数学人教版八年级上册课题学习——最短路径.doc

人教版义务教育课程标准实验教科书八年级上册13.4.课题学习最短路径（1）教学设计育才中学初二备课组一、教材分析1、内容利用轴对称研究某些最短路径问题。2、作用和地位最短路径问题是生活中的实际问题，在修路、铺管道的时候，可以起到节约人力、物力、财力的作用。初中阶段，这类问题的解答依据主要是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别：有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。 本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学中线段和的最小问题，再利用轴对称将线段和的最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题。3、教学目标和目标解析：（1）目标能利用轴对称知识解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟化归思想。（2）目标解析达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河（或街道）”抽象为数学中的点、直线，能利用轴对称将线段和的最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。4、教学重、难点教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段之和的最小问题。突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.二、教学准备：多媒体课件、导学案、圆规、直尺三、教学过程教学内容与教师活动学生活动设计意图一、创设情景 引入课题师：回顾我们所研究过的最短路径问题：1）“两点之间，线段最短”，2）“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节我们将重回古希腊时代，利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”。 （板书课题）学生思考教师所展示的问题，并观察图片，获得感性认识.从实际问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.二、自主探究 合作交流 建构新知问题1：思考1：面对这个实际问题，你打算先做什么？生：将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。思考2：你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）现在的问题：如何在直线l上找到一点C，使AC 与CB 的和最小。“两点之间，线段最短”数学模型一如图,点A，B 在直线l 的两侧,点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？解决方案：问题二数学模型二如图，点A、B 在直线l的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小? 思考3：如何把点B“移”到l的另一侧B/ 处，满足直线l上的任意一点C，都能使CB=CB/ ？思考4：需要用到什么知识，找到这样的点B/ ?师生活动:学生代表汇报交流结果，师生共同补充并得出：只要作出点B关于l的对称点B/ ，就可以满足CB/ = CB，再用问题一的方法，连接AB/ ，则AB/ 与直线l的交点即为所求。解决方案：板书作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C，则点C 即为所求 证明最短 思考5：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？师生活动：师生共同分析，让学生说出主要的分析过程，教师展示: 证明：如图，在直线l上任取一点C（与点C不重合），连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC =BC，BC=BCAC +BC = AC +BC = AB AC+BC = AC+BCAB AC + BC（两点之间，线段最短）即 AC +BC最短.学习反思：学以致用 1、 如图，要在街道旁修建一个卫生站，便于A,B两区的居民看病。卫生站应选在何处才能使到它的距离之和最短？3.已知A(2，3)，B(4，-3)，在y轴上找一点P，使PA+PB最小，并写出点P的坐标。 三、一题多变问题三若将军要先骑马到草地边OM喂马，再到河边ON让马喝水， 最后回到出发点A，请画出最短路径。 师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）马从A 地出发，到草地边OM 吃草，然后到河边ON喝水； （2）现在的问题是：如何在OM上确定吃草点B、在ON上确定喝水点C，使AB+BC+CA 的和最小?数学模型三如图，MON内有一点A，在OM、ON上分别找点B、C，使ABC的周长最小？解决方案三学以致用 4.如图，AOB内有一点P，在OA,OB上分别找点M,N，使PMN的周长最小？作法：能力提升5、如图，牧马人从A地出发，先到草地让马吃草，再到河边让马喝水，然后回到B处，请画出最短路径。本课小结四、学完本课，你有什么收获？数学模型：（1）两点在直线异侧 （2）两点在直线同侧（3）点在两直线内部解决 归纳：在解决最短路径问题时，常通过 变换把已知问题转化为容易解决的问题，再利用“ ”从而作出最短路径的选择。这是数学的化归思想。课后作业五、学完本课，你掌握了吗？新观察P58-59 动手画直线观察口答动手连线独立思考，合作交流思考感悟问题一中的将军饮马问题，把刚学过的方法经验迁移过来学生独立完成，集体订正学生自己总结方法学生独立完成，集体订正观察、思考与问题二的区别和联系，分析基本思路：如何把三条线段和转化为一条线段？互相交流想法独立完成，交流经验观察思考，动手画图，用轴对称知识进行解决各抒己见提炼语言为学生提供参与数学活动的情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.让学生将实际问题抽象为数学问题，即最短路径问题抽象为“线段和最小问题”通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手脚”，将同侧难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想。将轴对称知识学以致用注意问题解决方法的小结：抓对称性来解决及时进行方法提炼总结将线段和最小问题转化为一条线段.让学生体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。学以致用，及时巩固再次明确：最短路径问题的本质：线段和最小，实际转化为一条线段，转化的方法是利用轴对称。在平面直角坐标系的背景下，找对称点.明确基本思路：线段和最小，即多条线段和转化为一条线段.进一步让学生巩固解决最短路径问题的基本策略：多条线段和转化为一条线段；转化的基本方法：利用轴对称.学以致用，及时巩固引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要性。四、教学反思最短路径问题从本质上说