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考研数学基础班概率统计讲义汤家凤考研数学基础班概率统计讲义第一章随机事件与概率一、随机试验与随机事件（一）基本概念1、随机试验具备如下三个条件的试验：（1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。（3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为 E 。2、样本空间随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。3、随机事件样本空间的子集称为随机事件。（二）事件的运算1、事件的积事件 A 与事件 B 同时发生的事件，称为事件 A, B 的积，记为 AB 。2、事件的和事件 A 或者事件 B 发生,称为事件 A, B 的和事件，记为 A + B 。3、事件的差事件 A 发生而事件 B 不发生,称事件 A, B 的差事件，记为 A - B 。（三）事件的关系1、包含若事件 A 发生则事件 B 一定发生，称 A 包含于 B ，记为 A B 。 若 A B 且 B A ，称两事件相等，记 A = B 。2、互斥（不相容）事件若 A 与 B 不能同时发生，即 AB = f ，称事件 A, B 不相容或互斥。3、对立事件若 AB = f 且 A + B = 称事件 A, B 为对立事件。【注解】（1） A = ( A - B) + AB ，且 A - B 与 AB 互斥。（2） A + B = ( A - B) + (B - A) + AB ，且 A - B, B - A, AB 两两互斥。（四）事件运算的性质1、（1） AB A(或B) A + B ；（2） AB = BA, A + B = B + A ；2、（1） A A = A, A A = A ；（2） A (B C) = ( A B) ( A C), A (B C) = ( A B) ( A C) ；3、（1） A = ( A - B) A ；（2） ( A - B) A = A - B ；（3） A + B = ( A - B) AB (B - A) 。4、（1） A + A = ；（2） A A = f 。二、概率的定义与性质（一）概率的定义设随机试验的样本空间为 ，满足如下条件的随机事件的函数 P() 称为所对应事件的 概率：181、对事件 A ，有 P( A) 0 （非负性）。2、 P() = 1（归一性）。3、设 A1 , A2 ,L, An ,L 为不相容的随机事件，则有 P( U An ) = P( An ) （可列可加性）。（二）概率的基本性质1、 P(f) = 0 。n=1n=1nn2、设 A1 , A2 ,L, An 为互不相容的有限个随机事件列，则 P( U Ak ) = P( Ak ) 。k =1k =13、 P( A) = 1- P( A) 。4、（减法公式） P( A - B) = P( A) - P( AB) 。（三）概率基本公式1、加法公式（1） P( A + B) = P( A) + P(B) - P( AB) 。（2） P( A + B + C) = P( A) + P(B) + P(C) - P( AB) - P( AC) - P(BC) + P( ABC) 。2、条件概率公式：设 A, B 是两个事件，且 P( A) 0 ，则 P(B | A) = P( AB) 。P( A)3、乘法公式（1）设 P( A) 0 ，则 P( AB) = P( A)P(B | A) 。（2） P( A1 A2 L An ) = P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )L P( An | A1 A2 L An-1 ) 。三、事件的独立性1、两个事件的独立设 A, B 是两个事件，若 P( AB) = P( A)P(B) ，称事件 A, B 相互独立。P( AB) = P( A)P(B);2、三个事件的独立设 A, B, C 是三个事件，若 P( AC) = P( A)P(C);P(BC) = P(B)P(C);P( ABC) = P( A)P(B)P(C),，称事件 A, B, C 相互独立。【注解】 （1） A, B 相互独立的充分必要条件是 A, B、 A, B 、 A, B 任何一对相互独立。