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力学 物理奥赛培训 2011年5月福建福州 厦门大学物理学系苏国珍 gzsu 一 质点运动学二 牛顿运动定律三 动量定理动量守恒定律四 动能定理机械能守恒定律五 质心运动定律六 角动量定理角动量守恒定律七 刚体的平衡八 万有引力与天体运动九 简谐振动 一 质点运动学 一 基本知识 1 质点运动的一般描述 1 1运动方程与轨道方程 轨道方程 运动方程 1 2速度 反映质点运动的快慢和方向的物理量 瞬时速度沿轨道切线方向 1 3加速度 反映速度 大小和方向 变化快慢的物理量 加速度与速度的方向一般不同 2 抛体运动 速度 运动方程 轨道方程 推论 3 1圆周运动的加速度 3 圆周运动 3 2圆周运动的角量描述 角位置 t 角速度 角加速度 3 3角量和线量的关系 4 相对运动 4 1运动描述与参照系 对物体运动的描述与参照系有关 位移 速度 加速度的测量与参照系有关 4 2不同参照系间位移 速度和加速度的变换 二 拓展知识 1 一般曲线运动 1 1一般曲线运动中的加速度 1 2曲率半径的物理求法 椭圆的曲率半径 轨道方程 对应运动方程 A点 同理 抛物线的曲率半径 轨道方程 对应运动方程 其中 2 连体运动问题 解题方法一 运动的分解 情形1 两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连 他们在连线方向的位移 速度和加速度相等 解 情形2 两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等 v1 v2 P 例1 2如图示 一半径为R的半圆柱体沿水平方向以速度v0作匀速运动 求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为 时竖直杆运动的速度 解 R O 练习 顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动 其下端由凸轮M推动 凸轮绕过O点的水平轴以角速度 转动 在图示的瞬时 OA r 凸轮轮缘与A接触处法线n与OA夹角为 试求此瞬时顶杆AB的速度 参考答案 情形3 两直线相交点的运动等于各直线沿对方直线方向运动的合运动 例1 3水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速v0竖直下落 如图所示 试求套在该直线和圆圈的交点处小环M的速度 解 练习 如图 一平面内有两根夹角为 细杆l1和l2 两细杆各自以垂直于自己的速度v1和v2在该平面内运动 试求两细杆交点P的速率 A对B 解题方法二 运动的合成 相对运动 一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换 B对地 A对地 例1 4如图 缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上 今以恒定速度v拉绳 当绳与竖直方向夹角为 时 求线轴中心O的运动速度v 设线轴的外半径为R 内半径为r 线轴沿水平面作无滑动滚动 解 情况1 线轴座逆时针方向转动 设转动角速度为 B点相对于地面的速度 B点相对O的速度大小 由式 3 可知 情况1出现的条件为 情况2 线轴座顺时针方向转动 同理可得 出现情况2的条件为 例1 5续例11 求重物上升的加速度 以地面为参照系 A的加速度 以O点为参照系 绳子末端A作圆周运动 其加速度沿绳子方向的分量 即向心加速度大小为 解 例1 6续例12 求竖直杆运动的加速度 P R O 以圆心O为参照系 P点作圆周运动 其速度大小为 P点相当于地面的加速度 向心加速度 关键 找出各物体间位移间的关系 进而得到速度 加速度之间的关系 解题方法三 微积分 解 P v0 vP 例1 8如图示 一半径为R的半圆柱体沿水平方向以速度v0作匀速运动 求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为 时竖直杆运动的速度和加速度 y R x O A 解 例1 9水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速v0竖直下落 如图所示 试求套在该直线和圆圈的交点处小环M的速度和加速度 解 二 牛顿运动定律 一 基本知识 第一定律 定性反映了物体的运动与其受力之间的关系 引入惯性参照系的概念 第二定律 定量性反映了物体的运动规律与其受力之间的关系 第三定律 反映了力的来源 