8函数与不等式--恒成立与存在性问题.doc

课题：函数与不等式 恒成立与存在性问题要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究，这是高考命制压轴题的一个考查点一、恒成立问题（一）主干知识整合1在代数综合问题中常遇到恒成立问题恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解2恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：(1)xD，f(x) C；(2)xD，f(x) g(x)；(3)x1，x2D，|f(x1)f(x2)|C； (4)x1，x2D，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|.3不等式恒成立问题的处理方法(1)转换求函数的最值若不等式Af(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上Af(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上Bf(x)maxf(x)的上界小于B.(2)分离参数法将参数与变量分离，即化为g()f(x)(或g()f(x)恒成立的形式；求f(x)在xD上的最大(或最小)值；解不等式g()f(x)max(或g()f(x)min)，得的取值范围(3)转换成函数图象问题若不等式f(x)g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yf(x)的图象在函数yg(x)的图象上方；若不等式f(x)c的恒成立问题时，如果函数f(x)含有参数，一般有两种处理方法：一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，可以用分类讨论处理函数f(x)的最值变式新题：已知函数f(x)x|xa|2x求a的取值范围，使得对任意x1,2时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)2x1图象的下方解答：由题意得对任意的实数x1,2，f(x)g(x)恒成立，即x|xa|1在1,2恒成立，也即xa0，从而x为增函数，由此得max；当x1,2时，10，从而x为增函数，由此得min2，所以a2.探究点二 x1，x2D，|f(x1)f(x2)|C的研究对于形如x1，x2D，|f(x1) f(x2)|C的问题，因为|f(x1) f(x2)| f(x)maxf(x)min，所以原命题等价为f(x)maxf(x)minC.例2 已知函数f(x)ax3bx23x(a，bR)，在点(1，f(1)处的切线方程为y20.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于区间2,2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|c，求实数c的最小值解答：(1)f(x)3ax22bx3，根据题意，得即解得f(x)x33x.(2)令f(x)3x230，即3x230，解得x1，x2(2，1)1(1,1)1(1,2)2f(x)00f(x)2极大值极小值2f(1)2，f(1)2，当x2,2时，f(x)max2，f(x)min2.则对于区间2,2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min4，所以c4，即c的最小值为4.【点评】 在处理这类问题时，因为x1，x2是两个不相关的变量，所以可以等价为函数f(x)在区间D上的函数差的最大值小于c，如果x1，x2是两个相关变量，则需要代入x1，x2之间的关系式转化为一元问题变式新题：（江苏省无锡市洛社中学2012届高三12月改）已知二次函数g（x）对任意实数x都满足令（1）若使成立，求实数m的取值范围； （2）设，证明:对，恒有解答：（1）（）当时，由对数函数性质，的值域为；当时，对，恒成立；当时，由得， 列表：0+减极小增这时，综合若，恒成立，则实数的取值范围为故存在使成立，实数的取值范围为 （3）证明：因为对，所以在内单调递减于是， 记（），则，所以函数在上是单调增函数，所以，故命题成立 探究点三 x1，x2D，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|的研究形如x1，x2D，|f(x1) f(x2)|a|x1x2|这样的问题，首先需要根据函数f(x)的单调性去掉|f(x1)f(x2)|a|x1x2|中的绝对值符号，再构造函数g(x)f(x) ax，从而将问题转化为新函数g(x)的单调性例3（南京市2011届高三第一次模拟考试）已知函数f(x)x1alnx(aR)(1)求证：f(x)0恒成立的充要条件是a1；(2)若a1时，f (x)0，所以函数f(x)在(1，)上是增函数，当0x1时，f (x)0.(i)当a0时，f (x)0恒成立，所以函数f(x)在(0，)上是增函数而f(1)0，所以当x(0,1)时，f(x)0时，因为当xa时，f (x)0，所以函数f(x)在(a，)上是增函数；当0xa时，f (x)0，所以函数f(x)在(0，a)上是减函数所以f(x)f(a)a1alna.因为f(1)0，所以当a1时，f(a)f(1)0，此时与f(x)0恒成立相矛盾所以a1，综上所述，f(x)0恒成立的充要条件是a1.(2)由(1)可知，当a0时，函数f(x)在(0,1上是增函数，又函数y在(0,1上是减函数，不妨设0x1x21，则|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x1)，所以|f(x1)f(x2)|4等价于f(x2)f(x1)，即f(x2)f(x1).