平面aef的一个法向量为：m(1,1，1)，其m0且点a在平面aef内，故直线ag在平面aef内3(2019苏州三模)如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，adbc，adcd，且adcd，bc2，pa2.(1)取pc中点n，连接dn，求证：dn平面pab.(2)求直线ac与pd所成角的余弦值(3)在线段pd上，是否存在一点m，使得二面角macd的大小为45，如果存在，求bm与平面mac所成的角，如果不存在，请说明理由解析：取bc的中点e，连接de与ac，相交于点o，连接ae，易知acde，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0，1,0)，b(2，1,0)，c(0，1,0)，d(1,0,0)，p(0，1,2)，(1)pc中点n(0,0,1)，所以(1,0,1)，设平面pab的法向量为n(a，b，c)，由(0,0,2)，(2,0,0)，令b1，可得：n(0,1,0)，所以n0，因为dn平面pab，所以dn平面pab.(2)(0,2,0)，(1,1，2)，设ac与pd所成的角为，则cos .(3)设m(x，y，z)及(01)，所以m(，1,2(1)，设平面acm的法向量为m(x，y，z)，由(0,2,0)，(，2(1)，可得m(22，0，)，平面acd的法向量为p(0,0,1)，所以cosm，p ，解得.解得m，所以，所以m，设bm与平面mac所成角为，所以sin |cos，m|，所以.4(2020山东实验中学模拟)某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体abcdefqh材料切割成三棱锥hacf.(1)若点m，n，k分别是棱ha，hc，hf的中点，点g是nk上的任意一点，求证：mg平面acf；(2)已知原长方体材料中，ab2，ad3，dh1，根据艺术品加工需要，工程师必须求出三棱锥hacf的高甲工程师先求出ah所在直线与平面acf所成的角，再根据公式hahsin ，求三棱锥hacf的高h.请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高解：证明：(1)hmma，hnnc，hkkf，mkaf，mnac.mk平面acf，af平面acf，mk平面acf.mn平面acf，ac平面acf，mn平面acf.mn，mk平面mnk，且mkmnm，平面mnk平面acf.又mg平面mnk，mg平面acf.(2)如图，以点d为坐标原点，分别以da，dc，dh所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系dxyz.则有a(3,0,0)，c(0,2,0)，f(3,2,1)，h(0,0,1)，(3,2,0)，(0,2,1)，(3,0,1)设平面acf的一个法向量为n(x，y，z)， 则有令y3，则n(2,3，6)，sin ，三棱锥hacf的高为ahsin .5.如图，四边形abcd为菱形，g为ac与bd的交点，be平面abcd.(1)证明：平面aec平面bed；(2)若abc120，aeec，三棱锥eacd的体积为，求该三棱锥的侧面积解析：(1)因为四边形abcd为菱形，所以acbd.因为be平面abcd，所以acbe，又bdbeb，故ac平面bed.又ac平面aec，所以平面aec平面bed.(2)设abx，在菱形abcd中，由abc120，可得aggcx，gbgd.因为aee