数学的特性及教育意义张晓贵.ppt

数学的若干特性及教育 合肥师范学院数学系张晓贵zhangxiaogui 数学是一门非常特别的学科 自然科学 人文科学 艺术 数学是人类智慧的最高结晶 数学是文化的最重要组成部分 数学是数学家创造的结果 数学是研究模式的科学 1 数学性及其教育 数学是从数和形的视角 数学的视角 来认识和理解世界的 世界是复杂的 任何一个事物要想真正的理解它们往往需要从多种视角来看 数学提供了一个非常有价值的视角 这对于我们认识世界是非常有用的 因而数学性是一个人很好的品质 数学家 生物学家和物理学家坐在街头咖啡屋里 看着人们从街对面的一间房子走进走出 他们先看到两个人进去 时光流逝 他们又看到三个人出来 物理学家 测量不够准确 生物学家 他们进行了繁殖 数学家 如果现在再进去一个人 那房子就空了 一位农夫请了工程师 物理学家和数学家来 想用最少的篱笆围出最大的面积 工程师用篱笆围出一个圆 宣称这是最优设计 物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线 假设篱笆有无限长 认为围起半个地球总够大了 数学家好好嘲笑了他们一番 他用很少的篱笆把自己围起来 然后说 我现在是在外面 数学的数学性意味着在数学教学中要使得学生逐步形成这样的习惯 用数学的眼光来看世界 而要做到这一点就要在数学教学中将数学内容与实现世界联系起来 从现实中来到实现中去 要克服传统数学教学 去掉两头 只要中间 的做法 国外 基于问题 的数学教学 一些国家提倡解决现实中的数学问题 新课程标准中培养学生解决实际问题的能力 2 条理性及其教育 数学就是用逻辑将数学命题串起来的结构 哪个命题在先哪个命题在后是确定的 这使得数学成为一门极富条理性的学科 数学的条理性研究会对学习和研究数学的人产生潜移默化的影响使之思考与行为都富有条理性 数学教师比其他的教师和其它的职业人士更具有条理性 这可以从板书 说话 写文章上清楚地看出 在数学教学中 要从低年级开始逐步使得学生做到有条有理 回答问题要有条理 提出自己的主张要有条理 为自己辩护要有条理 做作业要有条理 有条理的学习将会极大地有助于其有效的学习 例如 对某章内容的有条理的归纳将会使得他更好地掌握这些这些 或者说 有助于将这些知识纳入到其认知结构中 有条理的数学思考对于数学学习来说是非常重要的 因为数学问题的解决很大程度上是在头脑中进行的 数学家通常具有非常好的思维条理性 能在头脑中同时储存数个问题进行思考 3 逻辑性及其教育 逻辑性是数学学科的重要特点 逻辑性表现在数学的推导要符合推导规则 在教学中要让学生明确数学推导必须要符合逻辑推理规则 这是数学证明的基本要求 教师在教学中要注意培养学生的逻辑思维能力 例如 一学生作业做错了 老师说 你作业做错了 一定是你上课时没有认真听 做错的原因有很多 上课没有认真听只是其中之一 老师不但应该在上课时注意自己的言行是符合逻辑性的 同时对于学生说话或作业是不符合逻辑的做法也应该提出 有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用 爱因斯坦问他 两个人从烟囱里爬出去 一个满脸烟灰 一个干干净净 你认为哪一个该去洗澡 当然是脏的那个 学生说 不对 脏的那个看见对方干干净净 以为自己也不会脏 哪里会去洗澡 但是从整个数学发展过程中看 逻辑推理 思维 却并不是数学的核心 非逻辑思维 想象 直接 类比 归纳 在数学创造过程中扮演着甚至比逻辑思维更加重要的作用 因此 在数学教学中不但应该重视学生逻辑思维能力的培养 也应该注意非逻辑思想的培养 后者可以通过数学探索和创造来实现 这在当前具有特别重要的意义 4 严谨性及其教育 数学是一门极为严格的学科 计算的每一步都必须符合算理 而算理都要经过严格证明的 证明的每一步不但要符合逻辑 而且其根据必须是已经证明过的命题或公理 