历年江苏数学高考试卷[1].doc

2008年普通高校招生全国统一考试（江苏卷）数学1. 的最小正周期为，其中，则 。【解析】本小题考查三角函数的周期公式。答案102.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 。【解析】本小题考查古典概型。基本事件共个，点数和为4的有、共3个，故。答案3.表示为，则= 。【解析】本小题考查复数的除法运算， ，因此=1。答案14. 则的元素个数为 。【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由得因为，所以，因此，元素的个数为0。答案05.的夹角为，则 。【解析】本小题考查向量的线形运算。因为 ，所以=49。因此7。答案76.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为 。【解析】本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此。 答案 7.某地区为了解7080岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。序号（i）分组（睡眠时间）组中值（）频数（人数）频率（）14,5)4.560.12 25,6)5.5100.2036,7)6.5200.4047,8)7.5100.2058,9)8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是 。【解析】本小题考查统计与算法知识。答案6.428.直线是曲线的一条切线，则实数 。【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以。答案9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程： 。【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想。事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。答案。10.将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 。【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前行共用了 个数，因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第个，即为。答案11.的最小值为 。【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。答案3。12.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 。【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线互相垂直，又，所以是等腰直角三角形，故，解得。 答案13.若，则的最大值 。【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为轴，其中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由可得，化简得，即C在以（3，0）为圆心，为半径的圆上运动。又。答案14.对于总有成立，则= 。【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使恒成立，只要在上恒成立。当时，所以，不符合题意，舍去。当时，即单调递减，舍去。当时 若时在和 上单调递增，在上单调递减。所以 当时在上单调递减，不符合题意，舍去。综上可知a=4.答案4。15.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为。（1） 求的值； （2） 求的值。【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得， 为锐角，故。同理可得，因此。（1）。（2），从而。16在四面体ABCD中，CB=CD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证（I）直线； （II）。证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点。（II）又，所以17某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km, ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。（I）按下列要求写出函数关系式： 设，将表示成的函数关系式； 设，将表示成的函数关系式。（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。【解析】本小题考查函数最值的应用。（I）由条件可知PQ垂直平分AB，则故，又，所以。，则，所以，所以所求的函数关系式为。（I） 选择函数模型。令得，又，所以。当时，是的减函数；时，是的增函数。所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。18.设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。（1） 求实数的取值范围；（2） 求圆的方程；（3） 问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论。【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。（1）（2） 设所求圆的方程为。令得又时，从而。所以圆的方程为。（3）整理为，过曲线与的交点，即过定点与。19.（I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： 当时，求的数值；求的所有可能值；（II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。【解析】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。（I）当时， 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则。若删去，则有，即，化简得；若删去，则有，即，化简得。综上可知。 当时， 中同样不可能删去首项或末项。若删去，则有，即，化简得；若删去，则有，即，化简得，舍去；若删去，则有，即，化简得。当时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项和末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去，也有，这与矛盾；若删去中的任意一个，则必有，这与矛盾。综上可知。（3） 略20.若为常数，且(I) 求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；(II) 设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。（I）恒成立若，则，显然成立；若，记当时，所以，故只需；当时，所以，故只需。（II）如果，则的图象关于直线对称，因为，所以区间关于直线对称。因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为。如果，结论的直观性很强。2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）参考公式：次独立重复试验恰有次发生的概率为：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。1下列函数中，周期为的是（D）A B C D2已知全集，则为（A）A B C D3在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（A）A B C D4已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：（C） 其中正确命题的序号是A B C D5函数的单调递增区间是（D）A B C D6设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，则有（B）A BC D7若对于任意实数，有，则的值为（B）A B C D8设是奇函数，则使的的取值范围是（A）A B C D9已知二次函数的导数为，对于任意实数都有，则的最小值为（C）A B C D10在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为（B）A B C D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。11若，.则1/2.12某校开设9门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有75种不同选修方案。（用数值作答）13已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则32.14正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是.15在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则5/4.16某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将两点的距离表示成的函数，则，其中。三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位）（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第次预报准确的概率；（4分）解：（1）（2）（3）18（本小题满分12分）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，（1）求证：四点共面；（4分）（2）若点在上，点在上，垂足为，求证：面；（4分）（3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。（4分）解：（1）证明：在DD上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFDN是平行四边形，所以DF/CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN/AD，且EN=AD，又BC/AD，且AD=BC，所以EN/BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以CN/BE，所以DF/BE，所以四点共面。