高考数学第四章三角函数的图象与性质第2课时三角函数的图象与性质（二）教案文新人教A版.docx

第2课时三角函数的图象与性质(二)三角函数的周期性与奇偶性(师生共研) (1)函数f(x)2cos21是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数(2)(2020湖北宜昌联考)已知函数y2sin(x)(0)为偶函数，其图象与直线y2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2x1|的最小值为，则()A2，B，C， D2，【解析】(1)因为f(x)2cos21coscossin 2x.所以T，f(x)sin 2x是奇函数故函数f(x)是最小正周期为的奇函数(2)因为函数y2sin(x)的最大值为2，且其图象与直线y2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2x1|的最小值为，所以函数y2sin(x)的最小正周期是.由得2.因为函数y2sin(x)为偶函数，所以k，kZ.又0，所以，故选A.【答案】(1)A(2)A(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式(2)周期的计算方法：利用函数yAsin(x)(0)，yAcos(x)(0)的最小正周期为，函数yAtan(x)(0)的最小正周期为求解1下列函数中，最小正周期为的奇函数是()AysinBycosCysin 2xcos 2x Dysin xcos x解析：选B.ysincos 2x是偶函数，不符合题意；ycossin 2x是T的奇函数，符合题意；同理C，D均不是奇函数2(2020石家庄市质量检测)设函数f(x)sin的最小正周期为，且f(x)f(x)，则()Af(x)在上单调递增Bf(x)在上单调递减Cf(x)在上单调递减Df(x)在上单调递增解析：选A.f(x)sin，因为f(x)的最小正周期为，所以2，所以f(x)sin.f(x)f(x)，即f(x)为偶函数，所以k(kZ)，所以k(kZ)因为|，所以，所以f(x)cos 2x，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故选A.三角函数的对称性(师生共研) 函数f(x)Asin(x)的图象关于直线x对称，它的最小正周期为，则函数f(x)图象的一个对称中心是()A. B.C. D【解析】由题意可得，所以2，可得f(x)Asin(2x)，再由函数图象关于直线x对称，故fAsinA，故可取.故函数f(x)Asin，令2xk，kZ，可得x，kZ，故函数的对称中心为，kZ.所以函数f(x)图象的一个对称中心是.【答案】B三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数yAsin(x)图象的对称轴和对称中心可结合ysin x图象的对称轴和对称中心求解(2)方法：利用整体代换的方法求解，令xk，kZ，解得x，kZ，即对称轴方程；令xk，kZ，解得x，kZ，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)对于yAcos(x)，yAtan(x)，可以利用类似方法求解(注意yAtan(x)的图象无对称轴)1(2019高考全国卷)若x1，x2是函数f(x)sin x(0)两个相邻的极值点，则()A2 B.C1 D解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T2()，解得2，选A.2已知函数f(x)|sin x|cos x|，则下列说法错误的是()Af(x)的图象关于直线x对称Bf(x)的周期为C(，0)是f(x)的一个对称中心Df(x)在区间上单调递减解析：选A.f(x)|sin x|cos x|sin xcos x|sin 2x|，则f|sin |0，则f(x)的图象不关于直线x对称，故A错误；函数周期T，故B正确；f()|sin 2|0，则(，0)是f(x)的一个对称中心，故C正确；当x时，2x，此时sin 2x0，且sin 2x为减函数，故D正确三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研) 已知函数f(x)sin(2x)sincos2x.(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x时，求f(x)的最小值和最大值【解】(1)由题意，得f(x)(sin x)(cos x)cos2xsin xcos xcos2xsin 2x(cos 2x1)sin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T；令2xk(kZ)，则x(kZ)，故所求图象的对称轴方程为x(kZ)(2)当0x时，2x，由函数图象(图略)可知，sin1，即0sin(2x).故f(x)的最小值为0，最大值为.