2021高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第8节 圆锥曲线中的范围、最值问题教学案 文 北师大版.doc

第八节圆锥曲线中的范围、最值问题(对应学生用书第165页)考点1范围问题圆锥曲线中范围问题的五个解题策略解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围(2019大连模拟)设椭圆1(ab0)的左焦点为f1，离心率为，点f1为圆m：x2y22x150的圆心(1)求椭圆的方程；(2)已知过椭圆右焦点f2的直线l交椭圆于a，b两点，过点f2且与直线l垂直的直线l1与圆m交于c，d两点，求四边形acbd面积的取值范围解(1)由题意知，则a2c.圆m的标准方程为(x1)2y216，从而椭圆的左焦点为f1(1,0)，即c1.所以a2.由b2a2c2，得b.所以椭圆的方程为1.(2)由(1)可知椭圆右焦点f2(1,0)当直线l与x轴垂直时，此时斜率k不存在，直线l：x1，直线l1：y0，可得|ab|3，|cd|8，四边形acbd的面积为12.当直线l与x轴平行时，此时斜率k0，直线l：y0，直线l1：x1，可得|ab|4，|cd|4，四边形acbd的面积为8.当直线l与x轴不垂直也不平行时，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)联立得(4k23)x28k2x4k2120.显然0，且x1x2，x1x2.所以|ab|x1x2|.过点f2(1,0)且与直线l垂直的直线l1：y(x1)，则圆心到直线l1的距离为，所以|cd|24.故四边形acbd的面积s|ab|cd|12.可得当直线l与x轴不垂直时，四边形acbd面积的取值范围为(12,8)综上，四边形acbd面积的取值范围为12,8过点f2的直线l与l1，有斜率不存在的情况，应分类求解教师备选例题(2019石家庄模拟)已知抛物线c：y22px(p0)上一点p(x0,2)到焦点f的距离|pf|2x0.(1)求抛物线c的方程；(2)过点p引圆m：(x3)2y2r2(0r)的两条切线pa，pb，切线pa，pb与抛物线c的另一交点分别为a，b，线段ab中点的横坐标记为t，求t的取值范围解(1)由抛物线定义，得|pf|x0，由题意得，解得所以抛物线c的方程为y24x.(2)由题意知，过p引圆(x3)2y2r2(0r)的切线斜率存在且不为0，设切线pa的方程为yk1(x1)2，则圆心m(3,0)到切线pa的距离dr，整理得，(r24)k8k1r240.设切线pb的方程为yk2(x1)2，同理可得(r24)k8k2r240.所以k1，k2是方程(r24)k28kr240的两根，k1k2，k1k21.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得，k1y24y4k180，由根与系数的关系知，2y1，所以y124k22，同理可得y24k12.(8分)t2(kk)2(k1k2)12(k1k2)22(k1k2)3，设k1k2，则4，2)，所以t2223，其图像的对称轴为2，所以9t37.(2019郑州模拟)已知椭圆的一个顶点a(0，1)，焦点在x轴上，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点m，n.当|am|an|时，求m的取值范围解(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，联立解得故椭圆的标准方程为y21.(2)设p(x0，y0)为弦mn的中点，m(x1，y1)，n(x2，y2)联立得(4k21)x28kmx4(m21)0.则x1x2，x1x2.(8km)216(4k21)(m21)0，所以m214k2.所以x0，y0kx0m.所以kap.又|am|an|，所以apmn，则，即3m4k21.把代入得m23m，解得0m3.由得k20，解得m.综上可知，m的取值范围为.考点2最值问题求解圆锥曲线中最值问题的两种方法(1)利用几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；(2)利用代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，再求这个函数的最值，最值通常用基本不等式法、配方法、导数法求解利用基本不等式求最值已知抛物线e：y22px(0p10)的焦点为f，点m(t,8)在抛物线e上，且|fm|10.(1)求抛物线e的方程；(2)过点f作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点a，b，c，d，p、q分别为弦ab、cd的中点，求fpq面积的最小值解(1)抛物线e的准线方程为x.由抛物线的定义可得|fm|t10，故t10.由点m在抛物线上，可得822p，整理得p220p640，解得p4或p16，又0p10，所以p4.故抛物线e的方程为y28x.(2)由(1)知抛物线e的方程为y28x，焦点为f(2,0)，由已知可得abcd，所以两直线ab，cd的斜率都存在且均不为0.设直线ab的斜率为k，则直线cd的斜率为，故直线ab的方程为yk(x2)联立方程组，消去x，整理得ky28y16k0.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y2，因为p(xp，yp)为弦ab的中点，所以yp(y1y2)，由ypk(xp2)得xp22，故p.