2008江苏高考数学试卷.pdf

20082008 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 江苏卷 一 填空题 本大题共 1 小题 每小题 5 分 共 70 分 1 cos 6 f xx 的最小正周期为 5 其中0 则 2 一个骰子连续投 2 次 点数和为 4 的概率 3 1 1 i i 表示为abi a bR 则ab 4 A 2 137x xx 则 A Z 的元素的个数 5 a b 的夹角为120 1a 3b 则5ab 6 在平面直角坐标系xoy中 设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域 E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域 向 D 中随机投一点 则所投的点落入 E 中的 概率是 7 某地区为了解 70 80 岁老人的日平均睡眠时间 单位 h 随即选择了 50 为老人进行调 查 下表是这 50 为老人日睡眠时间的频率分布表 序号 i 分组 睡眠时间 组中值 Gi 频数 人数 频率 Fi 1 4 5 4 5 6 0 12 2 5 6 5 5 10 0 20 3 6 7 6 5 20 0 40 4 7 8 7 5 10 0 20 5 8 9 8 5 4 0 08 在上述统计数据的分析中 一部分计算见算法流程图 则输出的 S 的值是 8 设直线 1 2 yxb 是曲线 ln0yx x 的一条切线 则实数 b 9 在平面直角坐标系 xOy 中 设三角形 ABC 的顶点分别为 A 0 a B b 0 C c 0 点 P 0 p 在线段 AO 上的一点 异于端点 设 a b c p 均为非零实数 直线 BP CP 分别与边 AC AB 交于点 E F 某同学已正确求得 OE 的方程 1111 0 xy bcpa 请你完成 直线 OF 的方程 11 0 xy pa 10 将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 按照以上排列的规律 数阵中第 n 行 n 3 从左向右的第 3 个数为 11 已知 x y zR 满足230 xyz 则 2 y xz 的最小值是 12 在平面直角坐标系 xOy 中 设椭圆 22 22 xy ab 1 ab 0 的焦距为 2c 以点 O 为圆心 a为半径作圆 M 若过点 P 2 0 a c 所作圆 M 的两条切线互相垂直 则该椭圆的离心率为 e 13 满足条件 AB 2 AC 2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 14 设函数 3 31f xaxx x R 若对于任意 1 1x 都有 fx 0 成立 则 实数a 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 字说明 证明过程或演算步骤 15 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 以 Ox 轴为始边做两个锐角 它们的终边分别与单位圆相交于 A B 两点 已知 A B 的 横坐标分别为 2 2 5 105 求 tan 的值 求2 的值 16 如图 在四面体 ABCD 中 CB CD AD BD 点 E F 分别是 AB BD 的中点 求证 直线 EF 平面 ACD 平面 EFC 平面 BCD 17 如图 某地有三家工厂 分别位于矩形 ABCD 的两个顶 点 A B 及 CD 的中点 P 处 已知 AB 20km CB 10km 为了处理三家工厂的污水 现要在该矩形 ABCD 的区域上 含 边界 且与 A B 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂 并铺设三条排污管道AO BO OP 设排污管道的总长为ykm 按下列要求写出函数关系式 设 BAO rad 将y表示成 的函数关系式 设 OPx km 将y表示成x的函数关系式 请你选用 中的一个函数关系 确定污水处理厂的位置 使三条排污管道总长度 最短 18 设平面直角坐标系xoy中 设二次函数 2 2f xxxb xR 的图象与两坐标轴 有三个交点 经过这三个交点的圆记为 C 求实数 b 的取值范围 求圆 C 的方程 问圆 C 是否经过某定点 其坐标与 b 无关 请证明你的结论 19 设 12 n a aa 是各项均不为零的等差数列 4n 且公差0d 若将此数 列删去某一项得到的数列 按原来的顺序 是等比数列 当 n 4 时 求 1 a d 的数值 