线性代数 考研数学 试题试卷剖析.pdf

2003 年线性代数考研试题年线性代数考研试题 数一数一 1 从 2 R的基到基的过渡矩阵为 1 1 0 1 21 2 1 1 1 21 21 32 详解详解 根据定义 从 2 R的基到基的过渡 矩阵为 1 1 0 1 21 2 1 1 1 21 P 1 21 21 11 10 11 1 21 21 32 21 11 10 11 2 设向量组 I r 21 可由向量组 II s 21 线性表示 则 D A 当sr 时 向量组 II 必线性相关 C 当sr 时 向量组 I 必线性相关 详解详解 用排除法 如 则 1 0 0 1 0 0 211 211 00 但 21 线性无关 排除 A 则 0 1 0 1 0 0 121 21 可由 1 线性表示 但 1 线 性无关 排除 B 1 0 0 1 0 1 211 1 可由 21 线性表示 但 1 线性无 关 排除 C 故正确选项为 D 3 设有齐次线性方程组 Ax 0 和 Bx 0 其中 A B 均为nm 矩阵 现有 4 个命题 若 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解 则秩 A 秩 B 若秩 A 秩 B 则 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解 若 Ax 0 与 Bx 0 同解 则秩 A 秩 B 若秩 A 秩 B 则 Ax 0 与 Bx 0 同解 以上命题中正确的是 B A B C D 详解详解 若 Ax 0 与 Bx 0 同解 则 n 秩 A n 秩 B 即秩 A 秩 B 命题 成立 可排除 A C 但反过来 若秩 A 秩 B 则不能推出 Ax 0 与 Bx 0 同解 如 00 01 A You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔剑考研 2014考研 2015考研 10 00 B 则秩 A 秩 B 1 但 Ax 0 与 Bx 0 不同解 可见命题 不成立 排除 D 故正确选项为 B 4 设矩阵 322 232 223 A 100 101 010 PPAPB 1 求 B 2E 的特征值与特征向 量 其中为 A 的伴随矩阵 E 为 3 阶单位矩阵 A 详解详解 经计算可得 522 252 225 A 100 001 110 1 P PAPB 1 322 452 007 从而 522 472 009 2EB 3 9 522 472 009 2 2 EBE 故 B 2E 的特征值为 3 9 321 当9 21 时 解0 9 xAE 得线性无关的特征向量为 0 1 1 1 1 0 2 2 所以属于特征值9 21 的所有特征向量为 其中是不全为零的任意常数 1 0 2 0 1 1 212211 kkkk 21 k k 当3 3 时 解 得线性无关的特征向量为 0 3 xAE You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔剑考研 2014考研 2015考研 1 1 0 3 所以属于特征值3 3 的所有特征向量为 其中 1 1 0 333 kk 0 3 k为任意常数 5 已知平面上三条不同直线的方程分别为 1 l032 cbyax 2 l032 acybx 3 l032 baycx 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 0 cba 详解详解 必要性必要性 设三条直线交于一点 则线性方程组 321 lll 32 32 32 baycx acybx cbyax 有唯一解 故系数矩阵与增广矩阵 ac cb ba A 2 2 2 bac acb cba A 32 32 32 的秩均为 2 于是 0 A 由于 6 32 32 32 222 bcacabcbacba bac acb cba A 3 222 accbbacba 但根据题设 故 0 222 accbba 0 cba 充分性 充分性 由0 cba 则从必要性的证明可知 0 A 故秩 3 A 由于 2 2 2 2 22 bbaabac cb ba You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔剑考研 2014考研 2015考研 0 4 3 2 1 2 22 bba 故秩 A 2 于是 秩 A 秩 A 2 因此方程组 有唯一解 即三直线交于一点 321 lll 数二数二 1 设 为 3 维列向量 是 T 的转置 若 则 111 111 111 T T 3 详解详解 由 知 于是 111 111 111 T 111 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 111 T 2 设三阶方阵 A B 满足EBABA 2 其中 E 为三阶单位矩阵 若 102 020 101 A 则 B 2 1 详解详解 由EBABA 2 知 EABEA 2 即 EABEAEA 易知矩阵 A E 可逆 于是有 EBEA 再两边取行列式 得 1 BEA 因为 2 002 010 100 EA 所以 B 2 1 3 设向量组 I r 21 可由向量组 II s 21 线性表示 则 D You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔剑考研 2014考研 2015考研 A 当sr 时 向量组 II 必线性相关 C 当sr 时 向量组 I 必线性相关 4 若矩阵相似于对角阵 600 28 022 aA 试确定常数 a 的值 并求可逆矩阵 P 使 1 APP 详解详解 矩阵 A 的特征多项式为 16 2 6 600 28 022 2 aAE 2 6 2 故 A 的特征值为 2 6 321 由于 A 相似于对角矩阵 故对应 6 21 应有两个线性无关的特征向量 即 2 6 3 AEr 于是有 1 6 AEr 由 000 00 012 000 48 024 6aaAE 知 a 0 于是对应于6 21 的两个线性无关的特征向量可取为 1 0 0 1 0 2 1 2 当2 3 时 000 100 012 800 048 024 2AE You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔剑考研 