2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标卷2(数学理).doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）数 学 （理工类）注意事项1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设集合，则 （ ）（A） （B） （C） （D）2.设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 （ ）（A） （B） （C） （D）3.设向量,满足,则 ( )（A） （B） （C） （D）4.钝角三角形的面积是， ，则 ( )（A） （B） （C） （D）5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）（A） （B） （C） （D） 7.执行右图程序框图，如果输入的均为，则输出的 （ ）（A） （B） （C） （D） 8.设曲线在点处的切线方程为，则 （ ）（A） （B） （C） （D） 9.设满足约束条件，则的最大值为（ ）（A） （B） （C） （D）10.设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）11.直三棱柱中，分别是的中点，则与所成的角的余弦值为（ ） （A） （B） （C） （D）12.设函数.若存在的极值点满足，则的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.的展开式中，的系数为，则_.(用数字填写答案)14.函数的最大值为_.15.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是_ _.16.设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是_.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列满足，.（）证明是等比数列，并求的通项公式；（）证明：.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点。 （）证明：/平面;（）设二面角为，求三棱锥的体积.19. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号1234567人均纯收入2.93.33.64.44.85.25.9（）求关于的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.20. （本小题满分12分）设,分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为.（）若直线的斜率为，求的离心率；（）若直线在轴上的截距为，且，求.21. （本小题满分12分）已知函数（）讨论的单调性；（）设，当时，,求的最大值；（）已知，估计的近似值（精确到）.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是外一点，是切线，为切点，割线与相交于点，为的中点，的延长线交于点，证明:（I）；（II）.（23）（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为.（I）求的参数方程；（II）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（I）中你得到的参数方程，确定的坐标.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数.（I）证明：；（II）若，求的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标理科数学试题参考答案一、选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）B （6）C（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、填空题（13） （14） （15） （16）三解答题（17）解:（）由得,所以.又，所以是首项为,公比为的等比数列.，因此的通项公式为.（）由（）知.因为当时，所以.于是.所以.（18）解:（）连结交于点,连结.因为为矩形,所以为的中点.又为的中点,所以. 平面,平面,所以/平面.（）因为平面,为矩形，所以两两垂直.如图，以为坐标原点, 的方向为轴的正方向,为为单位长,建立空间直角坐标系,则，.设，则，.设为平面的法向量，则，即，可取.又为平面的法向量,由题设，即，解得.因为为的中点，所以三棱锥的高为，三棱锥的体积（19）解:（）由所给数据计算得所求回归直线方程为（）由（）知,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加千元.将2015年的年份代号代入（）中的回归直线方程,得故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为千元.（20）解（I）根据及题设知,将代入,解得 (舍去)故的离心率为（II）由题意,原点为的中点, 轴,所以直线与轴的交点是线段的中点,故,即 由得 .设,由题意知,则,即代入的方程,得 将及代入得.解得,故,故（21）解:（），等号仅当时成立.所以在单调递增；（）（i）当时, ,等号仅当时成立,所以在单调递增.而,所以对任意,.（ii）当时,若满足,即时 .而, 因此当时，.综上，的最大值为.（iii）由（ii）知, .当时, ，, 当时，所以的近似值为.（22）（I）连结,由题设知,故因为,所以,从而因此（II）由切割线定理得.因为,所以,.由相交弦定理得.所以.（23）解:（I）的普通方程为可得的参数方程为(为参数, )