2013年春季学期线性代数试卷A.doc

中国海洋大学 2013年春季学期 期末考试卷 数学科学学院 线性代数试题A卷 共3页 第 1 页考试说明：本课程为闭卷考试，满分为：100 分. 题号一二三四五六总分得分符号说明： 表示矩阵的秩，表示矩阵的伴随矩阵，表示阶单位矩阵，表示矩阵的转置矩阵，是的元素的代数余子式.一、填空 （18分）1、2、设是3维列向量，记，若，则 ；3、设向量组（I）；（II）；（III）；（IV）若（I）、（II）的秩为2，(III)的秩为3，则(IV)的秩为 。4、设阶方阵的一个特征值为，与其对应的特征向量，则方阵的个元素之和为 ；5、若阶矩阵的特征值为，则 ；授课教师命题教师或命题负责人签字线性代数课题组院系负责人签字年 月 日数学科学学院 线性代数试题(A卷) 共 3 页 第 2 页6、设均为阶可逆矩阵，是阶矩阵, 且，则 ；二、选择题 （18分）1. 设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第2列的加到第1列得，记，则（ D ）（A） (B) (C) （D）. 2. 设均为阶矩阵,且，则必有（ ）；A或 B C或 D两矩阵与中，至少有一个为奇异矩阵3. 维列向量组线性无关，则维列向量组线性无关的充分必要条件为（ ）A向量组可由向量组线性表示B向量组可由向量组线性表示C向量组与向量组等价D矩阵（）与矩阵（）等价4. 设为矩阵，则线性方程组为有解的充分条件是（ ）A是行满秩的 B是列满秩的C的秩小于的行数 D的秩小于的列数5. 与矩阵不相似的矩阵是( )A B C D6. 已知是某个齐次线性方程组的一个基础解系，则（ ）A线性无关 B线性相关C线性相关 D不是方程组的一个基础解系三、（24分）1.设3阶矩阵的特征值为1，2，2，为3阶单位矩阵,求. （4分）2. 设是的一组基，求到的过渡矩阵. （6分）3. 设为矩阵，为矩阵，若，求证：。（5分）4.设的伴随矩阵且，求.（8分）四、（12分）1、设向量组,线性无关，试讨论向量组, 的线性关系.（6分）2、已知均为阶矩阵，且，证明.（6分） 数学科学学院 线性代数试题(A卷) 共 3 页 第 3 页五、（15分）设，已知线性方程组有无穷多个解求：（1）；(2)的一般解.六、(15分) 设二次型.（I）求二次型的矩阵的所有特征值.(II）若二次型的规范形为，求的值.求正交变换，利用正交变换法将化为标准型. 已知，二次型 的秩为2. 注：.（1）求实数的值；（2）求正交变换，利用正交变换法将化为标准型.设为3阶方阵，将的第1行加到第2行得矩阵，再交换的第2列与第3 列得单位矩阵，记,则（ B ） (A) (B) (C) (D)设矩阵，矩阵满足，其中是的伴随矩阵，求矩阵； 4阶行列式 的值等于（ ） A B C D 计算已知齐次线性方程组有非零解，则与满足( )；A或 B或 C D计算设是阶矩阵，是线性无关的维列向量组，是阶可逆矩阵，且，则可取为（ ）A BC D设都是阶方阵，且可逆下列各式中，不对的是（ ）A BCD设是3阶方阵，且，为的伴随矩阵，求设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则线性无关的充要条件是（ B ）A B C D(2011)设3维向量组，不能由，线性标出。求：()求；()将，由，线性表出.(2010) 设，正交矩阵使得为对角矩阵，若的第1列为,求，(2009) 设二次型.（I）求二次型的矩阵的所有特征值.(II）若二次型的规范形为，求的值.求正交变换，利用正交变换法将化为标准型.（15分）设，已知线性方程组有无穷多个解求：（1）；(2)的一般解.设3维向量组，不能由，线性标出。求：()求；()将，由，线性表出.已知为三阶实矩阵，且，求：() 求的特征值与特征向量；() 求设，已知线性方程组存在2个不同的解（）求，（）求方程组的通解设二次型.（）求二次型的矩阵的所有特征值.（）若二次型的规范形为，求的值.（6）设则在实数域上域与合同的矩阵为（ ）（A）. （B）.（21）2006（本题满分13分）设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3，向量是线性方程组的两个解。（）求的特征值与特征向量；（）求正交矩阵和对角矩阵,使得；（）求及，其中为3阶单位矩阵。（C）.