数学北师大版八年级下册线段的垂直平分线.docx

15.2 线段的垂直平分线教学目标【知识与技能】1.经历探究、猜想、验证的过程,进一步发展学生的推理论证能力.2.培养学生的逻辑思维能力和数学语言表达能力.3.已知底边及底边上的高,能应用尺规作出线段的垂直平分线.【过程与方法】在探究过程中,增强协作交流,进一步发展学生的推理证明意识和能力.【情感、态度及价值观】1.积极参与数学学习活动,增强学生对数学的好奇心和求知欲.2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.重点难点【重点】写出线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.【难点】线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用上的区别和各自的应用.教学过程一、创设情境,导入新知师:上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使得世界非常美丽.那么大家想一想,什么样的图形是轴对称图形呢?生:如果一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.师:什么是线段的垂直平分线呢?学生思考抢答.生:经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫做线段的中垂线.师:很好!这节课我们继续学习线段的垂直平分线的有关内容(板书课题).二、共同探究,获取新知教师引导学生作图:作已知线段AB的垂直平分线.学生讨论作法.教师总结作法.1.分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点C和D.2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线.学生作图.师:你能说明为什么这样作出的直线CD就是线段AB的垂直平分线吗?学生交流讨论.师:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也可以用这种方法作线段的中点.线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等.怎样证明这个结论呢?学生交流讨论,教师参与.师:这个命题的条件是什么?生:一个点是线段垂直平分线上的点.师:结论呢?生:这个点与线段两端距离相等.师:请同学们写出已知、求证,并证明.教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.已知:如图,直线MN经过线段AB的中点O,且MNAB,P是MN上任意一点.求证:PA=PB.证明:MNAB.(已知)AOP=BOP=90.(垂直定义)在AOP与BOP中,AOPBOP.(SAS)PA=PB.(全等三角形的对应边相等)三、合作交流,深化理解师:你能写出上面定理的逆命题吗?生:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.师:它是真命题吗?学生思考.生:是.师:你能证明这个定理吗?学生思考证明,教师找学生板演,集体纠正.四、乘胜追击,学以致用教师出示课本第123页例题.【例】 已知:如图所示,ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P.求证:点P在BC的垂直平分线上.学生讨论证明方法,并板演,然后集体证正.证明:连接PA、PB、PC.点P在AB、AC的垂直平分线上.PA=PB,PA=PC,PB=PC,点P在BC的垂直平分线上.师:由此你能得出什么结论?生:三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.师:很好!这个结论很有用,请大家记一下.学生熟记.五、迁移巩固,解决问题1.教材该节练习的第1题,学生口述作法,独立完成.作AB的垂直平分线,这条线与直线l的交点即为要确定的停靠站C的位置.2.教材该节练习的第2题,学生小组合作,集体纠正.C、D两点的位置可分为两点在线段AB同侧、一点在AB外一点在AB上、两点在AB异侧三种情况.下面就第一种情况进行证明,其余两种情况下的证明与此类似.(1)证明:C、D是线段AB的垂直平分线上的两点,CA=CB,DA=DB.(线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等)ABC、ABD是等腰三角形.(2)CA=CB,DA=DB,(已证)CD=CD,(公共边)CADCBD.(SSS)CAD=CBD.(全等三角形的对应角相等).六、课堂小结师:今天你学习了什么知识?你有哪些收获?生:线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.师:你能叙述它们的内容吗?生甲:线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等.生乙:与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.师:你还有哪些疑问?学生提问,教师解答.教学反思本节课先复习线段垂直平分线的概念,然后用尺规作图画出垂直平分线,并让学生思考为什么用这种方法画出的就是垂直平分线,可以激发学生学习数学的兴趣.由垂直平分线的作图过程可得到线段垂直平分线的性质定理,随后我带领学生对这个定理进行了严格的证明,让学生自己思考怎么写已知、求证.