求n的所有可能值 求证 对于一个给定的正整数 n n 4 存在一个各项及公差都不为零的等差数列 12 n b bb 其中任意三项 按原来顺序 都不能组成等比数列 20 若 1 1 3x pfx 2 2 2 3 x p fx 12 xR p p 为常数 函数 f x 定义为 对每个 给定的实数 x 112 212 fxfxfx f x fxfxfx 求 1 f xfx 对所有实数 x 成立的充要条件 用 12 p p表示 设 a b为两实数 满足ab 且 12 p p a b 若 f afb 求证 fx在 区间 a b上的单调增区间的长度之和为 2 ba 闭区间 m n的长度定义为nm 21 从从 A B C D 四个中选做四个中选做 2 个 每题个 每题 10 分 共分 共 20 分分 A 选修 选修 4 1 几何证明选讲几何证明选讲 如图 设 如图 设 ABC 的外接圆的切线的外接圆的切线 AE 与与 BC 的延长线交于点的延长线交于点 E BAC 的平分线与的平分线与 BC 交于交于 点点 D 求证 求证 2 EDEB EC B C E D A B 选修 选修 4 2 矩阵与变换矩阵与变换 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中 中 设椭圆设椭圆 22 41xy 在矩阵在矩阵 2 0 0 1 对应的变换作用下得到曲线对应的变换作用下得到曲线 F 求 求 F 的方程的方程 C 选修 选修 4 4 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中 点中 点 P xy 是椭圆是椭圆 2 2 1 3 x y 上的一个动点 求上的一个动点 求Sxy 的的 最大值 最大值 D 选修 选修 4 5 不等式证明选讲不等式证明选讲 设设 a b c 为正实数 求证 为正实数 求证 333 111 2 3 abc abc 22 必做题 必做题 记动点记动点 P 是棱长为是棱长为 1 的正方体的正方体 1111 ABCD ABC D的对角线的对角线 1 BD上一点 记上一点 记 1 1 D P D B 当 当APC 为钝角时 求为钝角时 求 的取值范围 的取值范围 23 必做题 必做题 请先阅读 请先阅读 在等式在等式 2 cos22cos1xx x R 的两边求导 得 的两边求导 得 2 cos2 2cos1 xx 由求导法则 得由求导法则 得 sin2 24cos sin xxx 化简得等式 化简得等式 sin22cossinxxx 1 利用上题的想法 或其他方法 结合等式 利用上题的想法 或其他方法 结合等式 0122 1 x CCCC nnn nnnn xxx x R 正整数 正整数2n 证明 证明 11 2 1 1 C n nkk n k nxkx 2 对于正整数 对于正整数3n 求证 求证 i 1 1 C0 n kk n k k ii 2 1 1 C0 n kk n k k iii 1 1 121 C 11 n n k n k kn 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 江苏卷 数学参考答案数学参考答案 一 填空题 本大题共 1 小题 每小题 5 分 共 70 分 1 答案 10 解析 本小题考查三角函数的周期公式 2 10 5 T 2 答案 1 12 解析 本小题考查古典概型 基本事件共 6 6 个 点数和为 4 的有 1 3 2 2 3 1 共 3 个 故 31 6 612 P 3 答案 1 解析 本小题考查复数的除法运算 2 11 12 ii i i a 0 b 1 因此1ab 4 答案 0 解析 本小题考查集合的运算和解一元二次不等式 由 2 1 37xx 得 2 580 xx 0 集合 A 为 因此 A Z 的元素不存在 5 答案 7 解析 本小题考查向量的线性运算 22 22 552510ababaa bb 22 1 25 110 1 3349 2 5ab 7 6 答案 16 解析 本小题考查古典概型 如图 区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部 含边界 区域 E 表示单位圆及其内部 因此 2 1 4 416 P 7 答案 6 42 8 答案 ln2 1 解析 本小题考查导数的几何意义 切线的求法 1 y x 令 11 2x 得2x 故切点 2 ln2 代入直线方程 得 所以 b ln2 1 9 答案 11 cb 解析 本小题考查直线方程的求法 画草图 由对称性可猜想填 11 cb 事实上 由截距 式可得直线 AB 1 xy ba 