2020届化州市高三第二次模拟考试数学（文）试题（解析版）

2020届广东省化州市高三第二次模拟考试数学（文）试题一、单选题1若集合A=x|0x2,B=x|x21,则AB=（ ）Ax|0x1Bx|x0或x1Cx|1x2Dx|x0或x1【答案】D【解析】化简集合B,根据并集运算即可.【详解】或，故选：D【点睛】本题主要考查了集合并集的运算，属于容易题.2复数满足，则复数的虚部为（ ）A-1B1CD【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案【详解】=，z=1i，则复数z的虚部为1故选A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3双曲线x21的渐近线方程是（ ）Ay=xBy=xCy=Dy=2x【答案】D【解析】根据双曲线渐近线定义即可求解.【详解】双曲线的方程为， 双曲线的渐近线方程为，故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.4已知数列an满足2an=an1+an+1(n2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4=（ ）A6B7C8D9【答案】B【解析】由条件可知数列为等差数列，由等差数列的性质可求结果.【详解】,是等差数列，由等差数列性质可得，故选：B【点睛】本题主要考查了等差中项，等差数列的性质，属于中档题.5已知向量， ，若，则（ ）ABC2D4【答案】C【解析】由， ，可得：，即所以故选C6“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 由，可得或，即或，所以是成立的必要不充分条件，故选B7描金又称泥金画漆,是一种传统工艺美术技艺.起源于战国时期,在漆器表面,用金色描绘花纹的装饰方法,常以黑漆作底,也有少数以朱漆为底.描金工作分为两道工序,第一道工序是上漆,第二道工序是描绘花纹.现甲乙两位工匠要完成A,B,C三件原料的描金工作,每件原料先由甲上漆,再由乙描绘花纹.每道工序所需的时间(单位:小时)如下:则完成这三件原料的描金工作最少需要（ ）A43小时B46小时C47小时D49小时【答案】B【解析】甲按A,C,B的顺序工作,乙就不会中途没事情做,所需时间最短.【详解】由题意，甲按A,C,B的顺序工作，所需时间最短，最短时间为：小时，故选：B【点睛】本题主要考查了推理与分析问题的能力，属于容易题.8设直线与圆相交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则实数的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意知，圆心坐标为，半径为2，则的边长为2，所以的高为，即圆心到直线的距离为，所以，解得，故选B.9函数f（x）a（a1）的部分图象大致是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意，分析可得为偶函数，据此排除AB，设，利用换元法分析可得，据此排除D，即可得答案.【详解】解：根据题意，f（x）a，有，即函数为偶函数，据此排除AB，设，有，又由，则有，当时，取得最大值，排除D，故选：C.【点睛】本题考查函数的图象分析，涉及指数函数的性质，属于基础题.10已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，则下列函数中符合上述条件的是（ ）ABCD【答案】C【解析】 由题意，函数的图象关于轴对称，但在单调递减，在单调递增，不满足题意；函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，不满足题意；函数，即函数的值域为，不满足题意，故选C11已知三棱锥ABCD内接于球O,且AD=BC=3,AC=BD=4,AB=CD,则三棱锥ABCD的外接球的表面积是（ ）A38B9C76D19【答案】D【解析】由题意知三棱锥对棱相等，在长方体中可构造三棱锥，转化为长方体内接球问题，求出长方体对角线即可得球的直径.【详解】由三棱锥对棱相等，在长方体中可构造三棱锥，如图：设长方体的长宽高分别为，外接球的半径为，则，由已知得，故选：D【点睛】本题主要考查了球的内接长方体，球的表面积，转化思想，属于中档题.12已知函数，若，则的最小值是（ ）ABCD【答案】B【解析】 由题意，即，即，设，则，若时，函数单调递增，无最大值，不适合题意；当时，令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 所以，即，即 令，则，所以，设，则，若，则，此时单调递减，无最大值；所以，由，得，此时，解得，所以的小值为，故选B点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题二、填空题13若关于的不等式 (的解集为，则_.