决不可以将直观上或常识上没有问题的结论作为论证的根据 例如 每个大于等于6的偶数 都可表示为两个奇素数之和 无数的实例都说明了该猜想的正确 但是在给出数学证明之前 它将永远是 猜想 整个数学就是一个严格通过逻辑连接成的体现 数学的发展就是由不严格到严格的发展过程 典型的例子就是微积分 数学的严格性养成了从事数学研究和教学的数学家和数学教师做事严格的品德 这种品德表现对于数学研究和教学自然是非常必要的 在日常生活中这种品德常常也是非常必要的 英国诗人捷尼逊写过一首诗 其中几行是这样写的 每分钟都有一个人在死亡 每分钟都有一个人在诞生 有个数学家读后去信质疑 信上说 尊敬的阁下 读罢大作 令人一快 但有几行不合逻辑 实难苟同 根据您的算法 每分钟生死人数相抵 地球上的人数是永恒不变的 但您也知道 事实上地球上的人口是不断地在增长 确切地说 每分钟相对地有1 6749人在诞生 这与您在诗中提供的数字出入甚多 为了符合实际 如果您不反对 我建议您使用7 6这个分数 即将诗句改为 每分钟都有一个人死亡 每分钟都有一又六分之一人在诞生 在数学教学中必须要对学生提出数学严谨性的要求 准确的表述 不借助直观 不用特殊性代替一般性 逻辑推理等 不严谨就不是数学 但是 严谨是相对来说的 即使是数学科学的严谨性也是不断发展的 今天的严谨在今后就可能不严谨 数学教学既要考虑数学 也要考虑学生 因而数学的严谨性就要考虑到学生的年龄特点 传统的数学教学中对于严谨性过分强调 这实际是强调了数学学科而忽视了学生 前几年 有学者对严谨性过分强调提出了批评 有了过分弱化严谨性的观点 这也同样是不对的 前者是只见数学不见学生 后者则是只有学生不见数学 某地 某校 某班进行了一次考试 其中有一试题为 某人一天吃3个苹果 问此人4天吃几个苹果 某生答曰 4 3 12个也 师大怒 曰 汝之不惠 此题应为 3 4 12个也 5 批判性及其教育 数学学科本身谈不上批判性 但数学计算和推理的每一步都要以确实可靠的事实为根据的特点对于学习和研究数学的人会形成批判性的品质 数学家和数学教师的批判性表现在 做每一件事情和说每一句话都要以事实为根据 而事实是已经被证明是正确的 不盲从权威 对任何事情都敢于质疑 批判性品质是公民素质的重要成分 如果一个国家或社会的民众没有或缺乏批判性 那么其素质就不会是高的 从这个意义上说 学习数学非常有助于公民素质的提高 数学教育就是素质教育 新课程标准中提倡教师是学生数学学习的帮助者和合作者 而不是数学学习的权威 让数学本身成为学生学习的权威 有助于发挥学生学习的主动性和积极性 从而有助于他们的数学学习 因此 教师应该鼓励学生对自己的教学工作和数学活动进行质疑 在数学教学中 数学教师应该鼓励学生对书本中给出的结论进行质疑 质疑的目的不但在于培养了学生的批判性精神 也有利于学生对该结论深刻的理解 当学生能够自由地对教师和教科书进行质疑 数学课堂就将是一种民主的课堂 平等的数学课堂文化便容易形成 在这样的环境学 学生将能够更好地学习 在数学中 不像在其它学科中 权威并非是教师和教科书而是来自数学本身 1 1 3 对于这首诗 某某某家给予了极高的评价 正如某某某家在其名著某某某中所说的那样 某某某领导人指出 大英百科给出的解释是 有人做过观察 学校布置了任务 班主任需要到班里传达 数学老师在布置任务时同时解释了学校为什么要布置任务 而其他学科老师解释的比例要小的多 有人估计 在大学里 对于学校所出台的政策 数学系教师质疑的比例最高 6 思想方法及其教育 在数学的发展过程中 形成了许多思想方法 这些思想方法实际上已经成为数学不可分割的一部分 他们是数学内容的内在支柱 因此 将数学思想方法作用数学知识的一部分是合理的 以划归法为例 划归方法 数学家常用的一种方法 即将所面临的复杂问题划归成简单的问题 不熟悉的问题划归成熟悉的问题 不可以解决的问题划归成可以解决的问题 