力来自物体间的相互作用 正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状态不断发生改变 使得自然界不断地变化发展 1 牛顿运动定律 2 自然界中的力 2 1万有引力 任何物体之间都存在的相互吸引力 2 2重力 使物体产生重力加速度的力 重力来源于地球对物体的引力 若忽略地球的惯性离心力 则 重力加速度与物体质量无关 比萨铁塔落体实验 逻辑推理 2 3弹力 物体由于形变而对引起形变的物体产生的作用力 2 4摩擦力 相互接触的物体间产生的一对阻止相对运动或相对运动趋势的力 滑动摩擦力 摩擦力总是阻止相对运动 摩擦力总是阻止相对运动 一人被困在冰面上 冰面水平光滑 无法离开 请你替他想一个办法使他能够离开该冰面 自行车在粗糙的水平面上起动时 前轮和后轮所受的摩擦力方向如何 二 拓展知识 接触面 沿法线方向 1 关于弹力 1 1弹力的大小 微小形变 微小振动为简谐振动 1 2弹力的方向 弹力的方向总是与形变方向相反 杆 较复杂 绳子 沿绳子方向 1 3弹簧的串联与并联 2 关于摩擦力 2 1摩擦力的大小 两接触物体相对滑动的条件 fs N 无滑动 决定于物体的运动和所受的其他力 有滑动 摩擦力的方向总是沿接触面切线方向 2 2摩擦力的方向 无滑动 决定于物体的运动和所受的其他力 有滑动 与相对运动速度方向相反 解 解 2 3摩擦力的作用时间 可能有两种情况 例2 3一质量为M的平板沿光滑水平面以速度V0运动 质量为m的小球从h处落下 与平板发生碰撞后弹起 已知小球弹起时沿竖直方向的分速度大小与碰撞前速度大小之比为e 球与平板间的摩擦系数为 求小球碰撞后的速度与水平方向的夹角 解 情况1 tf tN tf tN的条件 vx V 即 情况2 tf tN tf tN的条件 3 四种基本力 宏观世界里除了重力来源于万有引力外 其它的力几乎都源于电磁力 4 非惯性参照系的动力学问题 4 1惯性参照系与非惯性参照系 4 2非惯性参照系中的牛顿第二定律 m M 解1 解1 三 典型题解 例2 5在光滑的水平桌面上有质量为m的小车C 车上有质量为4m和m的立方块A和B 它们与小车表面之间的摩擦系数 0 5 今用一恒力F沿水平方向作用在滑轮上 求A B C的加速度 A B C 解 第一种情况 A B与小车间均无相对滑动 A B与小车间无相对滑动的条件 结论 A O a 解 无滑动条件 f N 为使大 小环间始终无滑动 以上不等式对任意 都要成立 因此 令 根据牛顿第二定律可得 两式相除 有三角形相似可知 解 依题意 由此可得 例2 8如图所示 长为2l的轻绳 两端各系一个质量为m的小球 中央系一个质量为M的小球 三球均静止于光滑的水平桌面上 绳处于拉直状态 三球在一条直线上 今给小球M以一个冲量 使它获得水平速度v0 v0的方向与绳垂直 求 1 M刚受冲量时绳上的张力 2 在两端的小球发生碰撞前瞬间绳中的张力 解 1 以M为参照系 m绕M作以速度v0作圆周运动 M刚受冲量时 绳子对M的作用合力为零 M为惯性参照系 因此 2 以M为参照系 m绕M以速度v 作圆周运动 此时M有加速度aM 为非惯性参照系 三 动量定理动量守恒定律 一 基本知识 1 质点的动量定理 1 1牛顿第二定律的普遍形式 1 2质点的动量定理 动量定理反映了力对时间的积累效应 2 质点系的动量定理 内力只是使系统内各质点产生动量的交换 但不改变质点系的总动量 3 动量守恒定律 若系统在某一方向所受的合力的冲量为零 则该方向动量守恒 二 拓展知识 1 变力的冲量 2 动量定理 定理守恒定律与参照系 动量定理 动量守恒定律只适用于惯性参照系 在非惯性参照系中使用动量定理 需计入惯性力的冲量 在非惯性参照系中 动量守恒定律的适用条件为外力与惯性力的合力为零 3 碰撞问题 3 1碰撞的物理过程 3 2一般碰撞 3 3完全弹性碰撞 3 4完全非弹性碰撞 三 典型题解 例3 1一机枪质量为M 放置于光滑水平面上 内装有n颗质量为m的子弹 当它在水平方向射出子弹时 子弹的出口相对速度为u 假定在1min内连续发射了这n颗子弹 试求 1 发射结束后机枪的后退速度 2 如果nm M 试讨论上述结果的近似值 解 1 2 例3 2如图所示 有一列N节 含机车 的火车 车厢之间由完全非弹性的车钩相连接 机车与每节车厢的质量均为m 机车与每节车厢所受的阻力均为自身重量的 倍 火车以恒定牵引力启动 1 若启动时各节间的车钩已拉紧 求启动火车所需的最小牵引力 2 若启动前每一车钩间隙等于L 则启动火车所需的最小牵引力为多少 1 k k 1 F N 1 k k 1 F N vk 1 k 1 k 2 F N vk 