2021高考数学一轮复习 第7章 不等式、推理与证明 第5节 综合法与分析法、反证法教学案 文 北师大版.docVIP

第五节综合法与分析法、反证法最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点.2.了解反证法的思考过程和特点(对应学生用书第118页)1综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法2分析法从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法3反证法(1)定义：在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法(2)反证法的证明步骤是：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1对于任意角，化简cos4sin4()a2sin b2cos csin 2dcos 2dcos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2.2用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”，假设正确的是()a假设三个内角都不大于60b假设三个内角都大于60c假设三个内角至多有一个大于60d假设三个内角至多有两个大于60b“至少有一个不大于60”的否定是“没有不大于60”，即“三个内角都大于60”，故选b.3若p，q(a0)，则p，q的大小关系是()apqbpqcpqd由a的取值确定a由题意知p0，q0，p22a132，q22a132.，p2q2，pq，故选a.4在abc中，三个内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，a，b，c成等比数列，则abc的形状为_三角形等边由题意2bac，又abc，b，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，ac，abc，abc为等边三角形(对应学生用书第119页)考点1综合法的应用利用综合法证明问题的思路设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca.当且仅当“abc”时等号成立；(2)因为b2a，c2b，a2c，当且仅当“a2b2c2”时等号成立，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.母题探究1若本例条件不变，证明a2b2c2.证明因为abc1，所以1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac，因为2aba2b2,2bcb2c2,2aca2c2，所以2ab2bc2ac2(a2b2c2)，所以1a2b2c22(a2b2c2)，即a2b2c2.2若本例条件“abc1”换为abc1，其他条件不变，试证：a2b2c2.证明a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac.a2b2c2abbcca，当且仅当abc1时等号成立所以a2b2c2.解答本例第(2)问时，通过基本不等式去掉分母，然后把得到的不等式相加得到答案，这是常用的方法教师备选例题已知函数f(x)(a0，且a1)(1)证明：函数yf(x)的图像关于点对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值证明(1)函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，它关于点对称的点的坐标为(1x，1y)由已知y，则1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函数yf(x)的图像关于点对称(2)由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.已知a，b，c0，abc1.求证：(1)；(2).证明(1)()2(abc)222(abc)(ab)(bc)(ca)3，(当且仅当abc时取等号)(2)a0，3a11，(3a1)24，33a，同理得33b，33c，以上三式相加得493(abc)6，(当且仅当abc时取等号)考点2分析法的应用利用分析法证明问题的思路及格式(1)分析法的证明思路先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证(2)分析法的格式通常采用“要证(欲证)”“只需证”“即证”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性(1)若a，b(1，)，证明.证明要证，只需证()2()2，只需证ab1ab0，即证(a1)(1b)0.因为a1，b1，所以a10,1b0，即(a1)(1b)0成立，所以原不等式成立(2)已知abc的三个内角a，b，c成等差数列，a，b，c的对边分别为a，b，c.求证：.证明要证，即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又abc三内角a，b，c成等差数列，故b60，由余弦定理，得，b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立解答本例t(2)时，先用分析法得到“需证c2a2acb2”，再用综合法证明这个结论成立，这是常用的方法教师备选例题已知a，br，abe(其中e是自然对数的底数)，用分析法证明：baab.证明ba0，ab0，要证：baab，只要证：aln bbln a，只要证：(abe)，取函数f(x)，则f(x)，当xe时，f(x)0，即函数f(x)在(e，)是减函数当abe时，有f(b)f(a)，即，得证已知a0，证明：a2.证明要证a2，只需证(2)因为a0，所以(2)0，所以只需证，即2(2)84，只需证a2.因为a0，a2显然成立，所以要证的不等式成立考点3反证法的应用反证法证明问题的三步骤证明否定性命题设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解(1)设an的前n项和为sn.则sna1a1qa1q2a1qn1，qsna1qa1q2a1qn1a1qn，两式相减得(1q)sna1a1qna1(1qn)，当q1时，sn，当q1时，sna1a1a1na1，所以sn(2)证明：假设数列an1是等比数列，则(a11)(a31)(a21)2，即a1a3a1a31a2a21，因为an是等比数列，公比为q，所以a1a3a，a2a1q，a3a1q2，所以a1(1q2)2a1q.即q22q10，(q1)20，q1，这与已知q1矛盾，所以假设不成立，故数列an1不是等比数列当结论是否定性命题时，无法用综合法求解，宜用反证法证明教师备选例题设an是公比为q的等比数列，sn是它的前n项和(1)求证：数列sn不是等比数列；(2)数列sn是等差数列吗？为什么？解(1)证明：若sn是等比数列，则ss1s3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得q0，这与q0相矛盾，故数列sn不是等比数列(2)当q1时，sn是等差数列当q1时，sn不是等差数列假设q1时，s1，s2，s3成等差数列，则2s2s1s3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2，q1，q0，这与q0相矛盾综上可知，当q1时，sn是等差数列；当q1时，sn不是等差数列证明“至多”“至少”命题已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0中至少有一个方程有两个相异实根证明假设三个方程都没有两个相异实根则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0，上述三个式子相加得：a22abb2b22bcc2c22aca20，即(ab)2(bc)2(ca)20.所以abc这与a，b，c是互不相等的非零实数相矛盾因此假设不成立，故三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0中至少有一个方程有两个相异实根“至多”“至少”命题情况较为复杂，宜用反证法证明1.(2019全国卷)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()a甲、乙、丙b乙、甲、丙c丙、乙、甲d甲、丙、乙a假设甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人成绩由高到低为甲、乙、丙；假设乙预测正确，则丙也预测正确，不合题意；假设丙预测正确，则甲预测错误，于是三人成绩