ZXXKCOM201309142359065873192.doc

2012-2013学年江苏省苏州市木渎高级中学天华学校高三（上）12月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1（5分）函数y=sinxcosx的最小正周期是1考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质分析：利用二倍角公式把函数的解析式化为sin（ 2x），从而求得它的最小正周期解答：解：函数y=sinxcosx=sin（ 2x），故函数的周期为 =1，故答案为1点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角公式的应用，属于基础题2（5分）（2010南通模拟）曲线y=2xlnx在点（1，2）处的切线方程是xy+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题分析：求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可解答：解：由函数y=2xlnx知y=2，把x=1代入y得到切线的斜率k=2=1则切线方程为：y2=（x1），即xy+1=0故答案为：xy+1=0点评：考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程3（5分）若实数x，y满足则z=x+2y的最大值是2考点：简单线性规划专题：数形结合分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可解答：解：满足题中约束条件的可行域如图所示目标函数z=x+2y取得最大值，即使得函数在y轴上的截距最大结合可行域范围知，当其过点P（0，1）时，Zmax=0+21=2故答案为：2点评：本题考查简单线性规划，解题的重点是作出正确的约束条件对应的区域，根据目标函数的形式及图象作出正确判断找出最优解，4（5分）（2010徐州二模）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1BCO的体积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：计算题分析：三棱锥B1BCO的体积，转化为三棱锥OBCB1的体积，求出O到侧面的距离即可解答：解：三棱锥B1BCO的体积，转化为三棱锥OBCB1的体积，V=故答案为：点评：本题考查棱锥的体积，是基础题5（5分）已知等比数列an的前n项和为Sn，若a3=，S3=，则a1的值为或6考点：等比数列的前n项和专题：计算题分析：设出等比数列的首项和公比，分公比q等于1和不等于1两种情况列式求首项，公比等于1时，三倍的a1即为前三项的和，公比不等于1时用等比数列前n项和公式写出前三项的和解答：解：设等比数列an的首项为a1，公比为q，若q=1，由，得：若q1，则，由得：，代入得：，代入得：a1=6所以a1的值为或6故答案为或6点评：本题考查了等比数列的前n项和，考查了分类讨论思想，等比数列的前n项和公式只有在公比不等于1时成立，公比等于时，Sn=na1，此题为基础题6（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD交于点F则=考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由四边形ABCD是正方形，求得AE的长，再由ABEFDE，根据相似三角形的对应边成比例，求得EF的大小再利用另个向量的数量积的定义求得=cos（FDE）的值解答：解：四边形ABCD是正方形，DE=CD=，ADE=90，ABCD，FDE=45AE=ABCD，ABFEDF，BF：DF=AB：DE=2，FD=BD=，=cos（FDE）=（）=，故答案为点评：此题考查两个向量的数量积的定义，相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理，属于中档题7（5分）已知，且090，则cos的值为考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系专题：计算题分析：由090，可求得454545，从而可求得cos（45），利用两角和的余弦即可求得cos的值解答：解：090，454545，又sin（45）=，cos（45）=，cos=cos（45）+45=cos（45）cos45sin（45）sin45=（）=故答案为：点评：本题考查两角和与差的余弦函数，考查同角三角函数间的基本关系，求得cos（45）的值是关键，也是难点，属于中档题8（5分）（2010盐城三模）已知A，B，F分别是椭圆的上、下顶点和右焦点，直线AF与椭圆的右准线交于点M，若直线MBx轴，则该椭圆的离心率e=考点：椭圆的应用；椭圆的简单性质专题：计算题分析：由题意可知，再由A，F，M三点共线可知从而推出，由此能够导出该椭圆的离心率解答：解：由题意可知，A（0，b），F（c，0），M，A，F，M三点共线，答案：点评：本题考查椭圆的离心率，解题时要灵活运用公式，恰当进行等价转化9（5分）（2010孝感模拟）设点P（x0，y0）是函数y=tanx与y=x（x0）的图象的一个交点，则（x02+1）（cos2x0+1）=2考点：弦切互化专题：计算题；转化思想分析：由点P（x0，y0）是函数y=tanx与y=x（x0）的图象的一个交点，可得出x02=tan2x0，代入（x02+1）（cos2x0+1）化简求值即可得到所求答案解答：解：点P（x0，y0）是函数y=tanx与y=x（x0）的图象的一个交点x02=tan2x0，（x02+1）（cos2x0+1）=（tan2x0+1）（cos2x0+1）=2故答案为2点评：本题考查正切函数的图象，解题的关键是根据P（x0，y0）是函数y=tanx与y=x（x0）的图象的一个交点得出x02=tan2x，从而把求值的问题转化到三角函数中，得以顺利解题10（5分）在平面直角坐标系中，若符合点A（1，2），B（m，1）到直线l的距离分别为1，2的直线有且仅有2条，则实数m的取值范围是（12，1+2）考点：两条直线的交点坐标专题：计算题；直线与圆分析：由A（1，2），B（m，1）到直线l的距离分别为1，2的直线有且仅有2条，知|AB|=2+1，由此能求出实数m的取值范围解答：解：A（1，2），B（m，1）到直线l的距离分别为1，2的直线有且仅有2条，如图：|AB|=2+1，12m1+2实数m的取值范围是（12，1+2）故答案为：（12，1+2）点评：本题考查点到直线的距离，两直线的位置关系，体现了数形结合的数学思想，得到不存在和线段AB有交点的直线，是解题的关键11（5分）（2010镇江一模）若不等式对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是km，+），则正整数m只能取 