设h(x)f(x)x1alnx.则|f(x1)f(x2)|4等价于函数h(x)在区间(0,1上是减函数因为h(x)1，所以所证命题等价于证x2ax40在x(0,1时恒成立，即ax在x(0,1上恒成立，即a不小于yx在区间(0,1内的最大值而函数yx在区间(0,1上是增函数，所以yx的最大值为3，所以a3.又a0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当1a0；当x( ，)时，f(x)g(x)的研究对于xD，f(x)g(x)的研究，先设h(x)f(x)g(x)，再等价为xD，h(x)max0，其中若g(x)c，则等价为xD，f(x)maxc.例1 已知函数f(x)x3ax210.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)在区间1,2内至少存在一个实数x，使得f(x)0成立，求实数a的取值范围解答：(1)当a1时，f(x)3x22x，f(2)14，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率kf(2)8，所以曲线yf(x)在点(2，f(x)处的切线方程为8xy20.(2)解法一：f(x)3x22ax3x(1x2)，当a1，即a时，f(x)0，f(x)在1,2上为增函数，故f(x)minf(1)11a，所以11a11，这与a矛盾当1a2，即a3时，当1xa，f(x)0；当a0，所以xa时，f(x)取最小值，因此有f0，即a3a310a3103，这与a3矛盾；当a2，即a3时，f(x)0，f(x)在1,2上为减函数，所以f(x)minf(2)184a，所以184a，这符合a3.综上所述，a的取值范围为a.解法二：由已知得：ax，设g(x)x(1x2)，g(x)1，1x2，g(x).【点评】 解法一在处理时，需要用分类讨论的方法，讨论的关键是极值点与区间1,2的关系；解法二是用的参数分离，由于ax2x310中x21,4，所以可以进行参数分离，而无需要分类讨论变式新题：已知函数f(x)x(xa)2，g(x)x2(a1)xa(其中a为常数)(1)如果函数yf(x)和yg(x)有相同的极值点，求a的值；(2)设a0，问是否存在x0，使得f(x0)g(x0)，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由解答：(1)f(x)x(xa)2x32ax2a2x，则f(x)3x24axa2(3xa)(xa)，令f(x)0，得xa或，而g(x)在x处有极大值aa1，或a3.综上，a3或a1.(2)假设存在，即存在x0，使得f(x0)g(x0)x0(x0a)2x(a1)x0a x0(x0a)2(x0a)(x01)(x0a)x(1a)x010，当x0时，又a0，故x0a0，则存在x0，使得x(1a)x01，即a3时，由2(1a)13或a3；当1，即0a3时，0得a3，a无解综上，a3.探究点二 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究对于x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究，若函数f(x)的值域为C1，函数g(x)的值域为C2，则该问题等价为C1C2.例2 设函数f(x)x3x2x4.(1)求f(x)的单调区间；(2)设a1，函数g(x)x33a2x2a.若对于任意x10,1，总存在x00,1，使得f(x1)g(x0)成立，求a的取值范围解答： (1)f(x)x2x，令f(x)0，即x2x0，解得x0， f(x)在区间1，e)上为增函数，故当x1时，ymin1a，且此时f(1)f(e)e2；() 当1e，即2a2e2时， x(1，)时，f(x)0；x(，e)时，f(x)0， f(x)在1，)上递减，在(，e上递增，故当x时，yminln，且此时f()f(e)e2；() 当e，即a2e2时，f(x)0， f(x)在1，e)上为减函数， yf(e)e2.综上所述，函数yf(x)的最小值为ymin则由ymin，可以解得所求a的取值范围是0a2.(2)题意等价于：当“存在区间I2，)，使得函数g(x)在区间I上单调，且此时函数f(x)在区间1，)上的值域恰好是函数g(x)在区间I上的值域的子集”时，求a的取值范围 当0a2时，g(x)在2，)单调递增，由题意知g(2)fmin(x)，得62a2ln21a，解得ln2a2. 当12，即2a4时，g(x)在2，)上先减后增，由题意知，g(2)fmin(x)，得2a22ln2ln，即ln22ln20，设h(t)ttlnt22ln2(t)，h(t)2lnt0(1t2)， h(t)单调递增且h(2)0， h(t)0恒成立，得2a4.当2e2，即4a2e2时，g(x)在2，上递增，在，a上递减，在a，)上递增(如图所示)， 由题意知g()fmin(x)，即ln22ln20，设m(t)t23ttlnt22ln2，则m(t)2t2lnt0(t(2，e2)， m(t)递增，且m(2)0， m(t)0恒成立，此时无解 当a2e2时，g(x)在2，上递增，在，a上递减，在a，)上递增(如图所示)， 由题意知g()fmin(x)，即22ln2e2，此时也无解综上，所求a的取值范围是aln2,4)探究点三 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究对于x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究，第一步先转化为x2D，f(x1)ming(x2)，再将该问题按照探究点一转化为f(x1)ming(x2)min.