【答案】 【解析】关于的不等式的解集为，故答案为.14若平面向量(cos,sin),(1,1),且,则sin2的值是_.【答案】1【解析】根据向量垂直可得，平方即可求出.【详解】因为，所以，即，两边平方可得：，即，故答案为：1【点睛】本题主要考查了向量垂直，数量积的运算，三角恒等变换，属于中档题.15若整数满足不等式组，则的最小值为_.【答案】【解析】画出可行域，由此判断出可行域内的点和原点连线的斜率的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，依题意只取坐标为整数的点.由图可知，在点处，目标函数取得最小值为.【点睛】本小题主要考查简单的线性规划问题，要注意不等式等号是否能取得，还要注意为整数，属于基础题.16三角形中，且，则三角形面积的最大值为_【答案】【解析】设，由，得C点轨迹为以为圆心，以为半径的圆，可求三角形高为时，最大，即可得解.【详解】设，则由得，化简得，所以点轨迹为以圆心，以为半径的圆，所以最大值为，所以三角形面积的最大值为.【点睛】该题考查的是有关三角形的面积的最值问题，涉及到的知识点有动点的轨迹方程的求解，在解题的过程中，注意对题意进行正确的分析，得出在什么情况下取得最值是正确解题的关键.三、解答题17在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=c,2sinBsinA.()求cosB的值;()若a=2,求ABC的面积.【答案】() ()【解析】()由正弦定理得，利用余弦定理即可求解()由同角三角函数关系得，利用面积公式求解.【详解】()因为,所以.所以.所以. ()因为a=2,所以.又因为,所以.所以SABC.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，属于中档题.18如图,在三棱锥DABC中,O为线段AC上一点,平面ADC平面ABC,且ADO,ABO为等腰直角三角形,斜边AO=4.()求证:ACBD;()将BDO绕DO旋转一周,求所得旋转体的体积.【答案】()证明见解析 ()16【解析】()推导出，取AO中点E,连结DEBE,，则，从而 AC平面BDE ，即可得证()由题意将BDO绕DO旋转一周,所得到的旋转体是以2为底面半径,2为高的两公共底面的锥，即可求出旋转体的体积.【详解】()证明:ADO,ABO为等腰直角三角形,斜边AO=4.DOAD,BOAB,AD=DO=AB=BO=4,取AO中点E,连结DEBE,如图,则DEAC,BEAC,且DEBE=E,AC平面BDE,又BD平面BDE,ACBD.()由()知DEAC,平面ADC平面ABC,且平面ADC平面ABC=AC,DE平面ABC,BDE是直角三角形,ADO,ABO是直角三角形,斜边AO=4,BO=DO=4,DE=2,BE=2,将BDO绕DO旋转一周,所得到的旋转体是以2为底面半径,2为高的两公共底面的锥,将BDO绕DO旋转一周所得旋转体的体积为:16.【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，旋转体的体积求法，考查空间线线、线面、面面的位置关系，属于中档题.19现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了50人,他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如表:月收入(单位百元)15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)频数510151055赞成人数4812521()由以上统计数据填下面22列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;月收入低于55百元的人数月收入不低于55百元的人数合计赞成不赞成合计()若采用分层抽样在月收入在15,25),25,35)的被调查人中共随机抽取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求收到“红包”奖励的3人中至少有1人收入在15,25)的概率.参考公式:K2,其中n=a+b+c+d.参考数据:P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】()填表见解析,没有 ()【解析】()由题意填表，计算K2，对照临界值得出结论 ()由分层抽样求出抽取的人数，列举法写出基本事件，计算概率即可.