直线 CP 1 xy cp 两式相减得 1111 0 xy bcpa 显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程 又原点 O 也满足此方程 故为所求直线 OF 的 方程 10 答案 2 6 2 nn 解析 本小题考查归纳推理和等差数列求和公式 前 n 1 行共有正整数 1 2 n 1 个 即 2 2 nn 个 因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 2 2 nn 3 个 即为 2 6 2 nn 11 答案 3 解析 本小题考查二元基本不等式的运用 由230 xyz 得 3 2 xz y 代入 2 y xz 得 22 9666 3 44 xzxzxzxz xzxz 当且仅当x 3z 时取 12 答案 2 2 解析 设切线 PA PB 互相垂直 又半径 OA 垂直于 PA 所以 OAP 是等腰直角三角 形 故 2 2 a a c 解得 2 2 c e a 13 答案 2 2 解析 本小题考查三角形面积公式 余弦定理以及函数思想 设 BC x 则 AC 2x 根据面积公式得 ABC S 2 1 sin1 cos 2 AB BCBxB 根据余弦定理得 22222 42 cos 24 ABBCACxx B AB BCx 2 4 4 x x 代入上式得 ABC S 2 2 2 12812 4 1 416 x x x x 由三角形三边关系有 22 22 xx xx 解得2 222 22x 故当2 2x 时取得 ABC S 最大值2 2 14 答案 4 解析 本小题考查函数单调性的综合运用 若 x 0 则不论a取何值 fx 0 显然成 立 当 x 0 即 1 1x 时 3 31f xaxx 0 可化为 23 31 a xx 设 23 31 g x xx 则 4 3 1 2x gx x 所以 g x 在区间 1 0 2 上单调递增 在区 间 1 1 2 上单调递减 因此 max 1 4 2 g xg 从而a 4 当 x 0 即 1 0 时 3 31f xaxx 0 可化为a 23 31 xx 4 3 1 2x gx x 0 g x 在区间 1 0 上单调递增 因此 ma 14 n g xg 从而a 4 综上a 4 二 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 解析 本小题考查三角函数的定义 两角和的正切 二倍角的正切公式 解 由已知条件及三角函数的定义可知 22 5 cos cos 105 因为 为锐角 所以sin 7 25 sin 105 因此 1 tan7 tan 2 tan tantan 3 1 tantan 2 2tan4 tan2 1 tan3 所以 tantan2 tan21 1 tantan2 为锐角 3 02 2 2 3 4 16 解析 本小题考查空间直线与平面 平面与平面的位置关系的判定 解 E F 分别是 AB BD 的中点 EF 是 ABD 的中位线 EF AD EF 面 ACD AD 面 ACD 直线 EF 面 ACD AD BD EF AD EF BD CB CD F 是 BD 的中点 CF BD 又 EF CF F BD 面 EFC BD 面 BCD 面 EFC 面 BCD 17 解析 本小题主要考查函数最值的应用 解 延长 PO 交 AB 于点 Q 由条件知 PQ 垂直平分 AB 若 BAO rad 则 10 coscos AQ OA 故 10 cos OB 又 OP 10 10tan 10 10ta 所以 1010 10 10tan coscos yOAOBOP 所求函数关系式为 20 10sin 10 cos y 0 4 若 OP x km 则 OQ 10 x 所以 OA OB 2 22 101020200 xxx 所求函数关系式为 2 220200 010yxxxx 选择函数模型 22 10coscos20 10sin10 2sin1 coscos sin y 令 y 0 得 sin 1 2 因为0 4 所以 6 当0 6 时 0y y是 的减函数 当 6 4 时 0y y是 的增函 数 所以当 6 时 min 10 10 3y 这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上 且距离 AB 边 10 3 3 km 处 18 解析 本小题主要考查二次函数图象与性质 圆的方程的求法 解 令x 0 得抛物线与y轴交点是 0 b 令 2 20f xxxb 由题意 b 0 且 0 解得 b 1 且 b 0 设所求圆的一般方程为 