重庆卷,高考文科数学试卷.pdf

2010201020102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 重庆卷重庆卷 第 卷 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个备选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 2010 重庆 文 1 x 1 4的展开式中x2的系数为 A 4B 6C 10D 20 答案 B 2 2010 重庆 文 2 在等差数列 an 中 a1 a9 10 则a5的值为 A 5B 6C 8D 10 答案 A 3 2010 重庆 文 3 若向量a a a a 3 m b b b b 2 1 a a a a b b b b 0 则实数m的值为 A 2 3 B 2 3 C 2D 6 答案 D 4 2010 重庆 文 4 函数y x 416 的值域是 A 0 B 0 4 C 0 4 D 0 4 答案 C 5 2010 重庆 文 5 某单位有职工 750 人 其中青年职工 350 人 中年职工 250 人 老年 职工 150 人 为了了解该单位职工的健康情况 用分层抽样的方法从中抽取样本 若样本中 的青年职工为 7 人 则样本容量为 A 7B 15C 25D 35 答案 B 6 2010 重庆 文 6 下列函数中 周期为 且在 4 2 上为减函数的是 A y sin 2x 2 B y cos 2x 2 C y sin x 2 D y cos x 2 答案 A 7 2010 重庆 文 7 设变量x y满足约束条件 022 0 0 yx yx x 则z 3x 2y的最大值为 A 0B 2C 4D 6 答案 C 8 2010 重庆 文 8 若直线y x b与曲线 sin cos2 y x 0 2 有两个不同的公 共点 则实数b的取值范围为 A 2 2 1 B 2 2 2 2 C 2 2 2 2 D 2 2 2 2 答案 D 9 2010 重庆 文 9 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 A 只有 1 个B 恰有 3 个C 恰有 4 个D 有无穷多个 答案 D 10 2010 重庆 文 10 某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日 端午节假期 值 班 每天安排 2 人 每人值班 1 天 若 6 位员工中的甲不值 14 日 乙不值 16 日 则不同的 安排方法共有 A 30 种B 36 种C 42 种D 48 种 答案 C 第 卷 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 11 2010 重庆 文 11 设A x x 1 0 B x x 0 则A B 答案 x 1 x0 则函数y t tt14 2 的最小值为 答案 2 13 2010 重庆 文13 已知过抛物线y2 4x的焦点F的直线交该抛物线于A B两点 AF 2 则 BF 答案 2 14 2010 重庆 文 14 加工某一零件需经过三道工序 设第一 二 三道工序的次品率分 别为 70 1 69 1 68 1 且各道工序互不影响 则加工出来的零件的次品率为 答案 70 3 15 2010 重庆 文 15 如图 图中的实线是由三段圆弧连结而成的一条封闭曲线C 各段弧 所在的圆经过同一点P 点P不在C上 且半径相等 设第i段弧所对的圆心角为 i i 1 2 3 则 cos 3 1 cos 3 32 sin 3 1 sin 3 32 P 答案 2 1 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 2010 重庆 文 16 已知 an 是首项为 19 公差为 2 的等差数列 Sn为 an 的前n项和 1 求通项an及Sn 2 设 bn an 是首项为 1 公比为 3 的等比数列 求数列 bn 的通项公式及其前n项和Tn 解 1 因为 an 是首项为a1 19 公差d 2 的等差数列 所以an 19 2 n 1 2n 21 Sn 19 2 1 nn 2 n2 20n 2 由题意bn an 3n 1 所以bn 3n 1 2n 21 Tn Sn 1 3 3n 1 n2 20n 2 13 n 17 2010 重庆 文 17 在甲 乙等 6 个单位参加的一次 唱读讲传 演出活动中 每个单 位的节目集中安排在一起 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序 序号为 1 2 6 求 1 甲 乙两单位的演出序号均为偶数的概率 2 甲 乙两单位的演出序号不相邻的概率 解 考虑甲 乙两个单位的排列 甲 乙两单位可能排列在 6 个位置中的任两个 有 2 6 A 30 种等可能的结果 1 设A表示 甲 乙的演出序号均为偶数 则A包含的结果有 2 3 A 6 种 故所求概率为P A 30 6 5 1 2 设B表示 甲 乙两单位的演出序号不相邻 则B表示甲 乙两单位序号相邻 B包含的结果有 5 2 10 种 从而P B 1 P B 1 30 10 3 2 18 2010 重庆 文 18 设 ABC的内角A B C的对边长分别为a b c 且 3b2 3c2 3a2 42bc 1 求 sinA的值 2 求 A CBA 2cos1 4 sin 4 sin 2 的值 解 1 由余弦定理得 cosA bc acb 2 222 3 22 又 0 A 故 sinA A 2 cos1 3 1 2 原式 A AA 2cos1 4 sin 4 sin 2 A AA 2 sin2 4 sin 4 sin 2 A AAAA 2 sin2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2 2 sin 2 2 