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课后限时集训69不等式的证明建议用时:45分钟1(1)已知a,b,c均为正实数,且abc1,证明9;(2)已知a,b,c均为正实数,且abc1,证明.证明(1)因为abc1,所以11139,当abc时等号成立(2)因为.又因为abc1,所以c,b,a,.当abc时等号成立,即原不等式成立2已知函数f(x)|xm|(m1)(1)当m2时,求不等式1的解集;(2)设g(x)f,记p(x)f(x)g(x),证明:p(x)3.解(1)m2,f(x)|x2|,不等式1,即为1,即0,上述不等式同解于,即x0,或即2x,或即x2,由得不等式的解集为.(2)证明:g(x)f,p(x)|xm|,|xm|,p(x),m1,p(x)2m,h(m)2m在区间1,)上是增函数,h(m)3,p(x)3.3已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集m;(2)设a,bm,求证:f(ab)f(a)f(b)解(1)由题意,|x1|2x1|1,当x1时,不等式可化为x12x2,解得x1;当1x时,不等式可化为x12x2,此时不等式无解;当x时,不等式可化为x12x,解得x1.综上,mx|x1或x1(2)证明:因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|,所以要证f(ab)f(a)f(b),只需证|ab1|ab|,即证|ab1|2|ab|2,即证a2b22ab1a22abb2,即证a2b2a2b210,即证(a21)(b21)0.因为a,bm,所以a21,b21,所以(a21)(b21)0成立,所以原不等式成立4(2019全国卷)设x,y,zr,且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值;(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立,证明:a3或a1.解(1)因为(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2,所以由已知得(x1)2(y1)2(z1)2,当且仅当x,y,z时等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)证明:因为(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2,所以由已知得(x2)2(y1)2(za)2,当且仅当
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