例3已知两个函数f(x)7x228xc，g(x)2x34x240x.(1)若对任意x3,3，都有f(x)g(x)成立，求实数c的取值范围；(2)若对任意x13,3，存在x23,3，都有f(x1)g(x2)成立，求实数c的取值范围解答：(1) (1)x3,3，f(x)g(x)恒成立，即7x228xc2x34x240x恒成立， c(2x33x212x)恒成立，故c(2x33x212x)max. 令F(x)2x33x212x(x3,3)， F (x)6x26x12，令F (x)=0，解得x=1或x=2.又 x3,3， 当x3，1) 时，f (x)0，f(x)单调递减；当x1,2 时，f (x)0，f(x)单调递增；当x(2,3 时，f (x)0，g(x2)单调递增又 g(3)=102，g(3)=30，故g(x2) max=102 . 对x13,3，x23,3，f(x1)g(x2)， f(x1)max g(x2)max，即147c102，即c45 .【点评】 对于xD，f(x)c，可以转化为f(x)maxc；xD，cg(x)，可以转化为cg(x2)min .对于任意，对于任意，当时，,解得；当时，,解得；当时，,解得.综上所述，.（三）规律技巧提炼1对于恒成立问题或存在性问题常见基本类型为xD，f(x)c，可以转化为f(x)minc；xD，cg(x)，可以转化为cg(x)min；xD，cg(x)，可以转化为cy|yg(x)，对于由这些含有量词的命题组合而成的含有两个量词命题的问题，可以采取分步转化的方法来处理2对于含有参数的恒成立问题或存在性问题，常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并借助于函数图象来解决问题课后作业：1(2010金陵中学上学期期中卷)设函数f(x)p2ln x，g(x)(p是实数，e是自然对数的底数)(1)当p2时，求与函数yf(x)的图象在点A(1,0)处相切的切线方程；(2)若函数f(x)在其定义域内单调递增，求实数p的取值范围；(3)若在1，e上至少存在一点x0，使得f(x0)g(x0)成立，求实数p的取值范围解：(1)f(x)p，当p2时，点A(1,0)在函数yf(x)的图象上，f(1)2.则yf(x)在该点处的切线方程为y2(x1)，即2xy20.(2)f(x)，要使f(x)为单调增函数，须f(x)0在(0，)恒成立，即px22xp0在(0，)恒成立，即p在(0，)恒成立，又1，所以当p1时，f(x)在(0，)为单调增函数；(3)因g(x)在1，e上为减函数，所以g(x)2,2e当p0时，f(x)p0对于x1，e恒成立，则f(x)在1，e上递减，所以f(x)maxf(1)02，不合题意；当p1时，由(2)知f(x)在1，e上递增，f(x)minf(1)g(x)min，即f(e)p2ln e2，解得p；当0p1时，因x0，所以f(x)p2ln xx2ln x由(2)知x2ln x在1，e上为增函数，所以x2ln xe2ln e322，不合题意综上，p的取值范围为.2(本小题满分16分)已知两个函数f(x)7x228xc，g(x)2x34x240x.(1)若对任意x3,3，都有f(x)g(x)成立，求实数c的取值范围；(2)若对任意x13,3，x23,3，都有f(x1)g(x2)成立，求实数c的取值范围解：(1)x3,3，f(x)g(x)恒成立c(2x33x212x)max.令F(x)2x33x212x(x3,3)，F(x)6x26x12.又x3,3，当x1,2，f(x)0时，f(x)单调递增；当x3，1)(2,3时，f(x)0，g(x)单调递增又x23,3，g(x2)ming(2)48.又f(x1)g(x2)，147c48，即c195，f(x1)maxg(x2)min成立时c195.3已知函数f(x)ln x.(1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求a的值；(3)若f(x)0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)由(1)知：f(x).若a1，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)1a(舍去)若ea1，令f(x)0，得xa，当1xa时，f(x)0，f(x)在(1，a)上为减函数；当ax0，f(x)在(a，e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)1a.综上可知，a.(3)f(x)x2，ln x0，axln xx3.令g(x)xln xx3，h(x)g(x)1ln x3x2，h(x)6x，h(x)在1，)上是减函数，h(x)h(1)2，即g(x)g(x)，当f(x)0时，若对任意的x0，恒有f(x)0，求p的取值范围解(1)f(x)ln xpx1，f(x)的定义域为(0，)，f(x)p，当p0时，f(x)0，f(x)在(0，)上无极值点；当p0时，令f(x)0，x(0，)，f(x)、f(x)随x的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)单调递增极大值单调递减从上表可以看出，当p0时，f(x)有唯一的极大值点x.(2)当p0时，f(x)在x处取得极大值f()ln，此极大值也是最大值要使f(x)0恒成立，只需f()ln0，p1，p的取值范围是1，)5设函数（）求的最小值；（）若对恒成立，求实数的取值范围