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本节目标 1 理解绝对值的几何意义 能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理 2 会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式 会求简单绝对值不等式的最值 1 设a b是满足ab a b b a b a b c a b a b d a b a b 解析 ab 0且 a b 2 a2 b2 2ab a b 2 a2 b2 2ab a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab a b 2 故a d不正确 b正确 又由定理1的推广知c不正确 答案 b 前置学习 2 若a b r 且 a 3 b 2则 a b 的最大值是 最小值是 解析 a b a b a b 1 3 2 a b 3 2 5 答案 51 前置学习 3 求函数f x x 1 x 1 的最小值 解 x 1 x 1 1 x x 1 1 x x 1 2 当且仅当 1 x 1 x 0 即 1 x 1时取等号 当 1 x 1时 函数f x x 1 x 1 取得最小值2 前置学习 4 若对任意实数 不等式 x 1 x 2 a恒成立 求a的取值范围 解 a x 1 x 2 对任意实数恒成立 a x 1 x 2 min x 1 x 2 x 1 x 2 3 3 x 1 x 2 3 x 1 x 2 min 3 a 3 即a的取值范围为 3 前置学习 原点 距离 长度 a a b ab 0 三角形的两边之和大于第三边 a b a b b c 0 精讲详析 本题的特点是绝对值符号较多 直接去掉绝对值符号较困难 从所证的不等式可以看出 不等式的左边为非负值 而不等式右边的符号不定 如果不等式右边非正 这时不等式显然成立 当不等式右边为正值时 有 a b 所以本题应从讨论 a 与 b 的大小入手 结合作差比较法 可以使问题得以解决 方法规律 含绝对值不等式的证明题主要分两类 一类是比较简单的不等式 往往可通过平方法 换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明 或利用绝对值三角不等式性质定理 a b a b a b 通过适当的添 拆项证明 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式 往往可考虑利用一般情况成立 则特殊情况也成立的思想 或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明 精讲详析 本题考查绝对值三角不等式的应用 解答本题可先求出 a b a b 的最值 再通过 a b 与它们相等时进行讨论求出最大值 方法规律 1 求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强 本题直接求 a b 的最大值比较困难 可采用 a b a b 的最值 及ab 0时 a b a b ab 0时 a b a b 的定理 达到目的 其巧妙之处令人赞叹不已 2 求y x m x n 和y x m x n 的最值 其主要方法有 借助绝对值的定义 即零点分段 利用绝对值几何意义 利用绝对值不等式性质定理 随堂检测 在线完成1 2
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