2 x 2 0yDxEyF 令y 0 得 2 0 xDxF 这与 2 2xxb 0 是同一个方程 故 D 2 F b 令x 0 得 2 yEy 0 此方程有一个根为 b 代入得出 E b 1 所以圆 C 的方程为 22 2 1 0 xyxbyb 圆 C 必过定点 0 1 和 2 1 证明如下 将 0 1 代入圆 C 的方程 得左边 0 2 1 2 2 0 b 1 b 0 右边 0 所以圆 C 必过定点 0 1 同理可证圆 C 必过定点 2 1 19 解析 本小题主要考查等差数列 等比数列的有关知识 考查运用分类讨论的思想方 法进行探索分析及论证的能力 满分 16 分 解 解 首先证明一个 基本事实 一个等差数列中 若有连续三项成等比数列 则这个数列的公差 d0 0 事实上 设这个数列中的连续三项 a d0 a d d0成等比数列 则 a2 d d0 a d0 由此得 d0 0 1 i 当 n 4 时 由于数列的公差 d 0 故由 基本事实 推知 删去的项只可能为 a2或 a3 若删去 2 a 则由 a1 a3 a4 成等比数列 得 a1 2d 2 a1 a1 3d 因 d 0 故由上式得 a1 4d 即 d a1 4 此时数列为 4d 3d 2d d 满 足题设 若删去 a3 则由 a1 a2 a4 成等比数列 得 a1 d 2 a1 a1 3d 因 d 0 故由上式得 a1 d 即 d a1 1 此时数列为 d 2d 3d 4d 满足题设 综上可知 d a1 的值为 4 或 1 ii 若 n 6 则从满足题设的数列 a1 a2 an中删去一项后得到的数列 必有原数 列中的连续三项 从而这三项既成等差数列又成等比数列 故由 基本事实 知 数列 a1 a2 an的公差必为 0 这与题设矛盾 所以满足题设的数列的项数 n 5 又因题设 n 4 故 n 4 或 5 当 n 4 时 由 i 中的讨论知存在满足题设的数列 当 n 5 时 若存在满足题设的数列 a1 a2 a3 a4 a5 则由 基本事实 知 删去的项只能 是 a3 从而 a1 a2 a4 a5成等比数列 故 a1 d 2 a1 a1 3d 及 a1 3d 2 a1 d a1 4d 分别化简上述两个等式 得 a1d d2及 a1d 5d 故 d 0 矛盾 因此 不存在满足题设的项 数为 5 的等差数列 综上可知 n 只能为 4 2 假设对于某个正整数 n 存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 b1 b1 d b1 n 1 d b1 d 0 其中三项 b1 m1 d b1 m2 d b1 m3 d 成等比数列 这里 0 m1 m2 m3 n 1 则有 b1 m2 d 2 b 1 m1 d b1 m3 d 化简得 m1 m3 2m2 b1 d 2 2 m m1m3 d 2 由 b1 d 0 知 m1 m3 2m2与 2 2 m m1m3或同时为零 或均不为零 若 m1 m3 2m2 0 且 2 2 m m1m3 0 则有 231 2 mm m1m3 0 即 m1 m3 2 0 得 m 1 m3 从而 m1 m2 m3 矛盾 因此 m1 m3 2m2与 2 2 m m1m3都不为零 故由 得 231 31 2 2 1 2dmmm mmmb 因为 m1 m2 m3均为非负整数 所以上式右边为有理数 从而 1 d b 是一个有理数 于是 对于任意的正整数n 4 只要取 1 d b 为无理数 则相应的数列b1 b2 bn就是满足要 求的数列 例如 取b1 1 d 2 那么 n项数列1 1 2 1 22 1 1 2n 满足 要求 20 解析 本小题考查充要条件 指数函数与绝对值函数 不等式的综合运用 1 f xfx 恒成立 12 fxfx 12 32 3 x px p 123 log 2 33 x px p 1232 xpxplog 因为 121212 xpxpxpxppp 所以 故只需 12 pp 32 log 恒成立 综上所述 1 f xfx 对所有实数成立的充要条件是 12 pp 32 log 1 如果 12 pp 32 log 则的图像关于直线 1 xp 对称 因为 f afb 所以 区间 a b关于直线 1 xp 对称 因为减区间为 1 a p 增区间为 1 p b 所以单调增区间的长度和为 2 ba 2 如果 12 pp 32 log 1 当 12 pp 32 log 时 1 1 1 1 1 3 3 x p px xp b fx xa p 23 23 log 2 2 2 log 2 2 3 3 x p px xp b fx xa p 当 1 xp b 213 log 210 2 