数学北师大版九年级下册《直角三角形的边角关系》回顾与思考.docx

直角三角形的边角关系回顾与思考教学设计清远英德市石牯塘镇初级中学 卢洋武1、 教学内容分析： 本节教学内容是北京师范大学出版社出版的义务教育教科书九年级下册直角三角形的边角关系回顾与思考。本教材提供了丰富的教学素材，我根据自己的实际情况进行了整合、选用。本节课是单元复习课，一方面要让学生对本章知识回顾、思考，归纳整理所学知识，让它形成“知识网”，进一步掌握知识的规律与知识间的联系；另一方面要通过相应的训练使所学知识转化为技能，并运用其解决实际问题，实现学数学是为了用数学的最终目的。单元复习课还要注意练习和知识归纳的科学结合和有机统一。在这节课里，我先通过“基础扫描”，让学生热身进入学习状态，在了解学生对本章知识掌握情况后，展示“学习目标”，让学生有明确的学习目标，为及时调控学提供帮助。接着和学生一起对本章知识进行回顾、整理、归纳，然后用具体实例作精要分析有关知识的运用，紧跟着进行针对性训练，最后通过“课堂小结”、“作业布置”进一步巩固所学知识。让学生充分感受三角函数等有关知识的运用，亲身体会“数形结合”、“转化”、方程等数学思想、方法在解决实际问题的应用。课堂各环节衔接平顺，过渡自然，学生容易接受，利教利学。本节课设置的练习主要以基础为主，同时添加了适量难度稍大的题目，练习题难度逐层深入，教学过程环环相扣，这样让学生容易接受，逐步进入学习状态，并可以让不同层次的学生都有不同的学习机会，尽量让各层次学生都学有所得。练习题的配备还有一定的量，让学生练中学，做中悟，整节课主要以学生活动为主，更多地让学生自主探究，把课堂尽量地让给学生，以学为主，以生为本，让学生成为学习的主人，充分体现学生的主体地位。本节课内容充实、充分，但还不算太多（第二课时为训练课）。因此，要注意把握好时间，根据实际情况灵活处理。因为是复习课，所有内容学生都已经学过，学生能做的就让学生自己完成，学生已经掌握的就不再重复，教师的点拨要重数学方法、数学思想，讲解分析点到即止，学生训练要限时。同时，还可以考虑课前让学生先归纳“本章知识结构图”，“拓展提高”、“布置作业”等内容也可以考虑设为课后练习，确保教与学的有效、高效。二、学情分析首先，学生在本章之前的学习中，已经掌握了直角三角形三边之间的关系（勾股定理），三角之间的关系（两锐角之和为900），以及有30角的特殊直角三角形的边角关系（直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）。而通过本章的学习，学生更深入地学到了直角三角形的边角关系，基本掌握了特殊角（30，45，60）的三角函数值，并能用三角函数将直角三角形的边与角联系起来，解直角三角形。还会应用三角函数知识解决生活中有关的较简单的实际问题。其次，学生已经经历了三角函数、特殊角三角函数值等的探究及总结过程，并能利用计算器进行任意锐角的度数与其对应的三角函数值的互换的操作，还能把较简单的实际问题转化为数学问题。因此，学生既具备了进一步深入学习的必需知识，还具备了一定的分析、探究解决有关实际问题的能力，为本节课的学习奠定了基础。三、教学目标设置知识技能目标：1、以问题的形式对本章内容进行总结梳理，理解掌握锐角三角函数的定义，熟练掌握特殊角的三角函数值。灵活运用三角函数知识解直角三角形，并能解决与直角三角形有关的实际问题。2、进一步提高学生操作计算器解决实际问题的能力。过程与方法目标：通过实例进一步经历“数与形”之间的联系，把未知问题（或实际问题）转化为已知问题（或数学问题）的过程，充分体会“数形结合”、“转化”等数学思想，并运用其进行分析问题和解决问题。情感态度与价值观目标：通过本节课的学习，让学生在熟练掌握知识的基础上提升他们分析和解决实际问题能力，从而增强学生攻坚克难的信心，提高学习数学的兴趣。四、教学重点、难点教学重点：运用所学知识解决与直角三角形有关的实际问题，通过实际例子体验“数形结合”、“转化”等数学思想的运用。教学难点：灵活运用有关知识解决与直角三角形有关的实际问题。五、教学环节与活动设计本节课设置了如下七个环节：（一）基础扫描（二）展示目标（三）知识梳理（四）典例精析（五）随堂检测（六）课堂小结（七）布置作业第一环节 基础扫描设计内容：1、在RtABC中，C900，AB，BC2，则= ，tanB= .2、计算：= .3、已知：；则锐角= . 