（2）设 P( A) = 0 或 P( A) = 1 ，则 A 与任何事件 B 独立。（3）设 P( A) 0, P(B) 0 ，若 A, B 独立，则 A, B 不互斥；若 A, B 互斥，则 A, B 不独立。四、全概率公式与 Bayes 公式1、完备事件组设事件组 A1 , A2 ,L, An 满足：（1） Ai Aj = f(i, j = 1,2,L, n, i j) ；n（2） U Ai = ，则称事件组 A1 , A2 ,L, An 为一个完备事件组。i=12 、全 概率 公式：设 A1 , A2 ,L, An 是一个完备事 件组，且 P( Ai ) 0(i = 1,2,L, n) ， B 为事件，则 nP(B) = P( Ai )P(B | Ai ) 。i=13、贝叶斯公式：设 A1 , A2 ,L, An 为一个完备事件组，且 P( Ai ) 0(i = 1,2,L, n) ， B 为任一随机事件，P(B) 0 ，则 P( A | B) = P( Ai )P(B | Ai ) 。iP(B)例题选讲一、填空题1、设 P( A) = 0.4, P( A B) = 0.7 ，（1）若 A, B 不相容，则 P(B) =；（2）若 A, B 相互独立，则 P(B) =。2 、设 P( A) = P(B) = P(C) =。1 , P( AB) = P( AC) = P(BC) = 146，则事件 A, B, C 全不发生的概率为 3、设两两相互独立的事件 A, B, C 满足： ABC = f, P( A) = P(B) = P(C) 1 ，且有 P( A + B + C) = 9 ，216则 P( A) =。4、设事件 A, B 满足 P( AB) = P( AB) ，且 P( A) = p ，则 P(B) =。5、设 A, B 为两个相互独立的随机事件，且 A, B 都不发生的概率为 1 ，A 发生 B 不发生的概率与 A 不发生 B9发生的概率相等，则 P( A) =。二、选择题：1、设 A, B 是两个随机事件，且 0 P( A) 0, P(B | A) = P(B | A) ，则( A)P( A | B) = P( A | B) ；(B)P( A | B) P( A | B) ；(C)P( AB) = P( A)P(B) ；(D)P( AB) P( A)P(B) 。 2、设事件 A, B 满足 0 P( A) 1,0 P(B) 1，且 P( A | B) + P( A | B) = 1 ，则( A) 事件 A, B 对立；(B) 事件 A, B 相互独立；(C) 事件 A, B 不相互独立；(D) 事件 A, B 不相容。三、解答题1、一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取 2 次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽取的是 次品的的概率。2、设工厂 A 与工厂 B 的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A 和 B 生产的产品分别占 60%和 40%的一批产品 中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是 A 生产的概率。3、设事件 A 在每次试验中的概率为 p ，三次独立重复试验中事件 A 至少出现一次的概率为 19 ，求事件 A27发生的概率 p 。4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为 50%和 60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。第二章一维随机变量及其分布一、基本概念1、随机变量设 为随机试验E的样本空间，x为定义在上的函数 ，对任意的 w ，总存在唯一 确定的 x (w) 与之对应，称 x 为随机变量，若 x 的可能取值为有限个或可列个，称 x 为离散型随机变量，若 x 在 某可区间上连续取值，称 x 为连续型随机变量。2、分布函数设 x 为一个随机变量，称函数 F (x) = Px x(- x +) 为随机变量 x 的分布函数。【注解 1】分布函数的四个特征为（1） 0 F (x) 1 。（2） F (x)单调不减 。（3） F (x)右连续 。（4） F (-) = 0, F (+) = 1 。