北京市通州区2020届高三数学上学期期中试题（含解析）.doc

北京市通州区2020届高三数学上学期期中试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则mn（ ）a. -2，-1，0，1b. -1，0，1c. -1，0d. 0，1【答案】c【解析】【分析】先计算集合n，再计算得到答案.【详解】，则故选：c【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题型.2.等比数列中，则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】直接利用等比数列公式计算得到答案.【详解】等比数列中，故选：a【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题型.3.下列函数中为偶函数且在上为增函数的是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】依次判断每个选项的奇偶性和单调性，判断得到答案.【详解】a. ，是奇函数，排除；b. ，是偶函数，时，单调递增，正确；c. ，偶函数，时，是周期函数，排除；d. ，非奇非偶函数，排除；故选：b【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性，记忆常规函数的奇偶性和单调性是解题的关键.4.“”是“”的（ ）a. 充分而不必要条件b. 必要而不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】c【解析】【分析】根据角度的范围依次判断充分性和必要性，判断得到答案.【详解】，充分性；或或，故，必要性.故选：c【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断能力.5.直线经过点，且与直线平行，如果直线与曲线相切，那么等于（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先表示出直线方程为，求导计算切点为，代入直线方程得到答案.【详解】直线经过点，且与直线平行，则直线方程为： 直线与曲线相切，切点为 代入直线方程解得： 故选：a【点睛】本题考查了切线问题，也可以联立方程利用计算答案.6.在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.若，则abc的面积等于（ ）a. 或b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用余弦定理得到，代入面积公式计算得到答案.【详解】利用余弦定理得到：或（舍去） 故选：d【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力.7.设函数若方程有且只有一个根，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】方程有且只有一个根，等价于图像有一个交点，画出函数图像得到答案.【详解】方程有且只有一个根，等价于图像有一个交点.画出函数图像：根据图像知： 故选：b【点睛】本题考查了方程的解的问题，转化为函数的图像的交点是解题的关键.8.2014年6月22日，卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上宣布:中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目.随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的的.今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头.已知游船在顺水中的速度为，在逆水中的速度为（），则游船此次行程的平均速度与的大小关系是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先计算平均速度，再计算得到答案.【详解】设两码头距离为，则即故选：c【点睛】本题考查了不等式的应用，意在考查学生的应用能力.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9.已知(为虚数单位，)，则_【答案】；【解析】【分析】化简复数得到，再计算得到答案.【详解】故答案为：【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题型.10.已知，则三个数的大小关系是_【答案】；【解析】【分析】依次判断三个数与1和3 的大小关系，判断得到答案.【详解】；故答案为：【点睛】本题考查了数的大小比较，意在考查学生对于函数单调性的应用能力.11.设等差数列的前项和为，若，则数列的公差等于_.【答案】；【解析】分析】根据计算得到，再计算得到答案.【详解】故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的公差，也可以根据数列公式联立方程组解得答案.12.定义在r上的函数，给出下列三个论断：在r上单调递增；.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：_.【答案】推出；【解析】【分析】写出答案，再根据函数单调性得到证明.详解】推出；证明：在单调递增且当时，有，得证.故答案为：推出【点睛】本题考查了利用函数单调性判断命题，意在考查学生的推断能力.13.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_.【答案】；【解析】【分析】求导根据函数单调递减得到恒成立，计算函数的最大值为，得到答案.