同理可得q(4k22，4k)故|qf|4，|pf|.因为pfqf，所以fpq的面积s|pf|qf|4888216，当且仅当|k|，即k1时，等号成立所以fpq的面积的最小值为16.求点q的坐标时，可根据直线ab与cd的斜率关系，把点p坐标中的k换成，即可得到点q的坐标教师备选例题已知点a(0，2)，椭圆e：1(ab0)的离心率为，f是椭圆e的右焦点，直线af的斜率为，o为坐标原点(1)求e的方程；(2)设过点a的动直线l与e相交于p，q两点当opq的面积最大时，求l的方程解(1)设f(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故e的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，p(x1，y1)，q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|pq|x1x2|.又点o到直线pq的距离d，所以opq的面积sopqd|pq|.设t，则t0，sopq.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以，当opq的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.利用二次函数求最值(2019合肥模拟)已知直线l：xy10与焦点为f的抛物线c：y22px(p0)相切(1)求抛物线c的方程；(2)过焦点f的直线m与抛物线c分别相交于a，b两点，求a，b两点到直线l的距离之和的最小值解(1)直线l：xy10与抛物线c：y22px(p0)相切，联立消去x得y22py2p0，从而4p28p0，解得p2或p0(舍)抛物线c的方程为y24x.(2)由于直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为tyx1，a(x1，y1)，b(x2，y2)联立消去x得y24ty40，0，y1y24t，即x1x24t22，线段ab的中点m的坐标为(2t21,2t)设点a到直线l的距离为da，点b到直线l的距离为db，点m到直线l的距离为d，则dadb2d22|t2t1|2，当t时，a，b两点到直线l的距离之和最小，最小值为.本例第(2)问的关键是根据梯形中位线定理得到dadb2d.教师备选例题(2019齐齐哈尔模拟)已知抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，过点f且斜率为1的直线与抛物线c相交于a，b两点，且|ab|8.(1)求抛物线c的方程；(2)过点q(1,1)作直线交抛物线c不同于r(1,2)的d，e两点，若直线dr，er分别交直线l：y2x2于m，n两点，求|mn|取最小值时直线de的方程解(1)由题意知，设a(xa，ya)，b(xb，yb)，f，直线ab的方程为xy，联立得y22pyp20，解得y(1)p.则|ab|4p8，p2，抛物线的方程为y24x.(2)设d(x1，y1)，e(x2，y2)，由题意知，直线de的斜率存在且不为0.设直线de的方程为xm(y1)1(m0)，联立消去x得y24my4(m1)0，y1y24m，y1y24(m1)|y2y1|4.设直线dr的方程为yk1(x1)2，联立解得xm.又k1，xm.同理得xn.|mn|xmxn|22.令m1t，t0，则mt1.|mn|222.当t2，m1时，|mn|取得最小值此时直线de的方程为x(y1)1，即xy20.(2019黄山模拟)已知点m(1，n)在抛物线y22px(p0)上，且点m到抛物线焦点的距离为2.直线l与抛物线交于a，b两点，且线段ab的中点为p(3,2)(1)求直线l的方程(2)点q是直线yx上的动点，求的最小值解(1)由题意知，抛物线的准线方程为x，所以12，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y4x1，y4x2，则yy4(x1x2)，即1，所以直线l的方程为y2x3，即xy10.(2)因为点a，b都在直线l上，所以a(x1，x11)，b(x2，x21)，设q(m，m)，(x1m，x1(m1)(x2m，x2(m1)(x1m)(x2m)x1(m1)x2(m1)x1x2m(x1x2)m2x1x2(m1)(x1x2)(m1)22x1x2(2m1)(x1x2)m2(m1)2，联立得x26x10，则x1x26，x1x21，所以2(2m1)6m2m22m12m210m32，当m时，取得最小值，为.利用导数求最值(2017浙江高考)如图，已知抛物线x2y，点a，b，抛物线上的点p(x，y).过点b作直线ap的垂线，垂足为q.(1)求直线ap斜率的取值范围；(2)求|pa|pq|的最大值解(1)设直线ap的斜率为k，kx，因为x，所以直线ap斜率的取值范围是(1,1)(2)联立直线ap与bq的方程解得点q的横坐标是xq.因为|pa|(k1)，|pq|(xqx)，所以|pa|pq|(k1)(k1)3.令f(k)(k1)(k1)3，因为f(k)(4k2)(k1)2，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k时，|pa|pq|取得最大值.|pa|pq|用含k的高次多项式表示，宜用导数求最值在平面直角坐标系xoy中，抛物线c：x22py(p0)的焦点为f，点a在c上，若|ao|af|.(1)求c