福建省平和一中、南靖一中等五校2019-2020学年高二数学上学期期中联考试题（含解析）.doc

福建省平和一中、南靖一中等五校2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知曲线方程为，p为曲线上任意一点，a，b为曲线的焦点，则（）a. b. c. d. 2. 抛物线y=4x2的焦点坐标是（）a. b. c. d. 3. 2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为，中位数分别为y1，y2，则（）a. ,b. ,c. ,d. ,4. 双曲线-=1的渐近线方程为（）a. b. c. d. 5. 下列对一组数据的分析，不正确的说法是（）a. 数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定b. 数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定c. 数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定d. 数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定6. “mn0”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的（）a. 充分而不必要条件b. 必要而不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要7. 过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于a（x1，y1），b（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|ab|=（）a. 10b. 9c. 8d. 68. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是（）a. 恰有一个红球与恰有两个红球b. 至少有一个红球与都是白球c. 至少有一个红球与至少有个白球d. 至少有一个红球与都是红球9. 过a（2，-1）的直线l与抛物线y2=4x相交于c，d两点，若a为cd中点，则直线l的方程是（）a. b. c. d. 10. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段ab=2，过点b作ab的垂线，并用圆规在垂线上截取bc=ab，连接ac；（2）以c为圆心，bc为半径画弧，交ac于点d；（3）以a为圆心，以ad为半径画弧，交ab于点e则点e即为线段ab的黄金分割点若在线段ab上随机取一点f，则使得beafae的概率约为（）（参考数据：2.236）a. b. c. d. 11. 已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于a. b. c. 3d. 512. 已知双曲线c：的左、右焦点分别为f1、f2，过f1的直线与c的两条渐近线分别交于a，b两点若，则c的离心率为（）a. b. c. d. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设命题p：nn，n22n，则p为_14. p为椭圆上一点，f1、f2为左右焦点，若f1pf2=60，则f1pf2的面积为_15. 过双曲线-=1右焦点f作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是_ 16. 以下四个关于圆锥曲线的命题：（1）直角坐标系内，到点（-1，2）和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是抛物线；（2）设a，b为两个定点，若|pa|-|pb|=2，则动点p的轨迹为双曲线；（3）方程2x2-4x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；（4）若直线mx+ny=4和o：x2+y2=4没有交点，则过点p（m，n）的直线与椭圆=1的交点个数为2其中真命题的序号为_（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p：（x-3）（x+2）0，命题q：0，若命题pq为真命题，命题pq为假命题，求实数x的取值范围18. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查（）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（）若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析；列出所有可能抽取的结果；求抽取的2所学校没有大学的概率19. 已知椭圆的右焦点为f（1，0），且椭圆上的点到点f的最大距离为3，o为坐标原点（）求椭圆c的标准方程；（）过右焦点f倾斜角为60的直线与椭圆c交于m、n两点，求弦长|mn|20. 某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照0，2，（2，4，（14，16分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图（）试估计100户居民用水价格的平均数和中位数；（）如图2是该市居民李某2017年16月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是=2x+33若李某2017年17月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的水费21. 已知抛物线c的准线方程为x=-（）求抛物线c的标准方程；（）若过点p（t，0）的直线l与抛物线c相交于a、b两点，且以ab为直径的圆过原点o，求证t为常数，并求出此常数22. 如图，椭圆e：=1（ab0）的左、右顶点分别为a、b，离心率e=，长轴与短轴的长度之和为10（）求椭圆e的标准方程；（）在椭圆e上任取点p（与a、b两点不重合），直线pa交y轴于点c，直线pb交y轴于点d，证明：为定值答案和解析1.