数学北师大版九年级下册§3．2．2 圆的对称性(二).pdf

3 3 2 2 2 2 圆的对称性圆的对称性 二二 教学目标教学目标 一 教学知识点 二 1 圆的旋转不变性 2 圆心角 弧 弦之间相等关系定理 二 能力训练要求 1 通过观察 比较 操作 推理 归纳等活动 发展空间观念 推理 能力以及概括问题的能力 2 利用圆的旋转不变性 研究圆心角 弧 弦之间相等关系定理 三 情感与价值观要求 培养学生积极探索数学问题的态度及方法 教学重点教学重点 圆心角 弧 弦之间关系定理 教学难点教学难点 圆心角 弧 弦之间关系定理 中的 在同圆或等圆 条件的理解 及定理的证明 教学方法教学方法 指导探索法 教具准备教具准备 投影片两张 第一张 做一做 记作 3 2 2 A 第二张 举反例图 记作 3 2 2B 教学过程教学过程 创设问题情境 引入新课 创设问题情境 引入新课 师 我们研究过中心对称图形 我们是用什么方法来研究它的 它的 定义是什么 哪位同学知道 生 用旋转的方法 中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转 180 如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合 那么这个图形叫中 心对称图形 这个点就是它的对称中心 师 圆是一个特殊的圆形 通过前面的学习 同学们已经了解到圆既 是一个轴对称图形又是一个中心对称图形 那么 圆还有其他特性吗 下面 我们继续来探讨 讲授新课 讲授新课 师 同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点 生 大小一样 师 现在老师把这两个圆叠在一起 使它俩重合 将圆心固定 将上面这个圆旋转任意一个角度 两个圆还重合吗 生 重合 师 通过旋转的方法我们知道 圆具有旋转不变的特性 即一个圆绕 着它的圆心旋转任意一个角度 都能与原来的图形重合 圆的中心对称性 是其旋转不变性的特例 即圆是中心对称图形 对称中心为圆心 师 我们一起来做一做 出示投影片 3 2 2 A 按下面的步骤做一做 1 在两张透明纸上 作两个半径相等的 O 和 O 沿圆周分别将两圆剪 下 2 在 O 和 O 上分别作相等的圆心角 AOB 和 A O B 如下图示 圆心固定 注意 在画 AOB 与 A O B 时 要使 OB 相对于 OA 的方向与 O B 相 对于 O A 的方向一致 否则当 OA 与 OA 重合时 OB 与 O B 不能重合 3 将其中的一个圆旋转一个角度 使得 OA 与 O A 重合 生 教师叙述步骤 同学们一起动手操作 师 通过上面的做一做 你能发现哪些等量关系 同学们互相交流一 下 说一说你的理由 生甲 由已知条件可知 AOB A O B 生乙 由两圆的半径相等 可以得到 OAB OBA O A B O B A 生丙 由 AOB A O B 可得到 AB A B 生丁 由旋转法可知弧 AB 弧 A B 师 很好 大家说得思路很清晰 其实刚才丁同学说到弧AB 弧A B 的理由是一种新的证明弧相等的方法 叠合法 师生共析 我们在上述做一做的过程中发现 固定圆心 将其中一个 圆旋转一个角度 使半径 OA 与 O A 重合时 由于 AOB A O B 这 样便得到半径 OB 与 O B 重合 因为点 A 和点 A 重合 点 B 和点 B 重 合 所以弧 AB 和弧 A B 重合 弦 AB 与弦 A B 重合 即 弧 AB 弧 A B AB A B 师 在上述操作过程中 你会得出什么结论 生 在等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 师 同学做得很好 这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到 的圆的另一个特性 圆心角 弧 弦之间相等关系定理 下面 我们一起来看一看命题的证明 学生互相讨论交流 学生口述 教师板书 如上图所示 已知 O 和 O 是两个半径相等的圆 AOB A O B 求证 弧 AB 弧 A B AB A B 证明 将 O 和 O 叠合在一起 固定圆心 将其中的一个圆旋转 一个角度 使得半 径 OA 与 O A 重合 AOB A O B 半径 OB 与 O B 重合 点 A 与点 A 重合 点 D 与点 B 重合 弧 AB 与弧 A B 重合 弦 AB 与弦 A B 重合 弧 AB 弧 A B AB A B 上面的结论 在同圆中也成立 于是得到下面的定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 注意 在运用这个定理时 一定不能忘记 在同圆或等圆中 这个前 提 否则也不一定 有所对的弧相等 弦相等这样的结论 师 通过举反例强化对定理的理解 请同学们画一个只能是圆心角相 等的这个条件的图 出示投影片 3 2 2 B 生 如下图示 虽然 AOB A O B 但 AB A B 弧 AB 弧 A B 下面我们共同想一想 师 如果我们把两个圆心角用 表示 两条弧用表示 两条弦用 表 示 我们就可以得出这样的结论 在同圆或等圆中 也相等 相等 如果在同圆或等圆这个前提下 将题设和结论中任何一项交换一下 结论正确吗 你是怎么想的 请你说一说 同学们互相交流 讨论 生甲 如果将上述题设 和结论 换一下 结论仍正确 可以通过旋 转法或叠合法得到证明 生乙 如果将上述题设 和结论 互换一下 结论也正确 可以通过 证明全等或叠合法得到 师 好 通过上面的探索 你得到了什么结论 生 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量 相等 那么它们所 对应的其余各组量都分别相等 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两条弦的弦心 距中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 注意 1 不能忽略 在同圆或等圆中 这个前提条件 否则 丢掉这 个前提 虽然圆心 角相等 但所对的弧 弦 弦心距不一定相等 2 此定理中的 弧 一般指劣弧 3 要结合图形深刻体会圆心角 弧 弦 弦心距这四个概念和 所对 一词的含义 否则易错用此关系 4 在具体应用上述定理解决问题时 可根据需要 择其有关部分 如 在同圆中 等弧 所对的圆心角相等 在等圆中 弦心距相等的弦相等 等等 例如 右图中的 1 2 有的同学认为 1 对 AD 2 对 BC 就推出了 AD BC 显 然这是错误的 因为 AD BC 不是 等圆心角对等弦 的弦 师 下面我们通过练习巩固本节课的所学内容 课本 P97 随堂练习 1 2 3 课时小结 课时小结 师 通过这一节的学习 在得出本节结论的过程中 回忆一下我们使 用了哪些研究图形的方法 同学们之间相互讨论 归纳 生 本节采用的方法有多种 利用折叠法研究了圆是轴对称图形 利 用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理 利用旋转的方法得到了圆的 旋转不变性 由圆的旋转不变性 我们探究了圆心角 弧 弦 弦心距之 间相