1 a b c 解 1 2 例3 3如图所示 四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子依次连接 置于光滑水平面上 三根绳子形成半个正六边形保持静止 今有一冲量作用在质点A 并使这个质点速度变为u 方向沿绳向外 试求此瞬间质点D的速度 u A的速度或B的速度在B A连线方向的分量u1 B或C的速度在C B连线方向的分量u2 D的速度或C的速度在D C连线方向的分量 解 B球 C球 D球 联立以上各式 解得 解 根据 1 5 可得 系统落地时的速度 解 1 2 四 动能定理机械能守恒定律 一 基本知识 1 质点的动能定理 动能定理反映了力对空间的积累效应 2 质点系的动能定理 内力所做的总功一般不为零 即内力一般要改变系统的总动能 例 内力可以改变系统的总动能 3 势能 3 1保守力 做功只与物体的始 末位置有关 而与物体的运动路径无关的力 几种常见保守力的势能 4 功能原理机械能守恒定律 4 1功能原理 4 2机械能守恒定律 封闭保守系统 二 拓展知识 1 变力做功 x0 x xi xi xi t F O 2 功 能与参照系 动能定理 机械能守恒定律只适用于惯性参照系 在非惯性参照系中使用动能定理 需计入惯性力所做的功 在非惯性参照系中 机械能守恒定律的适用条件为外力 非保守内力及惯性力所做的总功为零 力做功一般与参照系 即使是惯性系 有关 但成对相互作用力做功与参照系无关 例4 6 在某一过程中 动能的增量一般与参照系 即使是惯性系 有关 但势能的增量 与成对保守力做功相联系 与参照系无关 所以相同的过程对某一参照系机械能守恒 但对另一参照系却可能不守恒 一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组成一体系 置于光滑水平桌面上 弹簧的另一端与固定墙面相连 小球做一维自由振动 试问 若视弹簧和物体m为一个体系 则在一沿此弹簧长度方向以速度u作匀速运动的参考系里观察 此体系的机械能是否守恒 并说明理由 三 典型题解 解 1 以地面为参照系 A的加速度 以O点为参照系 A作圆周运动 其加速度沿绳子方向的分量 即向心加速度大小为 2 先计算A B加速度之间的关系 O L 2L B A vA vA vA aB aA 再求绳子中的张力 练习如图所示 质量为m 半径为R 表明光滑的圆柱体B放在光滑的水平桌面上 有一质量也等于m的细长直杆A 被固定的光滑套管C约束在竖直方向 A可自由上下运动 初始时 杆的下端正好与圆柱体顶点接触 系统保持静止状态 因受一微小扰动 使A B从静止开始运动 求 1 当杆A与圆柱面接触点的连线和竖直方向夹角为 时 杆A的速度 2 此时杆A与圆柱体将的相互作用力 参考答案 解 1 以上不等式有解 即开始上升时 M m v R V 解 脱离球面的条件 N 0 则 解 m2刚好能被提起的条件 机械能守恒 解 1 考察物体第n次来回运动 物体停止在位置x n的条件 物体最终停止的位置为 2 根据功能原理 3 物体来回一次的时间 因此可得物体从开始运动到最终停止所经历的时间 1 物块滑到斜面底端的速度 解 物块在斜面上滑动的加速度 以传输带为参照系 物块滑到传输带的初速度大小 运动方向与传输带边缘的夹角 满足 物块在传输带上作减速运动 加速度大小 当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离 物块不超过传输带宽的边缘对应的最小摩擦系数 2应满足 物块对传输带的摩擦力大小 单位时间内物块对传输带所做的功 2 传输带上与传送带间存在相对滑动的货物质量 单位时间内传输带对物块所做的功 或 以地面为参照系 单位时间内摩擦力对传输带和物块所做的功分别为 以传送带为参照系 单位时间内摩擦力对传输带和物块所做的功分别为 力做功一般与参照系 即使是惯性系 有关 但成对相互作用力做功与参照系无关 五 质心运动定理 一 基本知识 1 质心 2 质心运动定理 系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正比 与系统的总质量成反比 加速度的方向沿合外力的方向 内力不影响系统质心的运动 二 拓展知识 1 柯尼希定理 质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和 此结论称为柯尼希定理 特别地 两质点构成的质点系统的总动能为 推论 质心参照系中两质点构成的质点系统的总动能为 在讨论孤立质点系的运动时 采用质心系是方便的 在质心系里 体系的动量恒为零 且孤立体系的质心系是惯性系 