2 A AA 2 22 sin2 cossin 2 7 19 2010重庆 文19 已知函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b R R R R g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 解 1 由题意得f x 3ax2 2x b 因此g x f x f x ax3 3a 1 x2 b 2 x b 因为函数g x 是奇函数 所以g x g x 即对任意实数x 有 a x 3 3a 1 x 2 b 2 x b ax3 3a 1 x2 b 2 x b 从而 3a 1 0 b 0 解得a 3 1 b 0 因此f x 的解析表达式为f x 3 1 x3 x2 2 由 1 知g x 3 1 x3 2x 所以g x x2 2 令g x 0 解得x1 2 x2 2 则当x2时 g x 0 从而g x 在区间 2 2 上是减函 数 当 2 x0 从而g x 在区间 2 2 上是增函数 由前面讨论知 g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值只能在x 1 2 2 时取得 而 g 1 3 5 g 2 3 24 g 2 3 4 因此g x 在区间 1 2 上的最大值为g 2 3 24 最小值为g 2 3 4 20 2010 重庆 文 20 如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 PA 底面ABCD PA AB 2 点E是棱PB的中点 A B C D E P 1 证明 AE 平面PBC 2 若AD 1 求二面角B EC D的平面角的余弦值 解法一 1 证明 如图 1 由PA 底面ABCD 得PA AB A B C D F G E P 图 1 又PA AB 故 PAB为等腰直角三角形 而点E是棱PB的中点 所以AE PB 由题意知BC AB 又AB是PB在面ABCD内的射影 由三垂线定理得BC PB 从而 BC 平面PAB 故BC AE 因AE PB AE BC 所以AE 平面PBC 2 由 1 知BC 平面PAB 又AD BC 得AD 平面PAB 故AD AE 在 Rt PAB中 PA AB 2 AE 2 1 PB 2 1 22 ABPA 1 从而在 Rt DAE中 DE 22 ADAE 2 在 Rt CBE中 CE 22 BCBE 2 又CD 2 所以 CED为等边三角形 取CE的中点F 连接DF 则DF CE 因BE BC 1 且BC BE 则 EBC为等腰直角三角形 连接BF 则BF CE 所以 BFD为所求的二面角的平面角 连接BD 在 BFD中 DF CD sin 3 2 6 BF 2 1 CE 2 2 BD 22 CDBC 3 所以 cos BFD BFDF BDBFDF 2 222 3 3 故二面角B EC D的平面角的余弦值为 3 3 解法二 1 证明 如图 2 以A为坐标原点 射线AB AD AP分别为x轴 y轴 z轴正半 轴 建立空间直角坐标系A xyz A B C D E x y z P 图 2 设D 0 a 0 则B 2 0 0 C 2 a 0 P 0 0 2 E 2 2 0 2 2 于是AE 2 2 0 2 2 BC 0 a 0 PC 2 a 2 则AE BC 0 AE PC 0 所以AE 平面PBC 2 设平面BEC的法向量为n n n n1 由 1 知 AE 平面BEC 故可取n n n n1 EA 2 2 0 2 2 设平面DEC的法向量n n n n2 x2 y2 z2 则n n n n2 DC 0 n n n n2 DE 0 由 AD 1 得D 0 1 0 C 2 1 0 从而DC 2 0 0 DE 2 2 1 2 2 故 0 2 2 2 2 0 222 2 zyx x 所以x2 0 z2 2y2 可取y2 1 则n n n n2 0 1 2 从而 cos n n n n1 n n n n2 21 21 n n n nn n n n n n n nn n n n 3 3 所以二面角B EC D的平面角的余弦值为 3 3 21 2010 重庆 文 21 已知以原点O为中心 F 5 0 为右焦点的双曲线C的离心率 e 2 5 1 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程 2 如图 已知过点M x1 y1 的直线l1 x1x 4y1y 4 与过点N x2 y2 其中x2 x1 的直线 l2 x2x 4y2y 4 的交点E在双曲线C上 直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G H两点 求OG OH的值 x y M N H O E G l l 1 2 解 1 设C的标准方程为 2 2 a x 2 2 b y 1 a b 0 则 由题意c 5 又e a c 2 5 因此a 2 b 22 ac 1 C的标准方程为 4 2 x y2 1 C的渐近线方程为y 2 1 x 即x 2y 0 和x 2y 0 2 解法一 如图 由题意点E xE yE 在直线l1 x1x 4y1y 4 和l2 x2x 4y2y 4 上 因此有 x1xE 4y1yE 4 x2xE 4y2yE 4 x y M N Q H O E G l l 1 2 故点M N均在直线xEx 4yEy 4 上 因此直线MN的方程为xEx 4yEy 4 设G H分别是直线MN与渐近线x 2y 0 及x 2y 0 的交点 由方程组 02 44 yx yyxx EE 及 02 44 yx yyxx EE 解得 2 2 2 4 EE G EE G yx y yx x 2 2 2 4 EE H EE H yx y yx x 故OG OH EE yx2 4 EE yx2 4 EE yx2 2 EE yx2 2 22 4 12 EE yx 因为点E