解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将yf(x)化为yasin xbcos x的形式，然后用辅助角公式化为yAsin(x)的形式，再借助yAsin(x)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题已知函数f(x)2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值的集合；(2)求函数f(x)的图象的对称轴方程与对称中心解：(1)当sin1时，2x2k，kZ，即xk，kZ，此时函数取得最大值为2；故f(x)的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为.(2)由2xk，kZ，得xk，kZ.即函数f(x)的图象的对称轴方程为xk，kZ.由2xk，kZ得xk，kZ，即对称中心为，kZ.基础题组练1函数ysin 2xcos 2x的最小正周期为()A.B.C D2解析：选C.因为y22sin，所以T.2f(x)tan xsin x1，若f(b)2，则f(b)()A0 B3C1 D2解析：选A.因为f(b)tan bsin b12，即tan bsin b1.所以f(b)tan(b)sin(b)1(tan bsin b)10.3若是函数f(x)sin xcos x图象的一个对称中心，则的一个取值是()A2 B4C6 D8解析：选C.因为f(x)sin xcos xsin，由题意，知fsin0，所以k(kZ)，即8k2(kZ)，当k1时，6.4关于函数ytan(2x)，下列说法正确的是()A是奇函数B在区间(0，)上单调递减C(，0)为其图象的一个对称中心D最小正周期为解析：选C.函数ytan(2x)是非奇非偶函数，A错；在区间(0，)上单调递增，B错；最小正周期为，D错；由2x，kZ得x，当k0时，x，所以它的图象关于(，0)中心对称，故选C.5已知函数f(x)2sin(0)的最小正周期为4，则该函数的图象()A关于点对称 B关于点对称C关于直线x对称 D关于直线x对称解析：选B.函数f(x)2sin(0)的最小正周期是4，而T4，所以，即f(x)2sin.函数f(x)的对称轴为k，解得x2k(kZ)；令k0得x.函数f(x)的对称中心的横坐标为k，解得x2k(kZ)，令k1得f(x)的一个对称中心.6若函数ycos(N*)图象的一个对称中心是，则的最小值为 解析：由题意知k(kZ)6k2(kZ)，又N*，所以min2.答案：27(2020无锡期末)在函数ycos|2x|；y|cos 2x|；ycos；ytan 2x中，最小正周期为的所有函数的序号为 解析：ycos|2x|cos 2x，最小正周期为；ycos 2x，最小正周期为，由图象知y|cos 2x|的最小正周期为；ycos的最小正周期T；ytan 2x的最小正周期T.因此的最小正周期为.答案：8已知函数f(x)2sin(x)1(xR)的图象的一条对称轴为x，其中为常数，且(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为 解析：由函数f(x)2sin(x)1(xR)的图象的一条对称轴为x，可得k，kZ，所以k，又(1，2)，所以，从而得函数f(x)的最小正周期为.答案：9已知函数f(x)2cos22sinsin.求函数f(x)的最小正周期和图象的对称中心解：因为f(x)2cos22sinsincos12sinsincos2sincos1cos 2xsin 2xsin1sin 2xcos 2x1sin1，所以f(x)的最小正周期为，图象的对称中心为，kZ.10已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为.(1)求当f(x)为偶函数时的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间解：由f(x)的最小正周期为，则T，所以2，所以f(x)sin(2x)(1)当f(x)为偶函数时，f(x)f(x)所以sin(2x)sin(2x)，展开整理得sin 2xcos 0，已知上式对xR都成立，所以cos 0.因为0，所以.(2)因为f，所以sin，即2k或2k(kZ)，故2k或2k(kZ)，又因为00)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在上的单调性解：(1)因为f(x)sin xcos xsin，且T，所以2.于是，f(x)sin.令2xk(kZ)，得x(kZ)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x(kZ)(2)令2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递增区间为(kZ)注意到x，所以令k0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；同理，其单调递减区间为.4已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；(2)若方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2，求cos(x1x2)的值解：(