2019-2020学年西宁市第十四中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年青海省西宁市第十四中学高二上学期期中数学（理）试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】， ,=2“”是“直线与圆相切”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】直接利用圆心到直线的距离等于半径求得充要条件即可判断【详解】当直线与圆相切时，则，故选：C.【点睛】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查充分必要条件的判断，属于基础题型3设是不同的直线，是两个不同的平面. 下列命题中正确的是（ ）A若，则B若，则C，则D若，则【答案】A【解析】分别由线线平行、垂直，线面平行、垂直的判断定理和性质可求解；【详解】解：由线线平行，线面平行，面面垂直知正确；：若，则或或、是异面直线，故错误；，则或，或，故错误；：若，则，或、是异面直线，故错误；故选【点睛】考查线线平行、垂直，线面平行、垂直的判断定理和性质，属于基础题4中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中表示正整数除以正整数后的余数为，例如 表示11除以3后的余数是2执行该程序框图，则输出的等于（ ）A7B8C9D10【答案】B【解析】根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可【详解】第一次，7除以3的余数是1，不满足条件，除以3的余数是2满足条件，8除以5的余数是3满足条件，输出故选B【点睛】本题考查程序框图的相关内容，根据框图模拟运算即可得出结果，比较基础5在等差数列 中， 表示 的前 项和，若 ，则 的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意可知，利用等差数列的性质，得，在利用等差数列的前n项和公式，即可求解，得到答案。【详解】由题意可知，数列为等差数列，所以，由等差数列的求和公式可得 ，故选C。【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，及前项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性质和等差数列的前项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。6甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为（ ）ABCD【答案】A【解析】先列表得到所有的基本事件的个数及平局对应的基本事件的个数，根据公式可得所求的概率【详解】甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：甲乙锤剪子包袱锤(锤，锤)(锤，剪子)(锤，包袱)剪子(剪子，锤)(剪刀，剪子)(剪子，包袱)包袱(包袱，锤)(包袱，剪子)(包袱，包袱)因为由表格可知，共有9种等可能情况其中平局的有3种：(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)设为“甲和乙平局”，则，故选A【点睛】古典概型的概率计算，如果基本事件的总数计算较为繁琐时，那么应该用枚举法或列表法得到所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积.故选:D.【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.8函数y的图象大致为()ABCD【答案】B【解析】先分析函数的定义域，可排除A,再根据函数的奇偶性为奇函数排除C，利用特值法区分答案B,D.【详解】函数y的定义域为x|x0且x1，A错；因为f(x)f(x)，f(x)是奇函数，排除C项；当x2时，y0，排除D项，只有B项适合【点睛】本题主要考查了函数的定义域，奇偶性，特值法，利用上述性质区分函数图象，属于中档题.9已知,则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据求得，即可求解.【详解】由题：，解得， .故选：B【点睛】此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.10已知，分别为椭圆：的左顶点、下顶点，过点且斜率为1的直线与的另一个公共点为，则（）ABC4D【答案】D【解析】通过题意，容易求出直线的方程，将直线和椭圆联立，求出交点，通过向量数量积的坐标运算即可求出【详解】易知，的方程为，联立，得，解得，则的坐标为，则，.故选D【点睛】本题时椭圆和向量结合的问题，根据直线和椭圆的位置关系求出需要的向量的坐标，是基础题11已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，设异面直线与所成角为，则.异面直线与所成角的余弦值为.故选C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可.【详解】椭圆：（）的左，右焦点分别为，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，可得，可得 所以 解得故选：A【点睛】本题考查利用椭圆的定义以及性质求离心率，属于中档题.二、填空题13若，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】-2【解析】首先作出可行域，然后作出初始目标函数，然后判断目标函数的最小值.【详解】如图，作出可行域，由图象可知，当目标函数过点C时，函数取值最小值，.