4、计算：= .5、利用计算器求值： 0.0374 .设计意图：全面了解学生对本章基础知识的掌握情况，让后续的“教”更有针对性，从而使本节的“学”更有实效。第二环节 展示目标设计内容：1、理解掌握锐角三角函数的定义，熟练掌握特殊角的三角函数值。灵活运用三角函数知识解直角三角形，并能解决与直角三角形有关的实际问题。2、通过实例充分体会“数形结合”、“转化”、方程等数学思想、方法，并运用其进行分析问题和解决问题。设计意图：让学生学习目标清晰，学习方向明确，为及时调控“学”提供帮助。第三环节 知识梳理设计内容：一、本章知识结构图：利用三角函数解决实际问题A的对边A的邻边斜边二、本章主要知识回顾：（一）锐角三角函数的定义（如图）:锐角1（2） 特殊角的三角函数值:（三）直角三角形的边、角关系(如图):1、直角三角形三边的关系: 勾股定理 ；2、直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ；3、直角三角形边与角之间的关系（锐角三角函数）：（四）解直角三角形时常用到的一些概念:1、 仰角和俯角（如图）:2、坡度（如图）:3、 方位角（如图）:设计意图：让学生全面、系统理解掌握本章知识及它们之间的联系，为知识的运用和巩固提供有效的帮助。第四环节 典例精析设计内容：例1如图，在RtABC中，C=90,已知BC=,AC=2，则 , , .例2计算：.解：原式=.例3若，为锐角，则= .例4在RtABC中,C=90,a、b、c分别是A、B、C的对边.(1)已知a=7，b=7，求B;(2)已知c=2,a=1,求b及A.分析：要根据题意画出相应的图形（数形结合）。解:如图 ，(1)C=90，a=b=7 B=A=45.(2) c=2,a=1 ，C=90， b=, A=30 . 例5一艘船由A港沿北偏东60方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30方向航行10km至C港.（1）求A,C两港之间的距离(结果精确到0.1km);（2）确定C港在A港什么方向.分析：根据题意画出符合题意的图形，把实际问题转化为数学问题（体现数学的“数形结合”、“转化”等思想）。解:（1）如图，由题意可知,EAB=60,DBC=30,AB=BC=10(km)，且EAB+DBA=180CBA=180-EAB-DBC=180-60-30=90AC=101.41410 =14.1414.1 (km).（2）CBA=90, AB=BC ACB=CAB=45 EAB=60 EAC=15.答：A、C的距离约为14.1km,C港在A港北偏东15的方向线上.设计意图：让学生通过实例感受把实际问题转化为数学问题的过程，充分体会运用数学的“数形结合”、“转化”等思想解决实际问题。第五环节 随堂检测设计内容：针对性训练一：1、填空：在RtABC中，C=90，a、b、c分别是A、B、C的对边.（1）已知A=30, c=, 则a=_;b=_3_.（2）已知A= 45, b=5, 则a=_5_;c=_.（3）已知A= 60, a=2，则b=_;c=_ .2、解答下列各题：（1）计算：.解：原式=23-1=.（2） 计算：.解：原式=.（3） 已知，求锐角A .解： 锐角A=60.（4） 已知,求锐角A的度数 . 解： .针对性训练二： 1、如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距180m的P和Q两点分别测定对岸一棵树T的位置,T在P的正南方向,在Q的南偏西50的方向,求河宽(结果精确到1m).分析：把实际问题转化为解直角三角形问题，利用所学三角函数知识解决问题。解:由题意可知, QPT=90, PQT=40, PQ=180(m) tanPQT=即 tan40= PT=180tan40 1800.8391=151.038151（m）. 答：河宽约为151m.2、如图,甲,乙两楼相距30m,甲楼高40m,自甲楼楼顶看乙楼楼顶,仰角为30，乙楼有多高?(结果精确到1m).分析：首先要把实际问题转化为数学问题，构造合适的直角三角形（如下图），把已知角和边放在所构造的直角三角形中，再结合所学的知识来解决问题。 解：如图，过A作AEDC于E,则CE=AB=40(m),AE=BC=30(m),DAE=30 在RtADE中， tan DAE= DE=AEtanDAE=30= 101.732=17.32(m) DC=CE+DE40+17.32=57.3257(m). 