(终3)刍议中考数学试卷中的“课题学习”.doc

刍议中考数学试卷中的“课题学习”南京市教学研究室 朱建明“课题学习”是全日制义务教育数学课程标准在“实践与综合应用”课程领域设置的全新的课程内容，主要帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展学生解决问题的能力，加深对“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系“课题学习”在中考数学试卷中挂牌始于2004年，至2007年，全国各地的数学中考试卷中已出现了许多立意深、情景新和思维价值高的“课题学习”，下面以2007年全国各地的数学中考试题为例，谈谈中考数学试卷中的“课题学习”的新特点一、突出综合中考数学试卷中的“课题学习”的综合性主要体现在两个方面，其一是知识内容的综合性，例如把“数与代数”与“空间与图形”的内容进行综合；其二是学生在解决问题的过程中需要综合运用数学知识、经验和方法进行求解例1（2007年湖北省孝感市中考试题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）图2图1（图1） （图2） 请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，BMP是什么三角形？请证明你的结论（2）在图2中，若ABa，BCb，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系设直线BM为ykx，当MBC60时，求k的值此时，将ABM沿BM折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？图3评注：本题将“数与代数”与“空间与图形”的知识内容进行了综合，不仅涉及三角形、四边形知识，还涉及函数、方程和不等式的知识，综合性强，思维价值高，需要学生在理解折叠纸片的基础上，综合运用数学知识分析和解决问题，本题可以较好地考查学生探索研究新问题的能力二、呈现过程中考数学试卷中的“课题学习”能呈现整个“具体而微”的学习过程，有的问题的解决能使学生经历“问题情境建立模型求解解释与应用”的全过程，有的问题能体现研究问题的一般思维过程，如渗透猜想、合情推理到逻辑推理的过程虽然中考考场不可能复制“课题学习”的实践过程，但试题的设计可以呈现学生的学习过程，表现为学生独立地利用数学知识和其他相关知识分析问题和解决问题的过程，这个过程也是学生自主探索研究的过程，它是“课题学习”探究过程的微观呈现ABFCDEP图4例2（2007年江苏省淮安市中考试题）某班研究性学习小组，到校外进行数学探究活动，发现一个如图所示的支架PAB，于是他们利用手中已有的工具进行一系列操作，并得到了相关数据，从而可求得支架顶端P到地面的距离实验工具：3米长的卷尺；铅垂线(一端系着圆锥型铁块的细线)实验步骤：第一步，量得支架底部A、B两点之间的距离；第二步，在AP上取一点C，挂上铅垂线CD，点D恰好落在直线AB上，量得CD和AD的长；第三步，在BP上取一点E，挂上铅垂线EF，点F恰好落在直线AB上，量得EF和BF的长实验数据：线段ABCDADEFBF长度(米)2.510.81.20.6问：（1）根据以上实验数据，请你计算支架顶端P到地面的距离(精确到0.1米)；（2）假定你是该小组成员，请你用一句话谈谈本次实践活动的感受评注：测量支架顶端到地面的距离与测量树的高度或旗杆的高度本质上是一样的，它们是数学中经典的“课题学习”，能使学生经历“问题情境建立模型求解解释与应用”的全过程，整个测量过程虽然不可能复制测量的实践过程，但可以呈现学生“具体而微”的研究过程，这个过程需要学生从问题出发，理解操作步骤、自我寻找实施解决问题的方法、并不断进行调整，进而求出问题的答案，本题突出了对学生解决问题过程考查以及解决问题的方法和经验的考查例3（2007年湖北省荆门市中考试题）1问题背景：某校九年级(1)班课题学习小组对家庭煤气的使用量做了研究，其实验过程和对数据的处理如下仔细观察现在家庭使用的电子打火煤气灶，发现当关着煤气的时候，煤气旋钮（以下简称旋钮)的位置为竖起方向，把这个位置定为0，煤气开到最大时，位置为90（以0位置作起始边，旋钮和起始边的夹角）在090之间平均分成五等分，代表不同的煤气流量，它们分别是18，36，54，72，90，见图5图5 不同旋钮位置示意图位置烧开一壶水所需流量时间(分)煤气量(m3)m3/分18190.130.006836160.120.007654130.140.010772120.150.012490100.170.0172在这些位置上分别以烧开一壶水(3.75升)为标准，记录所需的时间和所用的煤气量并根据旋钮位置以及烧开一壶水所需时间(用t表示)、所用煤气量(用v表示)，计算出不同旋钮位置所代表的煤气流量(用L表示)，L=v/t，数据见右表这样为可以研究煤气流量和烧开一壶水所需时间及用气量之间的关系了2任务要求：（1）作图：将下面图6中的直方图补充完整；在图7中作出流量与时间的折线图图7 煤气流量和烧开一壶水所需时间关系图6 