几何问题代数问题立体几何问题平面几何问题 一天 数学家觉得自己已受够了数学 于是他跑到消防队去宣布他想当消防员 消防队长说 您看上去不错 可是我得先给您一个测试 消防队长带数学家到消防队后院小巷 巷子里有一个货栈 一只消防栓和一卷软管 消防队长问 假设货栈起火 您怎么办 数学家回答 我把消防栓接到软管上 打开水龙 把火浇灭 消防队长说 完全正确 最后一个问题 假设您走进小巷 而货栈没有起火 您怎么办 数学家疑惑地思索了半天 终于答道 我就把货栈点着 消防队长大叫起来 什么 太可怕了 您为什么要把货栈点着 数学家回答 这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了 一人取笑数学家 如果你给他一个空水壶 他会接水然后将之烧开 但是如果你给他一个装满水的水壶 他会将水倒掉后 再接满水 最后烧开 在数学教学中要重视思想方法的教学 有人总结了几种 正面论述 过程展示 回顾总结 蕴含积累 有人总结出数学思想方法教学的几个特点 超越冰冷的形式演绎体系 要联系数学文化背景 让学生感到思想震撼 7 辩证性及其教育 数学中充满着辩证的内容 加和减 乘和除 分析和综合 正面证明和反证 微分和积分 对同一个数学数学对象可以用不同的方法进行研究等等 数学被认为是培养辨证思维的最好的素材 我国历次的数学教学大纲上都有 培养学生辨证唯物主义思想 的说法 长期从事数学教学和研究的数学教师与数学家自觉或不自觉地形成了辨证的思想 古希腊的数学家和哲学家是不加区分的 辩证的思维对于学生的数学学习有着非常积极的意义 当学习某一新概念时 教师要求学生找出所有与该概念有关系的概念 命题甚至问题时 有助于学生形成良好的数学认知结构 从而使得学生能够更好理解该概念 也有助于学生更好地使用该概念 对于某一部分的数学内容的学习也是如此 当让学生以尽可能多的方法解决问题时 学生会从多种角度来思考和设计 选择方法 其结果是学生对于相关数学内容和方法有更好的理解 也有利于培养学生的问题解决能力 数学教师在教学中会时时引导学生进行辩证性的思考和看问题 正面证明行不通 那么我们应该考虑怎么证明 综合法有难度 那么是不是应该考虑什么方法 这一题我们看看可以有哪些方法来解决 这一部分的内容和上一节的内容是从两个不同的角度来研究数学对象的 它们之间有没有联系 当学生通过数学 和其它 学科的学习逐步形成了辩证的观点后 他不但在学习中就是在社会生活中也会运用辨证的观点来看问题 这样做是很好 但也有不足的地方 你不要一条道走到底 目前我们虽然有困难 但只要我们坚持机会一定会出现 换一个角度也许就可以找到好的方法 他确实有许多缺点 但不可否认的是也有好的地方 好习惯是慢慢养成的 坏习惯也是逐步形成的 8 数学美及其教育意义 行外人很少会认为数学中包含着美的因素 一般认为美存在于音乐 美术甚至体育等领域中 数学在其发展中逐步形成了数学审美的观点 即有的数学对象会被认为是美的 这些数学对象包括数学内容和方法等 对数学对象有美的感受 这是主观的 但实际上也具有客观性 它属于数学的传统 数学领域外的人往往并不能够体会 研究和从事数学教学的人往往会认为简单的数学对象和方法是美的 数学对象之间的和谐统一是美的 某些奇异的数学对象是美的 等等 数学美被认为是数学家创造过程中的重要因素 当数学家面临着多种选择是 数学美被认为是引导数学家进行选择的重要因素 像阿达玛等著名数学家都十分肯定数学美在创造中的价值 有人认为 数学的发展就是从不美到美的过程 证明 所有的实数构成一个不可数集证 0 1 中的所有实数构成不可数集假设可数 由于数学的抽象 它被认为是最难学习的一门学科 这在中外皆如此 如果能够在数学教学中将数学变成一种美的学科 学习数学成为欣赏美的过程 那将是非常理想的时期 数学教学中数学美的研究正是以此为目的 我们希望起码数学美要能成为数学学习中的 味素 在教学中 数学