【注解 2】分布函数的性质（1） PX a = F (a - 0) 。（2） PX= a = F (a) - F (a - 0) 。（3） Pa x b = F (b) - F (a) 。（4） Pa X b = F (b - 0) - F (a) 。3、离散型随机变量的分布律称 PX = xi = pi (1 i n) 称为随机变量 X 的分布律。【注解】（1） pi 0(1 i n) 。（2） p1 + p2 +L+ pn = 1。4 、 连 续 型 随机变 量的 密度函 数 设 X 的分 布函 数为 F (x) ，若存 在非负 可积 函数 f (x) ，使得 xF (x) = - f (t)dt ，称 f (x) 为 X 的密度函数。+【注解】（1） f (x) 0 。（2） - f (x)dx = 1。二、常见随机变量及其分布（一）离散型n1、二项分布若随机变量 X 的分布律为 PX = k = Ck pk (1 - p)n-k (0 k n) ，称随机变量 X 服从二 项分布，记为 X B(n, p) 。k2、Poisson 分布若随机变量 X 的分布律为 PX = k = le-l (k = 0,1,2,L) ，称随机变量 X 服从泊松分k!布，记为 X p (l) 。3、几何分布若随机变量 X 的分布律为 PX = k = p(1 - p)k -1 (k = 1,2,L) ，称随机变量 X 服从几何分 布，记为 X G( p) 。（二）连续型 1 , a x b1、均匀分布若随机变量 x 的密度函数为 f (x) = b - a0, 其他，称随机变量 x 服从均匀分布，记为0, x 0x U (a, b) ，其分布函数为 F (x) = x - a , a x b 。b - a1, x b-2、正态分布若随机变量 x 的密度函数为 f (x) = 1 e2ps( x-m )22s 2(- x +) ，称随机变量 x 服从正态分布，记为 x N (m,s 2 ) ，特别地，若 m = 0,s = 1，称随机变量服从标准正态分布，记为 x N (0,1) ，其密度x2为j(x) = 1 e- 2 (- x 0) ，称随机变量 x 服从指数分布，记为0, x 00, x m = 1 。2（3）若 x N (m,s 2 ) ，则 x - m N (0,1) 。s（4）若 x N (m,s 2 ) ，则 Pa x b = F (b) - F (a) = F(b - m ) - F( a - m ) 。ss例题选讲一、选择题1、设 X1 , X 2 的密度为 f1 (x), f 2 (x) ，分布函数为 F1 (x), F2 (x) ，下列结论正确的是( A)F1 (x) + F2 (x) 为某随机变量的分布函数；(B) f1 (x) + f2 (x) 为某随机变量的密度函数；(C)F1 (x)F2 (x) 为某随机变量的分布函数；(D) f1 (x) f2 (x) 为某随机变量的密度函数。2、设随机变量 X 的密度函数 f (x) 为偶函数，其分布函数为 F (x) ，则( A)F (x) 为偶函数；(B)F (-a) = 2F (a) -1 ；a1a(C)F (-a) = 1 - 0f (x)dx ；(D)F (-a) =-20f (x)dx 。3、设 X N (m,42 ),Y N (m,52 ) ，令 p = PX m - 4, q = PY m + 5，则( A) 对任意实数 m 都有 p = q ；(B) 对任意实数 m 都有 p q 。4、设 X N (m,s 2 ) ，则随s 的增大，概率 P| X - m | s ( A) 单调增大；(B) 单调减少； (C) 保持不变；(D) 增减不确定。二、填空题1、 设X N (m,s 2 ),方程y 2 + 4 y + X = 0无实根的概率为1 ,则m =。22、 设X B(2, p),Y B(3, p),若PX 1 = 5 ,则PY 1 =。9三、解答题1、有 3 个盒子，第 1 个盒子有 4 个红球 1 个黑球，第 2 个盒子有 3 个红球 2 个黑球，第 3 个盒子有 2 个红 球 3 个黑球，若任取一个盒子，从中任取 3 个求，以 X 表示红球个数。（1）写处 X 的分布律；（2）求红球个数不少于 2 个的概率。0, x -12、设离散型随机变量 X 的分布函数为 F (x) = 0.3,-1 x 1，求 X 的分布律。0.7,1 x 21, x 2Aex , x 03、设 X 的分布函数为 F (x) = B,0 x 1。