2014考研 2015考研 解方程组得对应于 0 02 3 21 x xx 2 3 的特征向量 0 2 1 3 令 则 P 可逆 并有 001 220 110 P 1 APP 5 已知平面上三条不同直线的方程分别为 1 l032 cbyax 2 l032 acybx 3 l032 baycx 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 0 cba 数三数三 1 设 n 维向量 E 为 n 阶单位矩阵 矩阵 0 0 0 aaa T T EA T a EB 1 其中A的逆矩阵为B 则a 1 详解详解 由题设 有 1 TT a EEAB TTTT aa E 11 TTTT aa E 11 TTT a a E 2 1 E a aE T 1 21 于是有 0 1 21 a a 即 解得 012 2 aa 1 2 1 aa 由于 A bxbxxxaxAXXxxxf T 中二次型的矩阵 A 的特征 值之和为 1 特征值之积为 12 1 求 a b 的值 2 利用正交变换将二次型 f 化为标准形 并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵 分析分析 特征值之和为 A 的主对角线上元素之和 特征值之积为 A 的行列式 由此可 求出 a b 的值 进一步求出 A 的特征值和特征向量 并将相同特征值的特征向量正交化 若 有必要 然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔剑考研 2014考研 2015考研 详解详解 1 二次型 f 的矩阵为 20 020 0 b ba A 设 A 的特征值为 3 2 1 i i 由题设 有 1 2 2 321 a 1224 20 020 0 2 321 ba b ba 解得 a 1 b 2 2 由矩阵 A 的特征多项式 3 2 202 020 201 2 AE 得 A 的特征值 3 2 321 对于 2 21 解齐次线性方程组0 2 xAE 得其基础解系 T 1 0 2 1 0 1 0 2 T 对于3 3 解齐次线性方程组0 3 xAE 得基础解系 2 0 1 3 T 由于 321 已是正交向量组 为了得到规范正交向量组 只需将 321 单位化 由此 得 T 5 1 0 5 2 1 T 0 1 0 2 5 2 0 5 1 3 T 令矩阵 5 2 0 5 1 010 5 1 0 5 2 321 Q 则 Q 为正交矩阵 在正交变换 X QY 下 有 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔剑考研 2014考研 2015考研 300 020 002 AQQT 且二次型的标准形为 322 2 3 2 2 2 1 yyyf 数四数四 1 设 A B 均为三阶矩阵 E 是三阶单位矩阵 已知 AB 2A B B 则 202 040 202 1 EA 001 010 100 分析分析 应先化简 从 AB 2A B 中确定 1 EA 详解详解 由 AB 2A B 知 AB B 2A 2E 2E 即有 EEABEA2 2 EEBEA2 2 EEBEA 2 2 1 可见 1 EA 2 2 1 EB 001 010 100 2 设矩阵 已知矩阵 A 相似于 B 则秩 A 2E 与秩 A E 之和等于 C 001 010 100 B A 2 B 3 C 4 D 5 分析分析 利用相似矩阵有相同的秩计算 秩 A 2E 与秩 A E 之和等于秩 B 2E 与秩 B E 之和 详解详解 因为矩阵 A 相似于 B 于是有矩阵 A 2E 与矩阵 B 2E 相似 矩阵 A E 与矩 阵 B E 相似 且相似矩阵有相同的秩 而 秩 B 2E 秩 秩 B E 秩 3 201 010 102 1 101 000 101 可见有 秩 A 2E 秩 A E 秩 B 2E 秩 B E 4 故应选 C 3 设有向量组 I 和向量组 II T 2 0 1 1 T 3 1 1 2 T a 2 1 1 3 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔剑考研 2014考研 2015考研 T a 3 2 1 1 试问 当 a 为何值时 向量组 I 与 II 等价 当 a 为何值时 向量组 I 与 II 不等价 T a 6 1 2 2 4 1 2 3 T a 分析分析 两个向量组等价也即两个向量组可以相互线性表示 而两个向量组不等价 只需其中一组有一个向量不能由另一组线性表示即可 而线性表示问题又可转化为对应非 齐次线性方程组是否有解的问题 这可通过化增广矩阵为阶梯形来判断 一个向量 1 是否 可由 321 线性表示 只需用初等行变换化增广矩阵 1321 为阶梯形讨论 而 一 组 向 量 321 是 否 可 由 321 线 性 表 示 则 可 结 合 起 来 对 矩 阵 321321 同时作初等行变换化阶梯形 然后类似地进行讨论即可 详解详解 作初等行变换 有 321321 463232 112110 221111 aaaa 111100 112110 111201 aaaa 1 当时 有行列式1 a 01 321 a 秩 3 321 故线性 方程组 3 2 1 332211 ixxx i 均有唯一解 所以 321 可由向量组 I 线性表示 同样 行列式 06 321 秩 3 321 故 321 可由向量 组 II 线性表示 因此向量组 I 与 II 等价 2 当 a 1 时 有 321321 202000 112110 111201 由于秩 321 秩 1321 线性方程组 1332211 xxx 无解 故向量 1 不能由 321 线性表示 因此 向量组 I 与 II 不等价 5 设矩阵可逆 向量是矩阵的一个特征向量 a A 11 121 112 1 1 b A 是 对应的特 征值 其中是矩阵 A 的伴随矩阵 试求 a b 和 A 的值 You stupid cunt cunnilingus penis vagina 魔剑考研 2014考研 2015考研 分析分析 题设已知特征向量 应想到利用定义 又与伴随矩阵相关的 问题 应利用 A A EAAA 进行化简 详解详解 矩阵属于特征值 A 的特征向量为 由于矩阵 A 可逆 故可