【详解】在恒成立即恒成立，在的最大值为，即故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.14.设是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称是的一个“孤立元”集合元素中t的“孤立元”是_；对给定集合，由中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有_个【答案】 (1). 5 (2). 16.【解析】【分析】（1）依次判断每个元素是否为孤立元得到答案.（2）3个元素构成的所有集合为个，排除不满足的情况得到答案.【详解】（1）依次判断每个元素是否为孤立元：对于1，不是孤立元；对于2，不是孤立元；对于3，不是孤立元；对于5，是孤立元；故答案为：5（2）3个元素构成的所有集合为个不含孤立元的集合有，4个故含“孤立元”的集合有16个故答案为：16【点睛】本题考查了集合的新定义问题，集合个数问题，意在考查学生的应用能力.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.已知函数（1）求的值；（2）求的最小正周期及单调增区间【答案】（1）0（2）最小正周期，的单调增区间为【解析】【分析】（1）直接代入数据计算得到答案.（2）化简得到，再计算周期和单调增区间.【详解】（1）（2） 所以最小正周期.令，解得所以的单调增区间为【点睛】本题考查了三角函数求值，三角函数的周期和单调区间，意在考查学生对于三角函数公式和性质的灵活运用.16.在中，d是ab边的中点.（1）求ab的长；（2）求cd的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先计算，根据正弦定理得到答案.（2）先计算，再利用余弦定理得到答案.【详解】（1）则由正弦定理得到：解得：ab=（2）因d是ab中点，则，在中，由余弦定理得：解得：cd=.【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.17.已知数列的前6项依次成等比数列，设公比为q（），数列从第5项开始各项依次为等差数列，其中，数列的前n项和为.（1）求公比q及数列的通项公式；（2）若，求项数n的取值范围.【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为q，代入，解得，再讨论和两种情况得到答案.（2）先计算数列前4项的和为20，构造数列，前m项和计算不等式得到答案.【详解】(1)设等比数列的公比为q，则从第5项开始各项依次为等差数列，解得或数列为非常数列，当时，当时，综上所述，(2)易知数列前4项的和为20，从第5项开始为等差数列，当时，数列为2，-1，-4，-7，可令数列为2，-1，-4，-7，数列的前m项和，依题意，综上所述：，【点睛】本题考查了数列的通项公式，先n项和，意在考查学生对于数列公式和方法的掌握情况.18.如图，在四棱锥中，底面abcd为菱形，且abc=60，平面abcd，点e，f为pc，pa的中点（1）求证：平面bde平面abcd；（2）二面角ebdf的大小；（3）设点m在pb(端点除外)上,试判断cm与平面bdf是否平行，并说明理由【答案】（1）证明见解析（2）（3）cm与平面bdf不平行，详见解析【解析】【分析】（1）连接ac与bd，设交点为o，连接fo，证明平面abcd，得到答案.（2）以o为原点，以ob，oc，oe为x,y,z轴建立空间直角坐标系，计算坐标得到平面的法向量，计算夹角得到答案.（3）假设存在，设，计算得到，所以不存在.【详解】（1）证明：连接ac与bd，设交点为o，连接fo，由已知e，o分别为pc，ac中点，可得eo/pa,又因为平面abcd，所以平面abcd，平面bde所以平面bde平面abcd.（2）以o为原点，以ob，oc，oe为x,y,z轴建立空间直角坐标系设ab=a，因为底面abcd为菱形，且abc=60，则ac=a，则，.设平面bfd的法向量为，则有，即，即令，则又由（1）可知为平面bde的法向量，所以二面角ebdf的大小为（3）因为点m在pb(端点除外)上，设，则，所以cm与平面bdf不平行.【点睛】本题考查了面面垂直，二面角和线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.设函数（1）当b=0时，求函数的极小值；（2）若已知b1且函数与直线y=-x相切，求b的值；（3）在（2）的条件下，函数与直线y=-x+m有三个公共点，求m的取值范围.(直接写出答案)【答案】（1）（2）b=3（3）【解析】分析】（1）求导得到函数的单调区间，再计算极小值.（2）设切点是()，求导，根据条件得到计算得到答案.（3）化简得到，设，画出函数图象得到答案.【详解】（1）当b=0时，则，由得，当或时，；当时，则当时，f(x)取得极小值（2）因，则设函数与直线y=-x相切的切点是()，因为，所以，所以有又，相减得，所以，所以，解得b=3.（3）设，在上单调递增；在单调递减.极大值，极小值，画出函数图象：根据图象得到答案：.【点睛】本题考查了函数的单调性，切线问题，零点，意在考查学生的计算能力和转化能力.20.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数的零点个数；（3）当时，求证不等式解集为空集.【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为（2）在上只有一个零点（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，计算得到答案.（2）求导得到，分类讨论，和三种情况得到答案.（3）原题等价于恒成立，求导得到函数的单调区间，计算最小值得到证明.【详解】（1）的定义域为.令，得当时，有，所以在上单调递增.当时，有，所以上单调递减.综上所述：的单调增区间为，单调减区间为（2）函数，令，解