煤气流量和烧开一壶水所需煤气量关系图（2）填空：从图2可以看出，烧开一壶水所耗用的最少煤气量为_m2，此时旋钮位置在_从图3可以看出，不考虑煤气用量，烧开一壶水所用的最短时间为_分钟，此时旋钮位置在_（3）通过实验，请你对上述结果(用煤气烧水最省时和最省气)作一个简要的说明评注：本题的设计充分展现了研究实际问题的一般过程，这个过程也正是学生在试题的导引下完整地经历下列研究过程：问题的提出、设计实验过程、观察收集数据、处理数据、获得有价值的结论，这也是学生自主研究过程，它是“课题学习”过程的微观呈现另外本题还关注差异性，考查层次分明，能使不同水平的学生展示不同的探究水平和能力三、渗透方法渗透方法是中考数学试卷中的“课题学习”的一个重要特征，这里的方法不仅有研究问题的一般方法，例如从特殊到一般，从猜想、合情推理到逻辑推理验证等，还有解决问题的常用方法，例如在解决问题过程中的模型选择，归纳、类比的方法等例4（2007年江苏省连云港市中考试题）如图8，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线（1）研究小组猜想：在ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图9），则直线CD是ABC的黄金分割线你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DFCE，交AC于点F，连接EF（如图10），则直线EF也是ABC的黄金分割线请你说明理由A图8ADB图9CADB图10CFEFCBDEA图11（4）如图11，点E是 ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EFAD，交DC于点F，显然直线EF是 ABCD的黄金分割线请你画一条 ABCD的黄金分割线，使它不经过 ABCD各边黄金分割点评注：本题以新定义“黄金分割线”出发，渗透了研究问题一般方法：从猜想、合情推理到逻辑推理验证，同时从简单或特殊的情形入手，并将从简单或特殊情形获得的结论或研究方法迁移到较复杂的情形本题中，先要求学生研究三角形的黄金分割线，然后用类比的方法研究平行四边形的黄金分割线，充分体现了“课题学习”的教育价值F图12ABCEDHG（2ba）例5（2007年河北省中考试题）在图12中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE2b，且边AD和AE在同一直线上操作示例：当2ba时，如图13，在BA上选取点G，使BGb，连结FG和CG，裁掉FAG和CGB并分别拼接到FEH和CHD的位置构成四边形FGCH思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90到FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故CHDCGB，从而又可将CGB绕点C顺时针旋转90到CHD的位置这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图14-1），过点F作FMAE于点M（图略），利用SAS公理可判断HFMCHD，易得FH=HC=GC=FG，FHC=90进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形实践探究：（1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a，b的式子表示）图14FABCDE图15FABCDE图13FABC(E)D（2ba）（a2b2a）（ba）（2）类比图12的剪拼方法，请你就图13图15的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图F图16ABCED（ba）联想拓展：小明通过探究后发现：当ba时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移当ba时，如图16的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由评注：本题也揭示了研究问题的重要方法：操作、思考发现、实践探究、联想拓展，而且本题也采用了类比的研究方法，将图形割补的方法，使用在在某种属性上相同或相似的其他图形上，凸现了这种研究方法的重要价值四、体现开放中考数学试卷中的“课题学习”能使学生产生丰富多彩的研究体验和个性化的创造性的表现，是考查学生创新意识的重要载体，所以活动过程或者结果常常具有开放性例6（2007年广东省梅州市中考试题）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你能过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性评注：本题是方案设计型课题学习在设计一个运送考生的方案时，要有一定的预见性，但如何设计方案、如何通过计算说明和验证方案的可行性都因人而异，具有较大的开放性，也体现了“课题学习”的个性化特征本题中典型的方案有：可以先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场；也可以8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点的处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场客观地看，“课题学习”的教学现实不容乐观，或重视不够，或落实不够，或操作失范，等等在这种情况下，在中考数学试卷中设