（2）因为所以MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EMBB又平面ABBA平面BCCB，且EM在平面ABBA内，所以面（3）面，所以BF，MH，所以MHE就是截面和面所成锐二面角的平面角，EMH=，所以，ME=AB=3，MHB，所以3：MH=BF：1，BF=，所以MH=，所以=19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，（1）若，求的值；（5分）（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，因为，所以，即，所以，即所以（2）设过Q的切线为，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以因为，所以P为AB的中点。20（本小题满分16分）已知 是等差数列，是公比为的等比数列，记为数列的前项和，（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）解：设的公差为，由，知，（）（1）因为，所以，所以（2），由，所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为，设数列中的某一项=现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，所以，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立。（3）设数列中有三项成等差数列，则有2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。21（本小题满分16分）已知是不全为的实数，函数，方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根，（1）求的值；（3分）（2）若，求的取值范围；（6分）（3）若，求的取值范围。（7分）解（1）设是的根，那么，则是的根，则即，所以。（2）因为，所以，则=0的根也是的根。（a）若，则，此时的根为0，而的根也是0，所以，（b）若，当时，的根为0，而的根也是0，当时，的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以所以，从而所以当时，；当时，。（3），所以，即的根为0和1，所以=0必无实数根，（a）当时，=，即函数在，恒成立，又，所以，即所以；（b）当时，=，即函数在，恒成立，又，所以，而，所以，所以不可能小于0，（c）则这时的根为一切实数，而，所以符合要求。所以2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）（数学）1、 填空题1、 设集合A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3，则实数a=_2、 设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为_3、 盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_4、 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间5,40中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_根在棉花纤维的长度小于20mm。5、 设函数f(x)=x(ex+ae-x),xR，是偶函数，则实数a=_6、 在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是_ 7、 右图是一个算法的流程图，则输出S的值是_开始S1n1SS+2nS33nn+1否输出S结束是8、 函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+bk为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=_9、 在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是_ 10、 定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_11、 已知函数,则满足不等式的x的范围是_12、 设实数x,y满足38，49，则的最大值是_13、 在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，则_14、 将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_2、 解答题15、 （14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长(2) 设实数t满足()=0，求t的值16、 （14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC，BCD=900(1) 求证：PCBC(2) 求点A到平面PBC的距离17、 （14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角ABE=，ADE=(1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H的值(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使与之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，-最大ABOF18.（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，其中m0,设动点P满足,求点P的轨迹设，求点T的坐标设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）19（16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.求数列的通项公式（用表示）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为20.（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质.(1)设函数，其中为实数求证：函数具有性质求函数的单调区间(2)已知函数具有性质，给定，且，若|,求的取值范围 【理科附加题】21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）(1) 几何证明选讲AB是O的直径，D为O上一点，过点D作O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC(2) 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k0，kR，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,A1B1C1的面积是ABC面积的2倍，求实数k的值(3) 参数方程与极坐标在极坐标系中，圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，求实数a的值(4) 不等式证明选讲已知实数a,b0，求证：22、 （10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立（1） 记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列（2） 求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率23、 （10分）已知ABC的三边长为有理数（1） 求证cosA是有理数（2） 对任意正整数n，求证cosnA也是有理数2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式：样本数据的方差一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.1.若复数，其中是虚数单位，则复数的实部为.【答案】【解析】略2.已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积 .【答案】3【解析】。3.函数的单调减区间为 .11Oxy【答案】【解析】，由得单调减区间为。4.函数为常数，在闭区间上的图象如图所示，则 .【答案】3【解析】，所以， 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 .【答案】0.2【解析】略6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679开始输出 结束YN则以上两组数据的方差中较小的一个为 .【答案】 【解析】略7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 .【答案】22【解析】略8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .【答案】1：8【解析】略9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .【答案】 【解析】略10.已知，函数，若实数满足，则的大小关系为 .【答案】【解析】略11.已知集合，若则实数的取值范围是，其中 .【答案】4【解析】由得，；由知，所以4。12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）.【答案】（1）（2） 【解析】略13如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .【答案】xyA1B2A2OTM【解析】用表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.14设是公比为的等比数列，令若数列有连续四项在集合中，则 .【答案】【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15（本小题满分14分） 设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：.【解析】由与垂直，即，；，最大值为32，所以的最大值为。由得，即，所以. 16（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，求证：（1）ABCA1B1C1EFD（2）【解析】证明：（1）因为分别是的中点，所以，又，所以；（2）因为直三棱柱，所以，又，所以，又，所以。17（本小题满分14分） 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项