然后让学生说出这个命题的逆命题,并证明它是真命题,并把这个命题作为定理熟记,锻炼了学生的逻辑推理能力,培养了学生求真务实的精神. 二、学情分析：学生在七年级下册生活中的轴对称一章中，利用折纸实验，在充分实践和思考的基础上得出了线段垂直平分线的概念，并说明自己在操作过程中获得的结论以及所得结论的理由，分析得出了线段垂直平分线的性质定理。此外还初步运用线段垂直平分线性质定理解决简单的实际问题，这些都为本节课的深入学习奠定了基础，但学生并未利用公理及其推导出的定理进行证明，欠缺逻辑推理的严密性。因此，本节课的难点是：线段的垂直平分线判定定理的证明及运用。教材分析线段的垂直平分线的概念前面已学过，本课是进一步理解线段垂直平分线的性质，学会线段的垂直平分线的做法，会做轴对称图形的对称轴。线段的垂直平分线的性质，在计算、证明、作图中有着广泛的应用，可以简化证明,方便计算。在本课的学习中,应注重联系线段的垂直平分线性质,提高综合运用知识的能力。学情分析由于本课的难点是线段的垂直平分线定理和逆定理的联系，因此，需注重对定理和逆定理的题设与结论的分析，使同学们能正确理解这两个定理的关系，能根据命题的条件准确地选择定理、选择方法，从而提高解决问题的能力。教学目标探索掌握线段的垂直平分线性质及它们的应用。正确理解两条性质的关系,准确选择定理与方法,提高解决问题的能力。揭示数学与现实生活中实际问题的联系，从而激发学生学习数学的积极性。教学重点、难点线段的垂直平分线性质，作法及其应用线段的垂直平分线定理、逆定理的关系教学过程：一.温故知新观察投影加深学生对线段垂直平分线的性质1的理解。线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.二新授探究（观察投影）小明将足球从球门踢出时,希望足球在地面滚动中始终与球门的两根立柱底部A,B距离相等.他应该怎样做?你能帮助他出出主意吗?实际问题数学化（观察投影）已知线段AB,有一点P,并且PA=PB.那么,点P是否一定在AB的垂直平分线上?证明(师生共同完成)（观察投影）由学生类比角的平分线的性质得到下列定理的逆命题：线段垂直平分线的性质2（观察投影）和一条线段的两端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。归纳:理解定理与逆定理的关系：（观察投影）(1)线段的垂直平分线上的点,和这条线段两个端点的距离相等.(2)和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.线段的垂直平分线可以看作是和这条线段的两端点的距离相等的所有的点的集合。练习：（观察投影）1.如图,ADBC,BD=DC,C在AE垂直平分线上,AB,AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？2.如图: AB=AC,MB=MC,直线AM是线段BC的垂直平分线吗?探究：（观察投影）：如图PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线。对吗？三线段垂直平分线的作法探究：（观察投影）例如图：点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？作法：（观察投影）（1）分别以点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C,D两点；（2）作直线CDCD即为所求的直线练习:124页画五角星的对称轴,练习11.在南宁某公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？实际问题数学化（观察投影）如图，在直线L上求作一点P，使PA=PB.2A、B、C三个住宅小区不在同一直线上，吴忠市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。实际问题数学化（观察投影）求作一点P，使它和已ABC的三个顶点距离相等.三课堂小结：（观察投影）本课我们学习了线段的垂直平分线的性质与判定,这与以前学习的角平分线的性质与判定类似,我们可以联系起来一起记忆.这两种图形的性质与判定都使我们从用三角形全等来证明线段相等和角相等的繁琐中解脱出来,今后我们的证明和计算都会得到简化和快捷作业布置（观察投影）P126页6，11，教学反思：线段垂直平分线在几何作图、证明、计算中有着十分重要的作用.线段的垂直平分线的性质定理是推证线段相等的重要途经，它的逆定理常常用来推证一条直线是一条线段的的垂线或一点是一条线段的中点.在设计教案时，我结合教材内容，对如何导入新课，引出定理以及证明进行了探索.在导入新课这一环节上我先让学生做一条线段AB的垂直平分线MN，在MN上取一点P，让学生量出PA、PB的长度，引导学生观察、讨论每个人量得的这两个长度之间有什么关系：得到什么结论？学生回答：PA=PB.然后再让学生取一点试一试，这两个长度也相等，由此引导学生猜想到线段垂直平分线的性质定理.在这一过程中让学生主动积极的参与到教学中来，使学生通过作图、观察、量一量再得出结论.从而把知识的形成过程转化为学生亲自参与、发现、探索的过程.在教学时，引导学生分析性质定理的题设与结论，画图写出已知、求证，通过分析由学生得出证明性质定理的方法，这个过程既是探索过程也是调动学生动脑思考的过程，只有学生动脑思考了，才能真正理解线段垂直平分线的性质定理，以及证明方法.在此基础上再提出如果有两点到线段的两端点的距离相等，这样的点应在什么样的直线上？由条件得出这样的点在线段的垂直平分线上，从而引出性质定理的逆定理，