【答案】b【解析】解：曲线方程为，p为曲线上任意一点，a，b为曲线的焦点，根据椭圆的定义的应用，|pa|+|pb|=2a=8故选：b直接利用椭圆的方程和椭圆的定义的应用求出结果本题考查的知识要点：椭圆的方程的应用和定义的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型2.【答案】c【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选：c把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键3.【答案】b【解析】解：由茎叶图知甲的最高分为27，最低分为13，则=17.8，中位数y1=14；由茎叶图知乙的最高分为22，最低分为10，则=15.4，中位数y2=14，所以，y1=y2故选：b根据茎叶图分别判断甲、乙的最高分和最低分，利用平均数公式及中位数的定义分别求出甲、乙的平均数与中位数，可得答案本题考查了利用茎叶图求数据的平均数与中位数4.【答案】c【解析】解：根据题意，双曲线-=1的焦点在x轴上，且a=2，b=，则其渐近线方程y=x；故选：c根据题意，由双曲线的标准方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a、b的值，由双曲线的渐近线方程计算可得答案本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的渐近线方程的计算公式5.【答案】b【解析】【分析】本题考查极差、平均数、标准差、方差的意义，属于基础题根据极差、平均数、标准差、方差的意义即可判断【解答】解：极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定方差较小的数据波动较小，稳定程度高平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否故选：b6.【答案】c【解析】解：若mn0，则方程表示焦点在y轴上的椭圆；反之，若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则mn0，“mn0”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选：c由椭圆的标准方程结合充分必要条件的判定得答案本题考查椭圆的标准方程，考查充分必要条件的判定方法，是基础题7.【答案】c【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=-1，抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于a（x1，y1）b（x2，y2）两点|ab|=x1+x2+2，又x1+x2=6 |ab|=x1+x2+2=8 故选：c抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于a（x1，y1）b（x2，y2）两点，故|ab|=x1+x2+2，由此易得弦长值本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度8.【答案】a【解析】【分析】本题考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题利用互斥事件、对立事件的定义直接求解【解答】解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，在a中，恰有一个红球与恰有两个红球既不能同时发生，也不能同时不发生，是互斥而不对立事件，故a正确；在b中，至少有一个红球与都是白球是对立事件，故b错误；在c中，至少有一个红球与至少有个白球能同时发生，不是互斥事件，故c错误；在d中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故d错误故选：a9.【答案】a【解析】【分析】本题考查直线与抛物线的综合问题，解决本题的关键在于灵活利用点差法，属于中等题设点c（x1，y1）、d（x2，y2），先利用中点坐标公式得出，然后将c、d两点坐标代入抛物线的标准方程，并将两式作差，可求出直线l的斜率，然后由直线l过点a，利用点斜式可得出直线l的方程【解答】解：设点c（x1，y1）、d（x2，y2），由于点a（2，-1）为线段cd的中点，则，所以，将点c、d的坐标分别代入抛物线的方程得，将上述两个等式相减得，即（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2），所以，-2（y1-y2）=4（x1-x2），则直线l的斜率为，因此，直线l的方程为y+1=-2（x-2），即2x+y-3=0故选：a10.【答案】a【解析】解：由勾股定理可得：ac=，由图可知：bc=cd=1，ad=ae=1.236，be2-1.236=0.764，则：0.764af1.236，由几何概型中的线段型，可得：使得beafae的概率约为=0.236，故选：a由勾股定理可得：ac=，由图易得：0.764af1.236，由几何概型中的线段型，可得：使得beafae的概率约为=0.236，得解本题考查了勾股定理、几何概型中的线段型，属简单题11.【答案】a【解析】【分析】确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键【解答】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合4+b2=9b2=5双曲线的一条渐近线方程为，即双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选：a12.【答案】d【解析】解：如图，oaf1b，则f1b：y=（x+c），联立，解得b（，），则+=c2，整理得：b2=3a2，c2-a2=3a2，即4a2=c2，=4，e=2故选：d由题意画出图形，结合已知可得f1boa，写出f1b的方程，与y=x联立求得b点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题13.