【详解】()由题意填22列联表如下,月收入低于55百元的人数月收入不低于55百元的人数合计赞成29332不赞成11718合计401050由表中数据,计算K26.276.635,所以没有99%的把握认为“月收入以5500为分界点”对“楼市限购令”的态度有差异;()用分层抽样在月收入在15,25),25,35)的被调查人中随机抽取6人,则月收入在15,25)内有62(人)记为AB,在25,35)有62=4(人),记为cdef;从这6人中抽取3人,基本事件是ABcABdABeABfAcdAceAcfAdeAdfAefBcdBceBcfBdeBdfBefcdecdfcefdef共20种,这3人中至少收入在15,25)的事件是ABcABdABeABfAcdAceAcfAdeAdfAefBcdBceBcfBdeBdfBef共16种,故所求的概率值为P.【点睛】本题主要考查了列联表与独立性检验问题，古典概型的概率问题，属于中档题.20已知椭圆E:过点(0,1)且离心率.()求椭圆E的方程;()设动直线l与两定直线l1:xy=0和l2:x+y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点,试探究:OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.【答案】()y2=1 ()存在,最小值为1【解析】()由题意可得，根据离心率及间的关系即可求解 ()当直线l的斜率不存在时，易知SOPQ，当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,k1，根据点到直线的距离公式和三角形面积公式，借助函数的性质即可求出.【详解】()由已知得b=1,a2=b2+c2,解得a,b=c=1,所以椭圆的E方程为y2=1,()当直线l的斜率不存在时,直线l为x或x,都有:SOPQ22.当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,k1,由,消去y,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m22=0,=8m2+8+16k2,由题可知,=0,有m2=2k2+1,又 可得P(,);同理可得Q(,).由原点O到直线PQ的距离为d和|PQ|=2|m|,可得SOPQd|PQ|=|,m2=2k2+1,SOPQ,当1k21或k0,即1k1时,SOPQ2,因为01k21,所以3,所以SOPQ21,当且仅当k=0时等号成立.综上,当k=0时,OPQ的面积存在最小值为1.【点睛】本题主要考查了直线和椭圆的位置关系，点到直线的距离公式，函数的单调性，考查了运算能力和转化能力，属于难题.21已知函数，.（）当时，求函数的单调区间；（）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；（）若恒成立，求的最大值.【答案】（）见解析；（）（）【解析】【详解】（） ，则.令得，所以在上单调递增.令得，所以在上单调递减.（）因为，所以，所以的方程为.依题意， ， .于是与抛物线切于点，由得.所以 - （）设,则恒成立.易得（1）当时，因为，所以此时在上单调递增.若，则当时满足条件，此时；若，取且此时，所以不恒成立不满足条件；（2）当时，令，得由，得；由，得所以在上单调递减，在上单调递增.要使得“恒成立”，必须有“当时， ”成立.所以.则令则令，得由，得；由，得所以在上单调递增，在上单调递减,所以，当时， 从而，当时， 的最大值为.-【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a恒成立，只需f(x)mina即可；f(x)a恒成立，只需f(x)maxa即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）射线与曲线分别交于两点（异于原点），定点，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将曲线C1化成直角坐标方程，再化成极坐标方程；（2）先求出定点M到射线的距离为三角形的高，再由极坐标方程求出弦长|AB|为三角形的底，根据面积公式求解即可【详解】（1）解：曲线C1直角坐标方程为：x2+y24y=0，由2=x2+y2，sin=y得：曲线C1极坐标方程为=4sin，（2）法一:M到射线=的距离为d=2sin=，|AB|=BA=4（sincos）=2（1）则SMAB=|AB|d=3法二：解：将=（0）化为普通方程为y=x（x0），曲线C2的极坐标方程为=4cos，即2=4cos，由2=x2+y2，cos=x得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y24x=0，由得A（，3）得B（1，），点M到直线，【点睛】本题考查参数方程和普通方程，极坐标方程和普通方程的互化，以及弦长公式，属于中档题23已知函数.（1）若，解不等式；（2）关于的不等式有解，求实数的