331 pp fx fx 因 为 12 0 0fxfx 所 以 12 fxfx 故 1 f xfx 1 3x p 当 2 xa p 123 log 210 2 331 pp fx fx 因 为 12 0 0fxfx 所 以 12 fxfx 故 2 f xfx 23 log 2 3p x 因为 f afb 所以 231 log 2 33p ab p 所以 123 log 2 bppa 即 123 log 2abpp 当 21 xpp 时 令 12 fxfx 则 231 log 2 33x p px 所以 123 log 2 2 pp x 当 123 2 log 2 2 pp xp 时 12 fxfx 所以 2 f xfx 23 log 2 3x p 123 1 log 2 2 pp xp 时 12 fxfx 所以 1 f xfx 1 3p x fx在区间 a b上的单调增区间的长度和 123 12 log 2 2 pp bpp 123 log 2 222 ppabba bb 2 当 21 pp 32 log 时 1 1 1 1 1 3 3 x p px xp b fx xa p 23 23 log 2 2 2 log 2 2 3 3 x p px xp b fx xa p 当 2 xp b 213 log 210 2 331 pp fx fx 因 为 12 0 0fxfx 所 以 12 fxfx 故 2 f xfx 23 log 2 3x p 当 1 xa p 123 log 210 2 331 pp fx fx 因为 12 0 0fxfx 所以 12 fxfx 故 1 f xfx 1 3p x 因为 f afb 所以 231 log 2 33b p pa 所以 123 log 2abpp 当 12 xp p 时 令 12 fxfx 则 231 log 2 33p xx p 所以 123 log 2 2 pp x 当 123 1 log 2 2 pp xp 时 12 fxfx 所以 1 f xfx 1 3x p 123 1 log 2 2 pp xp 时 12 fxfx 所以 2 f xfx 23 log 2 3p x fx在区间 a b上的单调增区间的长度和 123 21 log 2 2 pp bpp 123 log 2 222 ppabba bb 综上得 fx在区间 a b上的单调增区间的长度和为 2 ba 证明 如图 因为AE 是圆的切线 所以 ABCCAE 又因为AD是BAC 的平分线 所以 BADCAD 从而 ABCBADCAECAD 因为 ADEABCBAD DAECADCAE 所以 ADEDAE 故EAED 因为 EA是圆的切线 所以由切割线定理知 2 EAEC EB 而EAED 所以 2 EDEC EB 解 设 00 P xy是椭圆上任意一点 点 00 P xy在矩阵A对应的变换下变为点 00 P x y 则有 00 0 0 2 0 0 1 xx y y 即 00 00 2xx yy 所以 0 0 00 2 x x yy 又因为点P在椭圆上 故 22 00 41xy 从而 2 2 00 1xy 所以 曲线F的方程是 22 1xy 解 因椭圆 2 2 1 3 x y 的参数方程为 3cos sin x y 为参数 故可设动点P的坐标为 3cos sin 其中02 因此 31 3cossin2 cossin 2sin 223 Sxy 所以 当 6 时 S取最大值 2 证明 因为 a b c为正实数 由平均不等式可得 3 333333 111111 3 abcabc 即 333 1113 abcabc 所以 333 1113 abcabc abcabc 而 33 22 3abcabc abcabc 所以 333 111 2 3 abc abc 解 由题设可知 以DA DC 1 DD 为单位正交基底 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 则有 1 0 0 A 1 1 0 B 0 1 0 C 0 0 1 D x y z C B A D D1 C1 B1 A1 P 由 1 1 1 1 D B 得 11 D PD B 所以 11 1 0 1 1 1 PAPDD A 11 0 1 1 1 1 PCPDDC 显然APC 不是平角 所以APC 为钝角等价于 coscos 0 PA PC APCPA PC PA PC 则等价于0PA PC 即 2 1 1 1 1 31 0 得 1 1 3 因此 的取值范围是 1 1 3 证明证明 1 在等式 0122 1 x CCCC nnn nnnn xxx 两边对x求导得 112121 1 2 1 nnn