功能定理和机械能守恒定律都能适用 2 质心参照系 取质心为坐标原点建立的参考系称为质心参考系或质心系 即使讨论非孤立体系的运动 采用质心系也是方便的 可以证明 当质心系为非惯性参考系时 功能定理和机械能守恒定律也仍然正确 这是因为在质心参照系中 作用在各质点上的惯性力所做的总功为零 三 典型题解 例5 1如图 求当人从小车的一端走到另一端时 小车相对与地面移动的距离 解 M m R O 解 解 例5 4一轮船质量为M 以速度V0行驶 船上一人以相对轮船的速度v 向前投掷一质量m的球 问需做功多少 图a 若向后投掷情况又如何 图b 解1 向前抛 向后抛 成对相互作用例所做的总功与参照系无关 解2 不管向前或先后抛 六 角动量定理角动量守恒定律 一 基本知识 1 力矩 质点对参考点O的角动量定义为 2 质点的角动量 3 质点的角动量定理和角动量守恒定律 质点的角动量守恒 角动量守恒 动量未必守恒 4 质点系的角动量定理和角动量守恒定律 质点系的角动量守恒 内力不改变系统的总角动量 二 典型题解 解 例6 2如图所示 质量为m的小球B放在光滑的水平槽内 现以一长为l的细绳连接另一质量为m的小球A 开始时细绳处于松弛状态 A与B相距为l 2 球A以初速度v0在光滑的水平地面上向右运动 当A运动到图示某一位置时细绳被拉紧 试求B球开始运动时速度vB的大小 l 2 l B A A 300 解 机械能守恒 角动量定理 1 解 对小球1 同理对小球2 初速度的方向与水平线的夹角 得任意t时刻球2的位置坐标 球2脱离细杆时 解 1 螺旋环的角动量 角动量守恒 2 根据角动量守恒和机械能守恒定律 解得 另解 1 2 七 刚体的平衡 一 基本知识 1 刚体平衡条件 1 物体受力的矢量和为零 2 对矩心的合力矩为零 2 刚体平衡的稳定性 满足平衡条件的刚体 若受到扰动 便离开平衡位置 若它会自动回到平衡位置 则称为稳定平衡 若它会更远离平衡位置 则称为不稳定平衡 若平衡位置的周围仍是平衡位置 则称为随遇平衡 二 典型题解 例7 1匀质杆OA重P1 长为l1 能在竖直平面内绕固定铰链O转动 此杆的A端用铰链连另一重为P2 长为l2的均匀杆AB 在AB杆的B端加一水平力F 求平衡时此两杆与水平线所成的角度 与 的大小 以及OA与AB间的作用力 解 以AB为研究对象 有 1 以OA AB为研究对象 有 以AB为研究对象 其所受的合力为零 因此 2 N的方向与水平线的夹角 满足 解 设任一小突起Ai对其的压力为Pi 则 i 2 6 考虑薄片A6B6 根据力矩平衡条件可得 例7 3用20块质量均匀分布的相同光滑积木块 在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥 如图所示 已知每一积木块的长度为l 横截面是边长为h l 4的正方形 要求此桥具有最大跨度 即桥孔底宽 试计算跨度与桥孔高度的比值 解 例7 4有一半径为R的圆柱A 静止在水平地面上 并与竖直墙面相接触 现有另一质量与A相同 半径为r的较细圆柱B 用手扶着圆柱A 将B放在A的上面 并使之与墙面相接触 如图所示 然后放手 己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0 20 两圆柱之间的静摩擦系数为0 30 若放手后 两圆柱体能保持图示的平衡 问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径的值各应满足什么条件 B A r R 对A球 对B球 解 联立 1 6 解得 1 2 3 4 5 6 圆柱B与墙面的接触点不发生滑动 圆柱A在地面上不发生滑动 两圆柱的接触点不发生滑动 综合上述结果 可得到r满足的条件 八 万有引力与天体运动 一 基本知识 1 开普勒三定律 第一定律 行星围绕太阳运动的轨道为椭圆 太阳在椭圆轨道的一个焦点上 第二定律 行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 第三定律 各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方之比值相等 2 万有引力与引力势能 2 1万有引力 2 2引力势能 开普勒定律角动量守恒机械能守恒 3 解题技巧 二 典型题解 解 r S r 例8 2地球和太阳的质量分别为m和M 地球绕太阳作椭圆运动 轨道的半长轴为a 半短轴为b 如图所示 试求地球在椭圆顶点A B C三点的运动速度大小及轨迹在A B C三点的曲率半径 M m A C O b a A 解 A B两点 A C两点 例8 3质量为M的宇航站和对接