34、设 X U (0,2) ，求随机变量 Y = X 2 的概率密度。5、设 X N (0,1) ，且 Y = X 2 ，求随机变量 Y 的概率密度。第三章二维随机变量及其分布一、基本概念1、联合分布函数设 ( X ,Y ) 为二维随机变量，称 F (x, y) = PX x,Y y为 ( X ,Y ) 的联合分布函数。2、二维离散型随机变量的联合分布律设 ( X ,Y ) 为二维离散型随机变量，称PX = xi ,Y = y j = pij (i = 1,2,L, m, j = 1,2,L, n)为 ( X ,Y ) 的联合分布律，称nmPX = xi = pij = pi (i = 1,2,L, m), PY = y j = pij = p j ( j = 1,2,L, n)j =1i=1分别为随机变量 X ,Y 的边际分布律。3 、连续型随机变量的联合密度函数 设 ( X ,Y ) 为二维连续型随机变量，若存在 f (x, y) 0 ，使得 xduF (x, y) = PX x,Y y = -y- f (u, v)dv ，称 f (x, y) 为随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度函数，称+f X (x) = - f (x, y)dy, fY ( y) = - f (x, y)dx分别为随机变量 X ,Y 的边际密度函数。【注解】联合分布函数的特征有（1） 0 F (x, y) 1 。 （2） F (x, y) 关于 x, y 为单调不减函数。（3） F (x, y) 关于 x 或者 y 都是右连续。（4） F (-,-) = 0, F (-,+) = 0, F (+,-) = 0, F (+,+) = 1 。二、常见的二维连续型随机变量1、均匀分布设二维连续型随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度为f (x, y) 1 ,(x, y) D= A，其中 A 为区域 D 的面积，称 ( X ,Y ) 在区域 D 上服从均匀分布。0, (x, y) D2、正态分布设二维连续型随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度为1f (x, y) =1exp-1( x - m1 )2 - 2r (x - m1 )( y - m2 ) + ( y - m2 )2 则称 ( X ,Y ) 服2ps1s 21 - r 22(1 - r 2 )ss1s 2s 2从二维正态分布，记为 ( X ,Y ) N (m , m,s 2 ,s 2 , r ) ，其中s 0,s 0 。121212【注解】若 ( X ,Y ) N (m , m,s 2 ,s 2 , r ) ，则 X N (m ,s 2 ),Y N (m,s 2 ) 。12121122二、随机变量的条件分布与随机变量的独立性（一）二维离散型随机变量的条件分布1、设 PY = y j 0 ，在事件Y = y j 发生的情况下，事件X = xi 发生的条件概率为PX = xi | Y = y j =pij p j(i = 1,2,L) ；2、设 PX = xi 0 ，在事件X = xi 发生的情况下，事件Y = y j 发生的条件概率为PY = y j | X = xi =（二）二维连续型随机变量的条件密度pij pi( j = 1,2,L) 。f (x, y)1、设 fY ( y) 0 ，则在“ Y = y ”的条件下， X 的条件概率密度为 f X |Y (x | y) =。fY ( y)f (x, y)2、设 f X (x) 0 ，则在“ X = x ”的条件下， Y 的条件概率密度为 fY |X ( y | x) =。f X (x)（三）随机变量的独立性1、定义设 ( X ,Y ) 为二维随机变量，若对任意的 x, y 都有 F (x, y) = FX (x)FY ( y) ， 称随机变量 X ,Y 相互独立。2、独立的充分必要条件（1）离散型随机变量设 ( X ,Y ) 为二维离散型随机变量，则 X ,Y 相互独立的充要条件是pij = pi. p. j (i = 1,2,L; j = 1,2,L 。（2）连续型随机变量设 ( X ,Y ) 为二维连续型随机变量，则 X ,Y 相互独立的充要条件是f (x, y) =f X (x) fY ( y) （可以除去有限个点）。