《复变函数论》试题库答案.doc

试卷一至十四参考答案复变函数考试试题（一）参考答案一 判断题12 610二填空题1. ； 2. 1； 3. ，； 4. ； 5. 16. 整函数； 7. ； 8. ； 9. 0； 10. .三计算题.1. 解 因为 所以 .2. 解 因为 ,.所以.3. 解 令, 则它在平面解析, 由柯西公式有在内, . 所以.4. 解 令, 则 . 故 , .四. 证明题.1. 证明 设在内. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为. 消去得, .1) 若, 则 为常数.2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (为常数).所以为常数.2. 证明的支点为. 于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到 时, 只有的幅角增加. 所以的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在的幅角为, 故.复变函数考试试题（二）参考答案一. 判断题.1 6 10.二. 填空题1.1， ； 2. ； 3. ； 4. 1； 5. .6. ，. 7. 0； 8. ； 9. ； 10. 0.三. 计算题1. 解 .2. 解 令. 则. 又因为在正实轴去正实值，所以. 所以.3. 单位圆的右半圆周为, . 所以.4. 解=0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令,则. (为实常数). 令. 则. 即满足, 且连续, 故在内解析.(充分性) 令, 则 , 因为与在内解析, 所以, 且.比较等式两边得 . 从而在内均为常数,故在内为常数.2. 即要证“任一 次方程 有且只有 个根”. 证明 令, 取, 当在上时, 有 . .由儒歇定理知在圆 内, 方程 与 有相同个数的根. 而 在 内有一个 重根 . 因此次方程在 内有 个根.复变函数考试试题（三）参考答案一. 判断题1 6 10.二.填空题.1.; 2. ; 3. ; 4. 1; 5. ;6. 1; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .三. 计算题.1. 解 .2. 解 . 所以收敛半径为.3. 解 令 , 则 .故原式.4. 解 令 , . 则在 上均解析, 且, 故由儒歇定理有 . 即在 内, 方程只有一个根.四. 证明题.1. 证明 证明 设在内. 令. 两边分别对求偏导数, 得 因为函数在内解析, 所以. 代入 (2) 则上述方程组变为. 消去得, .1) , 则 为常数.2) 若, 由方程 (1) (2) 及 方程有 , .所以. (为常数).所以为常数.2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至多次多项式或常数. 复变函数考试试题（四）参考答案一. 判断题.1 6 10 .二. 填空题.1. , ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 整函数;6. 亚纯函数; 7. 0; 8. ; 9. ; 10. .三. 计算题.1. 2. 解 , . 故原式.3. 解 原式.4. 解 =，令，得，而 为可去奇点 当时， 而 为一阶极点.四. 证明题.1. 证明 设, 在下半平面内任取一点, 是下半平面内异于的点, 考虑 .而, 在上半平面内, 已知在上半平面解析, 因此, 从而在下半平面内解析.2. 证明 令, , 则与在全平面解析, 且在上, ,故在内.在上, , 故在内.所以在内仅有三个零点, 即原方程在内仅有三个根.复变函数考试试题（五）参考答案一. 判断题.1 6 10.二. 填空题.1.2, , ; 2. ; 3. , ; 4. ; 5. 0; 6. 0; 7. 亚纯函数; 8. ; 9. 0; 10. . 三. 计算题.1. 解 令, 则 . 故 , .2. 解 连接原点及的直线段的参数方程为 , 故.3. 令, 则. 当时, 故, 且在圆内只以为一级极点, 在上无奇点, 故, 由残数定理有.4. 解 令 则在内解析, 且在上, , 所以在内, , 即原方程在 内只有一个根.四. 证明题.1. 证明 因为, 故. 这四个偏导数在平面上处处连续, 但只在处满足条件, 故只在除了外处处不可微.2. 证明 取 , 则对一切正整数 时, . 于是由的任意性知对一切均有. 故, 即是一个至多次多项式或常数.复变函数考试试题（六）参考答案一、判断题：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.二、填空题：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 阶 7. 整函数 8. 9. 0 10. 欧拉公式 三、计算题：1. 解：因为 故.2. 解： 因此 故 .3.解： 4.解： 5解：设, 则. 6解：四、1. 证明：设则在上， 即有. 根据儒歇定理，与在单位圆内有相同个数的零点，而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数为6. 2.证明：设，则, 由于在内解析，因此有 , .于是故，即在内恒为常数. 3.证明：由于是的阶零点，从而可设 ，其中在的某邻域内解析且，于是 由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.复变函数考试试题（七）参考答案一、判断题：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 二、填空题：1. 2. 3. 4. 1 5. 1 6. 阶 7. 