答：乙楼的高度约为57m.拓展提高：如图,大楼高30m,远处有一塔BC,某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60,爬到楼顶D处测得塔顶的仰角为30,求塔高BC及大楼与塔之间的距离AC(结果精确到0.01m).分析：把实际问题转化的为数学中的解直角三角形的问题，并选择适当的直角三角形，再利用三角函数知识进行求解。解:由题意可知,DAC=BCA=BED=90,CE=AD=30(m), BAC=60, BDE=30,DE=AC. 设BE为xm, 在RtBDE中， tanBDE= DE=(m) AC=DE=(m) 在RtBAC中，tanBAC= =15(m) BC=BE+CE=15+30=45(m) AC=1.7321525.98(m) 答：塔高BC约为45m,大楼与塔之间的距离AC约为25.98m.设计意图：1、 增强学生对问题的分析能力，能根据具体问题情景及已知条件，根据需要作出辅助线，联系三角函数解题；2、 增强学生将实际问题转化为数学问题，并能有针对性的利用三角函数来解决；3、渗透“数形结合”、“转化”、方程等数学思想、方法；4、使每位学生的解题能力都得到相应的巩固和提高，让各层次的学生都学有所得。第六环节 课堂小结A的对边A的邻边斜边设计内容：一、锐角三角函数的定义（如图）:锐角1二、特殊角的三角函数值:三、利用锐角三角函数解决有关实际问题方法：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题，选择适当的直角三角形，利用所学的三角函数的知识来进行求解。四、本节课运用的数学思想、方法：数形结合、转化、方程等。设计意图：让学生进一步巩固本章重点知识。第七环节 布置作业设计内容：一、必做题：1、= ( C ). (A); (B); (C); (D). 2、计算：2 = . 3、在ABC中，C90， BC6 cm， 则AB的长为 10 cm4、如图，某学生用含30角的三角尺测量旗杆AB的高度，他将三角尺的较长直角边放在1.5m高的支架CD上，三角尺斜边与旗杆顶点在同一直线上，测得BD长为15m.（1）估计旗杆AB的高度（精确到0.1m）.（2）请设计一种更简便的估测方法.解：（1）过点C作CEAB于点E,则CE=BD=15(m),BE=CD=1.5(m） 在RtACE中，ACE=30, AE=5(m） AB=AE+BE=5+1.551.732+1.5=10.1610.2(m）. 答：旗杆AB的高度约为10.2m.（2）略.（估计旗杆高度的方法多种多样，只要有理可行就要给予肯定）二、选做题： 为了缓解某市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60和45求路况显示牌BC的高度（结果精确到0.01m）解:由题意可知，CAD=90,BDA=45,CDA=60,AB=3（m） 在RtBAD中，DBA=90-BDA=90-45=45=BDA AD=AB=3（m） 在RtCDA中， AC=AD（m）. 答：路况显示牌BC的高度约为5.20m.设计意图:1、尽量让不同层次的学生学有所得，更好地体现因材施教；2、 让学生进一步巩固本章重点知识；3、让学生亲身体验有关数学思想在解决实际问题的运用。六、教学评价 评价的目的是全面了解教与学的状况，也就是全面了解学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展，并促使教师反思和改进教学。在新课标的理念下，我们完全可以采用“以学评教”的方式对本节课的教学进行评价。评价时：1、 既要关注学生对概念的理解，又要考查其思维的过程和水平。首先，评价时应关注学生能否正确地理解概念，能否合理地计算特殊角的三角函数值，能否借助计算器进行一般角的三角函数值的计算，计算时能否明确算理；其次，评价时要关注学生思维的条理性和数学语言的表达能力，关注能否有条理地表达自己的想法；最后，评价时要关注学生应用数学思想方法的意识，以及在活动过程中所积累的数学活动经验、所表现出来的思维水平。2、 要关注问题解决的评价。在评价时，关注学生能否运用所学的知识解决实际问题，如把实际问题中的数量关系抽象为数学关系式，并求出问题的解。3、关注学生在活动中的表现。在评价时，