【注解】若 ( X ,Y ) 为二维连续型随机变量，求 ( X ,Y ) 的分布或数字特征时常需要使用联合密度函数f (x, y) ，一般有如下三种情况：（1）题中直接给出 f (x, y) （若其中含参数，用归一性求出）。（2） X ,Y 服从的分布已知且 X ,Y 独立，则 f (x, y) =f X (x) fY ( y) 。（3） X 的边缘分布已知，且 Y 的条件密度已知，则 f (x, y) =f X (x) fY | X ( y | x) 。三、随机变量函数的分布已知 ( X ,Y ) 的分布， Z = j( X ,Y ) ，关于 Z 的分布有以下几种情形：情形一：设 ( X ,Y ) 为离散型随机变量， Z = j( X ,Y ) ，则 Z 为离散型随机变量，求出其可能取值及对应的 概率即可。情形二： ( X ,Y ) 为连续型随机变量， Z = j( X ,Y ) ，其中 j 为连续函数，则 Z 为连续型随机变量，可用分 布函数定义求 Z 的分布。情形三： X ,Y 中一个为连续型随机变量，一个为离散型随机变量，求 Z = j( X ,Y ) 的分布例题选讲一、选择题1、设相互独立的随机变量 X ,Y 分别服从 N (0,1) 及 N (1,1) ，则( A)PX + Y 0 = 1 ；2(B)PX + Y 1 = 1 ；2(C)PX - Y 0 = 1 ；2(D)PX - Y 1 = 1 。2二、填空题1 、 设X ,Y为 两 个 随 机 变 量 ， 且PX 0,Y 0 = 3 , PX 0 = PY 0 = 4 ， 则77Pmax(X ,Y ) 0 =。三、解答题1、袋中有 10 个大小相同的球，其中 6 个红球 4 个白球，随机抽取 2 个，每次抽取 1 个，定义如下两个随机1, 第1次抽到红球1, 第2次抽到红球变量： X = ,Y = , 第1次抽到白球，, 第2次抽到白球00就下列两种情况，求 ( X ,Y ) 的联合分布律：（1）每次抽取后放回；（2）每次抽取后不放回。Ae-( x+2 y ) , x 0, y 02、设 ( X ,Y ) 的联合密度为 f (x, y) = ，求0, 其他（1）常数 A ；（2） ( X ,Y ) 的分布函数；（3） Z = X + 2Y 的分布函数；（4） PX + 2Y 1及PX DX =。3、设 X ,Y 独立同分布，且都服从 N (0, 1 ) ，则 E | X - Y |=, D | X - Y |=。24、设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中概率为 0.4 ，则 EX 2 =。125、设随机变量 X 的密度为 f (x) =e- x +2 x-1 ，则 EX =p, DX =。6、设随机变量 X 服从参数为 l 的泊松分布，且 E( X -1)( X - 2) = 1，则 l =。二、解答题0,Y k1、设 Y E(1) ， Xk = 1,Y k(k = 1,2) ，（1）求 ( X1 , X 2 ) 的联合分布律；（2） E( X1 + X 2 ) 。-101 01 2、设 X与Y的概率分布为X 111 ,Y 11 ，且 PXY = 0 = 1 ， 424 22 （1）求 X ,Y 的联合分布律；（2）问 X ,Y 是否相互独立？为什么？-1,U -1-1,U 13、设U U-2,2, X = 1,U -1,Y = ，求1,U 1（1） X ,Y 的联合分布律；（2） D( X + Y ) 。4、试验成功的概率为3 ，失败的概率为 1 ，独立重复试验直到成功 2 次为止，以 X 表示所需要进行的试44验次数，求 X 的概率分布与数学期望。1 cos x ,0 x pp5、设 X 的密度函数为 f (x) = 22，对 X 独立重复观察 4 次，Y 表示观察值大于的次数，0, 其他 3求 EY 2 。第五章大数定律与中心极限定理一、车比雪夫不等式设随机变量 X 的方差存在，则对任意的 e 0 ，有P| X - EX | e DX ，或者 P| X - EX | 0 ，有 lim P|X inn1- EXi| 0 ，1 n有 lim P|X in- m | 0 ，有1 nlim P|X in- p | 0 ，有1 nlim P|X in- m | e = 1 。