整函数 8. 9. 0 10. 三、计算题：1. 解：2. 解： 因此 故 .3. 解： 因此4. 解： 由于，从而. 因此在内有 5解：设, 则. 6.解：设，则，故奇点为.四、证明题：1. 证明：设则在上， 即有.根据儒歇定理知在内与在单位圆内有相同个数的零点，而在内的零点个数为7，故在单位圆内的根的个数为7.2.证明：设，则 已知在区域内解析，从而有将此代入上上述两式得因此有 于是有. 即有 故在区域恒为常数.3.证明：由于是的阶零点，从而可设 ，其中在的某邻域内解析且，于是 由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.五、计算题解：根据线性变换的保对称点性知关于实轴的对称点应该变到关于圆周的对称点，故可设复变函数考试试题（八）参考答案一、判断题：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.二、填空题：1. 2. 3. 4. 5. 1 6. 7. 8. 9. 5 10. 三、计算题：1. 解：由于在解析，所以而因此.2. 解： 因此 故 .3. 解： 因此 4.解： 由于，从而因此在内有 5解：设, 则. 6解：设, 则 在内只有一个一级极点因此 .四、证明：1. 证明：设则在上， 即有.根据儒歇定理知在内与在单位圆内有相同个数的零点，而在内的零点个数为7，故在单位圆内的根的个数为7 2. 证明：因为，在内连续, 所以, 当时有 从而有 即与在连续，由的任意性知与都在内连续3.证明：由于是的阶零点，从而可设 ，其中在的某邻域内解析且，于是 由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.五、解：1.设，则将区域保形映射为区域2.设, 则将上半平面保形变换为单位圆.因此所求的单叶函数为 .复变函数考试试题（九）参考答案一、判断题（20分）1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、二、填空题（20分）1、 2、 3、 4、1 5、1 6、 7、整函数 8、 9、8 10、三、计算题（30）1、解：2、解： 因此 故 .3、解：4、解： 由于，从而. 因此在内有 5、解：设, 则. 6、解：设则在内有两个一级极点，因此，根据留数定理有四、证明题（20分）1、证明：设则在上， 即有. 根据儒歇定理，与在单位圆内有相同个数的零点，而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数为6.2、证明：设，则, 由于在内解析，因此有 , .于是故，即在内恒为常数.3、证明：由于是的阶零点，从而可设 ，其中在的某邻域内解析且，于是 由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.五、计算题（10分）解：1、设则将区域保形变换为区域.2、设,则将区域保形变换为区域3、设则将保形变换为上半平面,因此,所求的单叶函数为复变函数考试试题（十）参考答案一、判断题（40分）：1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二、填空题（20分）：1. 2. 3. 4. 5. 三、计算题（40分）1. 解：在上解析，由积分公式，有 2. 解：设，有3. 解： 4. 解：， 故，5. 解：令， 则，在内均解析，且当时由定理知根的个数与根的个数相同.故在内仅有一个根.复变函数考试试题（十一）参考答案一、12二、1 1 2 159. 10. 三、1解： .又 .故.2.解: (1) 奇点为对任意整数, 为二阶极点, 为本性奇点. (2) 奇点为为本性奇点,对任意整数,为一级极点,为本性奇点.3. (1)解: 共有六个有限奇点, 且均在内,由留数定理,有 将在的去心邻域内作展开 所以.(2)解: 令,则 再令则,故由留数定理,有4.解：儒歇定理：设为一条围线，若函数与均在内部及上解析且，则与在内部的零点个数相同.令, 则在内解析且当时 ,由儒歇定理的根个数与根个数相同故在内有4个根.四、1.证明: 由在上半平面内解析,从而有因此有故在下半平面内解析.2.证明: (1) 则 故,即在上为的上升函数. (2)如果存在及使得则有 于是在内恒为常数,从而在内恒为常数.复变函数考试试题（十二）参考答案一、判断题.1. 2. 3. 4. 5. 二、填空题.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.本性 10. 三、计算题.1.解： 由 得 从而有2.解：（1）的各解析分支为，. 为的可去奇点，为的一阶极点。 （2）3.计算下列积分解：（1）（2）设令， 则 4.儒歇定理：设是一条围线，及满足条件： （1）它们在的内部均解析，且连续到； （2）在上，则与在的内部有同样多零点，即 有 由儒歇定理知在没有根。四、证明题1证明：.设 有 易知，在任意点都不满足条件，故在复平面上处处不解析。2.证明：于高阶导数公式得 即故 从而复变函数考试试题（十三）参考答案一、填空题（每题分）1. 2. 及 3. 4. 5. 6. 7.椭圆8. 9. 10. 二、计算题计算下列各题（分）解: (1) (2) (3) 2. 解: 故共有三个根: , , 3. 解: 是调和函数. 4. 解 (1) (2) 5. 解: 时 时 6. 解: (1) (2) 7.解: 设 和为上半平面内的两个一级极点,且 8. (1) (2) 9. 解: 设,则 当且仅当时,满足条件,故仅在可导,在平面内处处不解析.三、1. 证明: 设,因为为常数,不妨设 (为常数) 则 由于在内解析,从而有, 将此代入上述两式可得 于是 因此在内为常数.2. 解: 设, （，为实常数）则故的轨迹是直线 复变函数考试试题（十四）参考答案一、 1、 2、且3、0 4