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一元二次方程根与系数的关系教案 科目 数学 镇沅县 阮文广一、教材分析根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），是数学中的一个重要定理。只是初中阶段没有给出这个名称，并把它作为选学内容。高中阶段韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出：韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。二、学情分析让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述。要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根有关的代数式的值。以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。三、教法与学法（一）教法1、充分以学生为主体进行教学，让学生多实践，从实践中反思过程，让学生经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。2、采用“观察发现猜想证明实践（练习）”的过程教学。引导学生发现问题，师生共同解决问题。3、分小组讨论交流，多渠道信息反馈。4、问题引探，启发诱导，进行创新教学。（二）学法指导1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。3、指导学生熟练掌握根与系数的关系，并将应用问题和规律归类。设计理念：根据教材内容和课标渗透教学实践的精神，注重过程数学，注重创新教学，注重问题意识，关注学生的学习兴趣和经验，让学生主动参与学习活动，主动探索并获取知识，教师是组织者、引导者、参与者。四、课时划分及教学过程（一）课时划分共计划3课时第一课时根与系数的关系论证及理解掌握。第二课时根与系数的关系的应用。1.求已知方程的两根的平方和、倒数和、两根差。2.已知两数求作新方程。3.由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。第三课时方程判别式、根与系数的关系的综合应用。 第二课时 一元二次方程根与系数的关系（2）一、教学目标1、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差及相关代数式的值。2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。3、在推导过程中，培养学生“观察发现猜想证明实践（练习）”的研究问题的思想与方法。二、重难点代数式的抽象变形，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点。三、教学方法：精讲、实践训练教学法四、教学过程规划设计（一）复习提问（导学案检查 略）问题1.方程ax2+bx+c=0（a0）的根x1，x2与a、b、c之间的关系怎样？（学生答，教师写）并用文字语言叙述说明。即：如果ax2+bx+c=0（a0）的两根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。这个关系是一个法国数学家韦达发现的，所以也称之为韦达定理。问题2.根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）2x2-3x+1=0 x1+x2= _ x1x2= _ （2）3x2+5x=0 x1+x2= _ x1x2= _ （3）5x2+x-2=0 x1+x2= _ x1x2= _ （4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _ _ x1x2= _ （此试一试作为巩固知识而用）（二）尝试发展 引入新课（应用）尝试题1.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方和，（2）倒数和，（3）立方和分析：解上面问题的思路是什么？(将平方和、倒数和与立方和转化为两根和与积的代数式) 师讲（1）平方和 解：（1）设x1,x2是方程的两个根， 根据韦达定理有x1+x2=， x1x2=-x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2 =()2 -2(-) =（抽两名学生到黑板做，其余学生在练习本上做2、3题，教师指导讲评，指出存在问题）尝试题2. 已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。组织学生自己分析解决，然后一学生演板，其余学生在草稿本上练习。归纳总结解题步骤：1. 设方程的两根X1，X2.2. 由根与系数的关系得出x1+x2= ，x1x2= 。3. 将所给的代数式转化为含（x1+x2）和x1x2 的代数式。4. 代值计算。（三）拓展创新1、在尝试1中能否求（x1x2）2及 x1x2的值？ “拓展创新”中是培养学生思维的发散性教学设计，也是开放性教学，使部分学生的奇异思维得到发展。（四）巩固训练、设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2) (x1+1/x1)(x2+1/x2)2、已知三角形的两边长a、b是方