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双根法优化解析几何运算1.双根法使用类型：形如或者（其中分别为直线与曲线交点的横纵坐标）2.双根法理论基础：设为一元二次方程的两根则（其意义为将一个二次多项式进行因式分解）引例.设椭圆中心在原点，长轴在轴上，上顶点为，左右焦点分别为，线段中点分别为，且是面积为的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过作直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.解：（1）（2）易知：直线不与轴垂直，则设直线方程为：，因为，则，所以现联立则方程可以等价转化即令，令，结合化简可得：所以直线方程为：.1.已知椭圆离心率为，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，若，求直线与轴交点的纵坐标的取值范围.2.已知椭圆，若直线与椭圆交于两点，（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出定点坐标.3. 设是抛物线上的一个定点，是抛物线上两点，且，证明：直线恒过定点.4.已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l: 与椭圆有且只有一个公共点.（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；（II）设O是坐标原点，直线平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点.证明：存在常数，使得，并求的值.解：（I）由已知，则椭圆E的方程为.由方程组 得.方程的判别式为，由，得，此时方程的解为，所以椭圆E的方程为.点T坐标为（2,1）.传统解法（II）由已知可设直线的方程为，由方程组
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