1或2考点：其他不等式的解法专题：计算题；转化思想分析：将不等式两边同除以xy转化为，左边用基本不等式，求其最小值，再由“不等式对于任意正实数x，y总成立”得到求得k的范围，最后由“成立的必要不充分条件是km，+）”，求得正整数m的取值解答：解：不等式两边同除以xy得：不等式对于任意正实数x，y总成立对于任意正实数x，y总成立又总成立的必要不充分条件是km，+），m，+），正整数m只能取 1或2故答案为：1或2点评：本题主要考查不等式恒成立，往往转化为求代数式的最值问题，一般有两种方法，一是基本不等式，二是函数法12（5分）已知m1，n1，且，（a1），则loga（mn）的最大值为考点：基本不等式；对数的运算性质专题：综合题分析：令logam=x，（x0），logan=y（y0），可得到（x1）2+（y1）2=4，再通过三角换元即可求得答案解答：解：依题意，令logam=x，（x0），logan=y（y0），则log2am=x2，log2an=y2，=2（logaa+logam）=2+2x，同理可得，=2+2y，log2am+log2an（2）=x2+y22x22y2+2=0，（x1）2+（y1）2=4，令x1=2cos，y1=2sin，则x=1+2cos，y=1+2sin，loga（mn）=logam+logan=x+y=1+2cos+1+2sin=2+2sin（+）2+2故答案为：2+2点评：本题考查对数的运算性质，考查三角换元，考查转化思想与抽象思维能力，属于难题13（5分）（2011深圳一模）已知等差数列an首项为a，公差为b，等比数列bn首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1b1，b2a3，对于任意的nN*，总存在mN*，使得am+3=bn成立，则an=5n3考点：等差数列与等比数列的综合专题：计算题；压轴题分析：先利用a1b1，b2a3，以及a，b都是大于1的正整数求出a=2，再利用am+3=bn求出满足条件的b的值即可求出等差数列an的通项公式解答：解：a1b1，b2a3，ab以及baa+2bb（a2）ab，a21a3，a=2又因为 am+3=bna+（m1）b+3=ban1又a=2，b（m1）+5=b2n1，则b（2n1m+1）=5又b3，由数的整除性，得b是5的约数故2n1m+1=1，b=5，an=a+b（n1）=2+5（n1）=5n3故答案为5n3点评：本题考查等差数列与等比数列的基础知识考查了学生的计算能力以及对数列知识的综合掌握，解题时注意转化思想的运用，属于基础题14（5分）（2013宿迁一模）已知函数f（x）=|x1|1|，若关于x的方程f（x）=m（mR）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是（3，0）考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：画出函数f（x）=|x1|1|的图象，可得方程f（x）=m（mR）恰有四个互不相等的实数根是地，m的取值范围，进而求出方程的四个根，进而根据m的范围和二次函数的图象和性质，可得x1x2x3x4的取值范围解答：解：函数f（x）=|x1|1|的图象如下图所示：由图可知，若f（x）=m的四个互不相等的实数根，则m（0，1）且x1，x2，x3，x4分别为：x1=m，x2=2m，x3=m+2，x4=m，x1x2x3x4=（m2）24m2=（m22）24（3，0）故答案为：（3，0）点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中画出函数的图象，引入数形结合思想是解答本题的关键二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15（14分）（2012湖北模拟）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（）求的值；（）若，求ABC面积的最大值考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理专题：计算题分析：（）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值解答：（本小题满分13分）解：（I）因为，所以（1分）又=+=（6分）（II）由已知得，（7分）又因为，所以（8分）又因为，所以ac6，当且仅当时，ac取得最大值（11分）此时所以ABC的面积的最大值为（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力16（14分）（2012盐城二模）在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABCD，ABBC，AB=BC=1，DC=2，点E在PB上（1）求证：平面AEC平面PAD；（2）当PD平面AEC时，求PE：EB的值考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质专题：空间位置关系与距离分析：（1）过A作AFDC于F，根据中线等于斜边一半可得ACDA，再根据线面垂直的性质定理可知ACPA，最后根据线面垂直的判定定理可得AC底面PAD，再根据面面垂直的判定定理可得结论； （2）连接BD交AC于点O，连接EO，根据线面平行的性质定理可知PDEO，则PE：EB=DO：OB，而DO：OB=DC：AB=2，从而可求出PE：EB的值解答：（1）证明：过A作AFDC于F，则CF=DF=AF，所以DAC=90，即ACDA 