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附件一东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）学号 姓名 密封线课程名称实变函数考试学期11-12-2得分适用专业数学系考试形式 闭卷 考试时间长度120分钟（开卷、半开卷请在此写明考试可带哪些资料）题目一二三四五六七八总分得分批阅人自 觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效一. (10分) 试叙述可数集的定义， 并分别给出一个可数集合和一个不可数集的例子。 二. (10 分) 叙述勒贝格外测度的定义， 并证明可数集的外测度为零. 三. (10分)设是可测集，证明存在的一列单调增加的闭子集列 使得 .四. (10 分)(1)试给出有界闭区间上有界函数Riemann可积的充分必要条件。 (2)给出一个Lebesgue可积但Riemann不可积的例子。五. (10分)(1) 叙述依测度收敛的定义。(2) 若在上，, , 证明 和在上几乎处处相等。六.(10分)叙述有界变差函数和绝对连续函数的定义，并分别给出一个例子。七.(10分)设在上Lebesgue可积。如果, 证明存在子列在上几乎处处收敛于零。八. (10分)(1)试叙述Fatou引理;(2)求下列极限： 九设在上Lebesgue可积。(1) 若是上的有界可测函数，证明在上是Lebesgue可积的。(2) 如果对上的任意有界可测函数，总有成立. 证明在 上几乎处处为零。(3) 如果对任意连续函数总有 成立，证明上述(2)中结论仍然成立。十.(10分）设在 上Lebesgue可积。令。(1) 证明: 是有界连续函数，并且 (2) 利用Fu
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