【答案】nn，n22n【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是“nn，n22n”，故答案为：“nn，n22n”根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础14.【答案】【解析】解：由椭圆方程可知，a=5，b=3，c=4p点在椭圆上，f1、f2为椭圆的左右焦点，|pf1|+|pf2|=2a=10，|f1f2|=2c=8在pf1f2中，cosf1pf2=cos60=72-4|pf1|pf2|=2|pf1|pf2|，|pf1|pf2|=12又在f1pf2中，=|pf1|pf2|sinf1pf2=12sin60=3故答案为3先利用椭圆定义求出|pf1|+|pf2|和|f1f2|的值，因为知道焦点三角形的顶角，利用余弦定理求出|pf1|pf2|的值，再代入三角形的面积公式即可本题主要考查椭圆中焦点三角形的面积的求法，关键是应用椭圆的定义和余弦定理转化15.【答案】（，）【解析】解：由题意可得双曲线的渐近线斜率23，=，e，双曲线离心率的取值范围为（，）故答案为：（，）先确定双曲线的渐近线斜率23，再根据=，即可求得双曲线离心率的取值范围本题考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用=，属于中档题16.【答案】（4）【解析】解：对于（1），因为点（-1，2）在直线2x+3y-4=0上，到点（-1，2）和到直线2x+3y-4=0距离相等的点的轨迹是过定点与此直线垂直的直线，不是抛物线，故（1）错；对于（2），中当|pa|-|pb|=2|ab|时是双曲线的一支；当|pa|-|pb|=2|ab|时，没有轨迹图形；当2=|ab|时，表示一条射线，（2）错；对于（3），方程2x2-4x+2=0有两相等实根为1、不可以分别作为椭圆和双曲线的离心率，故（3）错误；对于（4），由题意圆心（0，0）到直线mx-ny=4的距离d=2=r，即m2+n24，点（m，n）在以原点为圆心，2为半径的圆内，与椭圆的交点个数为2故（4）正确故答案为：（4）（1），定点（-1，2）在定直线2x+3y-4=0上，到定点（-1，2）的距离与到定直线2x+3y-4=0的距离相等的点的轨迹不是抛物线（2），利用双曲线的定义，即可得出结论（3），求出方程的两根即可得到答案（4），根据直线与圆没有交点得到圆心到直线的距离大于半径列出不等式，化简后得到m2+n24说明p在o的圆内，根据椭圆方程得到短半轴为2，而圆的半径也为2，所以点p在椭圆内部，所以过p的直线与椭圆有两个交点本题考查了有关圆锥曲线的命题真假的判定，属于中档题17.【答案】（本小题满分12分）解：当命题p为真命题时：（x-3）（x+2）0，即-2x3；（2分）当命题q为真命题时：，即x5；（4分）又pq为真命题，pq为假命题，命题p、q一真一假，即p真q假或p假q真；（6分）当p真q假时，则，-2x3，（8分）当p假q真时，则，x5，（10分）综上所述，实数x的取值范围为（-2，3）（5，+）（12分）【解析】若命题pq为真命题，命题pq为假命题，则命题p、q一真一假，即p真q假或p假q真，进而得到实数x的取值范围本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的解法，复合命题，难度中档18.【答案】解：（）学校总数为21+14+7=42，分层抽样的比例为642=，利用分层抽样得：应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为：，14，7=1，应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1所（）在抽取的6所学校中，3所小学分别记为a1，a2，a3，2所中学分别记为b1，b2，1所大学记为c，则应抽取的2所学校的所有结果有15种，分别为：a1，a2，a1，a3，a1，b1，a1，b2，a1，c，a2，a3，a2，b1，a2，b2，a2，c，a3，b1，a3，b2，a3，c，b1，b2，b1，c，b2，c设“抽取的2所学校没有大学”为事件a，则a包含的基本事件有10种，抽取的2所学校没有大学的概率p（a）=【解析】（）学校总数为42，分层抽样的比例为，利用分层抽样能求出应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目（）在抽取的6所学校中，3所小学分别记为a1，a2，a3，2所中学分别记为b1，b2，1所大学记为c，利用列举法能求出应抽取的2所学校的所有结果设“抽取的2所学校没有大学”为事件a，则a包含的基本事件有10种，由此能求出抽取的2所学校没有大学的概率本题考查概率的求法，考查分层抽样、列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题19.【答案】解：（）由题意得，所以，所以椭圆的标准方程是（）由题意得，直线mn的方程为，方程联立得到，5x2-8x=0，所以弦长|mn|为：【解析】（）利用已知条件列出a，b，c的方程组，然后求椭圆c的标准方程；（）求出过右焦点f倾斜角为60的直线方程与椭圆c的方程联立，求出m、n两点的坐标，利用弦长公式求弦长|mn|本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，是中档题20.【答案】解：（）可估计全市居民用水价格的平均数为=（10.02+30.04+50.08+70.1+90.13+110.08+130.03+150.02）2=7.96；由于前4组的频率之和为0.04+0.08+0.16+0.2=0.48，前5组的频率之和为0.04+0.08+0.16+0.2+0.26=0.74，所以中位数在第5组中；设中位数为t吨，则有（t-8）0.13=0.02，所以，即所求的中位数为吨；（）设李某2017年16月份的月用水费y（元）与月份x的对应点为（xi，yi）（i=1，2，3，4，5，6），它们的平均值分别为，则，又点在直线上，所以，因此y1+y2+y6=240，所以7月份的水费为294.6-240=54.6元【解析】（）根据频率分布直方图求得平均数，根据中位数的两边频率相等，由此求出中位数的值；（）根据回归直线过样本中心点，利用回归方程求出、，再计算对应的7月份水费本题考查了线性回归直线方程的应用问题，也考查了频率分布