三、中心极限定理n i=11 、（ Levy-Lindberg 中心极限定理）设随机变量序列 X1 , X 2 ,L, Xn ,L独立同分布，且 EXi= m, DXi= s 2 (i = 1,2,L) ，则对任意实数 x ，有n X i - nmlim P i=1 x =1t 2x -e 2 dt 。nns2p -2、（拉普拉斯中心极限定理）设 X n B(n, p)(0 p 1)(n = 1,2,L) ，则对任意实数 x ，有lim PnX n - np np(1- p) x = 1 2pt 2x -e 2 dt 。-例题选讲1、设随机变量 X E(5) ，用车比雪夫不等式估计 P | X - 5 | 3 。2、设 X N (0,42 ),Y (2,52 ) ，且 X ,Y 相互独立，用车比雪夫不等式估计 P| X + Y - 2 | 4 。第六章数理统计基本概念一、基本概念1、总体被研究对象某指标的所有可能结果称为总体。2、简单样本及样本观察值设总体为 X ，则来自总体 X 的 n 个相互独立且与总体 X 同分布的随机变量X1 , X 2 ,L, X n 称为简单随机样本，样本 X1 , X 2 ,L, X n 的观察值 x1 , x2 ,L, xn 称为样本观察值。3、统计量样本的无参函数称为统计量。二、样本常用数字特征设 X1 , X 2 ,L, X n 为来自总体 X 的简单样本，则1 n1、样本均值 X = X i 。n i=12、样本方差 S 2n 11n -2=( X i - X ) 。i=11 nk3、样本的 k 阶原点矩 Ak = X i , k = 1,2,L 。n i=11 n24、样本的 k 阶中心矩 Bk =( X i - X )n i=1, k = 1,2,L 。三、常用的抽样分布1、 c 2 分布（ 1 ）定义 设随机变量 X1 , X 2 ,L, X n 相互独立且都服从标准正态分布，则称随机变量 2222222c = X1+ X 2 +L+ X n 为服从自由度为 n 的 c 分布，记为 c c (n) 。（2）性质：1）设 X c 2 (n) ，则 EX = n, DX = 2n ；2）设 X c 2 (m),Y c 2 (n) ，且 X ,Y 相互独立，则 X + Y c 2 (m + n) 。2、 t 分布设随机变量 X N (0,1),Y c 2 (n) ，且 X ,Y 相互独立，则称随机变量 t = X 为服从自由度为 n 的 t 分Y / n布，记为 t t(n) 。3、 F 分布（1）定义设随机变量 X c 2 (m),Y c 2 (n) ，且 X ,Y 相互独立，则称随机变量 F = X / m 为服从自由Y / n度为 m, n 的 F 分布，记为 F F (m, n) 。（2）性质设 F F (m, n) ，则 1F F (n, m) 。四、一个正态总体下几个常用的统计分布设总体 X N (m,s 2 ) ， X1 , X2 ,L, X n是来自正态总体 X 的简单样本，则s 2X - mX - m1、 X N (m,), N (0,1) 。2、 t(n -1) 。ns /ns /nn2n 1 3、( X - X )2 = (n -1)S c 2 (n -1) 。4、 1 ( X - m)2 c 2 (n) 。sss2 i2i=12 ii=15、 ES 2 = s 2 。6、 X 与 S 2 独立。例题选讲1、设 X1 , X 2 ,L, X n 是来自正态总体 N (m,s2 ) 的简单样本，记1n 1 n 2S2221 =( X i - X )n -1 i=1, S2=( X i - X ) ，n i=11n1 nS2422 =3n -( X i - m)1i=1, S 2=( X i - m) ，n i=1则服从自由度为 n -1的 t 分布的统计量是( A) X - m ；(B) X - m ；(C) X - m ；(D) X - m 。2S1 /n -1S2 /n -1S3 /nS4 /n22、设 X1 , X 2 , X 3 , X 4 是来自正态总体 X N (0,4) 的简单样本，且U = a( X1 - 2 X 2 )+ b(3X 3 - 4 X 4 ) 服从 c 2 分布，求 a,b 及自由度。3、设总体 X ,Y 独立同分布且都服从正态分布 N (0,9) ， X1 ,L, X 9 与 Y1 ,L,Y9 是分别来自总体 X ,Y 的简单Y + Y +L+ Y222129样本，求统计量U =X1 + X 2 +L+ X 9所服从的分布。1 61634、设 X1 ,