故答案为：-2【点睛】本题考查线性规划，意在考查基础知识和计算能力，属于基础题型.14三棱锥的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直，球O的体积为_【答案】【解析】先证明平面PAB，并计算出的外接圆直径AB，然后利用公式计算出球O的半径R，最后利用球体体积公式可得出答案【详解】解：如下图所示，、PB、PC两两垂直，且，平面PAB，所以，的外接圆直径为斜边，所以，球O的直径为，则，因此，球O的体积为故答案为：【点睛】本题考查球体体积的计算，同时也考查了直线与平面垂直的判定定理，考查推理能力与计算能力，属于中等题15如图，在中，是边上一点，则【答案】【解析】【详解】由图及题意得，=()()=+=.16给出下列说法函数与函数互为反函数；若集合中只有一个元素，则；若，则；函数的单调减区间是；其中所有正确的序号是_ .【答案】.【解析】根据反函数定义可判断;根据集合的概念与性质可判断;根据函数解析式的求法,可判断;根据对数复合函数单调性的求法,可判断.【详解】对于,由反函数定义可知,函数与函数互为反函数,所以正确.对于,集合中只有一个元素,当时,只有一个元素;当时,满足,解得,所以当或时集合A只有一个元素,所以错误.对于,若,则 ,没有给出定义域,所以错误.对于,定义域为,由复合函数单调性判断可知在上单调递减所以正确.综上可知,正确的为故答案为:【点睛】本题考查了反函数的定义,函数解析式求法,复合函数单调性的判断,元素个数的判断,综合性较强,属于基础题.三、解答题17已知数列为等差数列，.（1） 求数列的通项公式;（2）求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法及等比数列前项和公式能求出数列的前n项和.试题解析： (1)设数列的公差为，依题意得方程组解得.所以的通项公式为. （2）由（1）可得， 得所以. 【 方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18在中，内角，的对边分别为，.若，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，等式右边可化为余弦定理形式，根据求角即可（2）由余弦定理结合均值不等式可求出的最大值，即可求出三角面积的最大值.【详解】（1）由得：，即：.，又，.（2）由，当且仅当等号成立.得：.【点睛】本题主要考查了余弦定理，均值不等式，三角形面积公式，属于中档题.19如图，四棱锥PABC中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.（）证明MN平面PAB;（）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【答案】（）详见解析；（）【解析】试题分析：（）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判定定理可证；（）以为坐标原点，的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系，然后通过求直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值来求解与平面所成角的正弦值试题解析：（）由已知得.取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（）取的中点，连结.由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，.设为平面的一个法向量，则即可取.于是.【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理20已知抛物线C；过点求抛物线C的方程；过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，求证：为定值【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）利用待定系数法，可求抛物线的标准方程；（2）设过点P（3，1）的直线MN的方程为，代入y2=x利用韦达定理，结合斜率公式，化简，即可求k1k2的值【详解】（1）由题意得，所以抛物线方程为 （2）设，直线MN的方程为，代入抛物线方程得 所以， 所以,所以，是定值【点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21如图，四棱锥中，底面为菱形，为等边三角形（1）求证：（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）0【解析】（1）取AD中点E，连接，由已知可得，又即可证平面，从而可得；（2）建立相应的空间直角坐标系，应用面的法向量垂直得到其余弦值为0.【详解】（1）因为底面ABCD为菱形，且，所以为等边三角形如下图，作，则E为AD的中点又因为为等边三角形，所以因为PE和BE为平面PBE内的两条相交的直线，所以直线平面PBE，又因为PB为面PBE内的直线，所以（2）为等边三角形，边长为2，所以，因为，所以面，如图建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，即，即，取，则，设平面的法向量为，即，即，取，则，因为， 设二面角的平面角为，则有.【点睛】该题考查的是有关立体几何的有关问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，线面垂直的性质，以及应用空间向量求二面角的余弦值的问题，在解题的过程中，需要注意空间直角坐标系建立的条件.22已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的方程；（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.【答案】(1) .(2).【解析】试题分析：（I）双曲线的焦点为，离心率为，对于椭圆来说，由此求得和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