2分又PA底面ABCD，AC面ABCD，所以ACPA 4分因为PA、AD面PAD，且PAAD=A，所以AC底面PAD 6分而AC面ABCD，所以平面AEC平面PAD 8分 （2）解：连接BD交AC于点O，连接EO，因为PD平面AEC，PD面PBD，面PBD面AEC=EO，所以PDEO11分则PE：EB=DO：OB，而DO：OB=DC：AB=2，所以PE：EB=2 14分点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及线面平行的性质，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于基础题17（14分）如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转摄影者有一视角范围为60的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由考点：平面向量数量积坐标表示的应用专题：平面向量及应用分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SCOB于C，则有CSB=30，ASB=60SA=，在RtSAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，CSO=30，在RtSCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系设M（cos，sin），0，2），则N（cos，sin），由（）知S（3，），利用向量的数量积的坐标表示可求cosMSN=，1，结合余弦函数的性质可求答案解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SCOB于C，依题意CSB=30，ASB=60又SA=，故在RtSAB中，可求得BA=3，即摄影者到立柱的水平距离为3米（3分）由SC=3，CSO=30，在RtSCO中OC=SCtan30=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系设M（cos，sin），0，2），则N（cos，sin），由（）知S（3，）（8分）故=（cos3，sin+），=（cos3，sin+），=（cos3）（cos3）+（sin）（sin）=11（10分）|=由0，2）知|11，13（12分）所以cosMSN=，1，MSN60恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的 关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理18（16分）（2010盐城一模）已知O：x2+y2=1和点M（4，2）（）过点M向O引切线l，求直线l的方程；（）求以点M为圆心，且被直线y=2x1截得的弦长为4的M的方程；（）设P为（）中M上任一点，过点P向O引切线，切点为Q试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由考点：直线与圆的位置关系专题：综合题分析：（）找出圆的圆心坐标和半径，设切线方程的斜率为k，由M的坐标和k写出切线l的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d让d等于半径r得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可；（）根据点到直线的距离公式求出M到已知直线的距离d，然后利用勾股定理即可求出圆M的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可；（）假设存在这样的R点，设出R的坐标，并设出P的坐标，根据圆的切线垂直于过切点的半径得到三角形OPQ为直角三角形，根据勾股定理表示出PQ的长，然后利用两点间的距离公式表示出PR的长，设PQ与PR之比等于，把PQ和PR的式子代入后两边平方化简得到一个关系式记作（*），又因为P在M上，所以把P的坐标当然到M的方程中，化简后代入到（*）中，根据多项式对应项的系数相等即可求出R的坐标和的值解答：解：（）由O：x2+y2=1得到圆心O（0，0）半径r=1，设切线l方程为y2=k（x4），易得，解得，切线l方程为；（）圆心M到直线y=2x1的距离d=，设圆的半径为r，则，M的方程为（x4）2+（y2）2=9；（）假设存在这样的点R（a，b），点P的坐标为（x，y），相应的定值为，根据题意可得，即x2+y21=2（x2+y22ax2by+a2+b2）（*），又点P在圆上（x4）2+（y2）2=9，即x2+y2=8x+4y11，代入（*）式得：8x+4y12=2（82a）x+（42b）y+（a2+b211），若系数对应相等，则等式恒成立，解得，可以找到这样的定点R，使得为定值如点R的坐标为（2，1）时，比值为；点R的坐标为时，比值为点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程，是一道综合题19（16分）已知函数f（x）=x（xa）2，g（x）=x2+（a1）x+a（其中a为常数）；（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；（2）设a0，问是否存在，使得f（x0）g（x0），若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由（3）记函数H（x）=f（x）1g（x）1，若函数y=H（x）有5个不同的零点，求实数a的取值范围考点：函数与方程的综合运用；函数的零点；利用导数研究函数的极值专题：计算题分析：（1）对函数f（x）求导可得f（x）=3x24ax+a2=（3xa）（xa），由f（x）=0，可得得x=a或，而g（x）在处有极大值，从而可得a（2）假设存在，即存在，使得f（x）g（x）0，由，及a0，可得xa0，则存在，使得x2+（1a）x+10，结合二次函数的性质求解（3）据题意有f（x）1=0有3个不同的实根，g（x）1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等g（x）1=0有2个不同的实根，只需满足；f（x）1=0有3个不同的实根，从而结合导数进行求解解答：解：（1）f（x）=x（xa）2=x32ax2+a2x，则f（x）=3x24ax+a2=（3xa）（xa），令f（x）=0，得x=a或，而g（x）在处有极大值，或；综上：a=3或a=1 （4分）（2）假设存在，即存在，使得f（x）g（x）=x（xa）2x2+（a1）x+a=x（xa）2+（xa）（x+1）=（xa）x2+（1a）x+10，当时，又a0，故xa0，则存在，使得x2+（1a）x+10，（6分）1当即a3时，得，a3；2当即0a3时，得a1或a3，a无解；综上：a3 （9分）（3）据题意有f（x）1=0有3个不同的实根，g（x）1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等（）g（x）1=0有2个不同的实根，只需满足；（）f（x）1=0有3个不同的实根，1当即a0时，f（x）在x=a处取得极大值，而f（a）=0，不符合题意，舍；2当即a=0时，不符合题意，舍；3当即a0时，f（x）在处取得极大值，；所以；因为（）（）要同时满足，故；（注：也对）（12分）下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在x0使得f（x0）1=0和g（x0）1=0同时成立；若存在x0使得f（x0）=g（x0）=1，由f（x0）=g（x0），即x0（x0a）2=x02+（a1）x0+a，得（x0a）（x02ax0+x0+1）=0，当x0=a时，f（x0）=g（x0）=0，不符合，舍去；当x0a时，既有x02ax0+x0+1=0；又由g（x0）=1，即x02+（a1）x0+a；联立式，可得a=0；而当a=0时，H（x）=f（x）1g（x）1=（x31）（x2x1）=0没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等综上，当时，函数y=H（x）有5个不同的零点 （16分）点评：本题主要考查了导数在求解极值中的应用，解得本题不但要熟练掌握函数的导数的相关的知识，还要具备一定的逻辑推理的能力，此题对考生的能力要求较高20（16分）已知各项均为整数的数列an满足：a9=1，a13=4，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若存在正整数m、p使得：am+am+1+am+p=amam+1am+p，请找出所有的有序数对（m，p），并证明你的结论考点：等差数列与等比数列的综合专题：计算题；综合题；探究型；分类讨论分析：（1）各项均为整数的数列an满足：a9=1，a13=4，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，列方程，分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，即可求出数列an的通项公式；（2）根据（1）得出数列an为：9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，1，2，4，8，16，分类讨论当am，am+1，am+p均为负数和当am，am+1，am+p均为正数，可得am+am+1+am+p=0，根据负数项只有九项，我们按负数项分类：即可求得结果解答：解：（1）设由前12项构成的等差数列的公差为d，从第11项起构成的等比数列的公比为q，由，可得，或又数列an各项均为整数，故； 所以，（2）数列an为：9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，1，2，4，8，16，当am，am+1，am+p均为负数时，显然am+am+1+am+p0，所以amam+1am+p0，即am，am+1，am+p共有奇数项，即p为偶数；又最多有9个负数项，所以p8，p=2时，经验算只有（3）+（2）+（1）=（3）（2）（1）符合，此时m=7；p=4，6，8时，经验算没有一个符合；故当am，am+1，am+p均为负数时，存在有序数对（7，2）符合要求当am，am+1，am+p均为正数时，m11且mN*，am+am+1+am+p=2m11+2m10+2m+p11=2m11（1+2+2p）=2m11（2p+11）因为2p+11是比1大的奇数，所以am+am+1+am+p能被某个大于1的奇数（2p+11）整除，而不存在大于1的奇约数，故am+am+1+am+pamam+1am+p；故当am，am+1，am+p均为正数时，不存在符合要求有序数对； 当am，am+1，am+p中既有正数又有负数，即am，am+1，am+p中含有0时，有amam+1am+p=0，所以am+am+1+am+p=0，因为负数项只有九项，我们按负数项分类：含1个负数项时，1，0，1，符合，此时m=9，p=2；含2个负数项时，2，1，0，1，2，符合，此时m=8，p=4；含3个或4个负数项时，经验算不存在符合要求的；含5个负数项时，5，4，32，1，0，1，2，4，8，符合，此时m=5，p=9；含6个及6个以上负数项时，经验算不存在符合要求的；故当am，am+1，am+p中既有正数又有负数时，存在三组有序数对（9，2），（8，4），（5，9）符合要求；综上，存在四组有序数对（9，2），（8，4），（5，9），（7，2）符合要求点评：本题是难题，考查等比数列和等差数列的综合问题，考查分析问题解决问题的能力和运算能力，体现了分类讨论的数学思想方法三、附加题21（20分）【选做题】（1）已知矩阵，向量求向量，使得A2=（2）椭圆中心在原点，离心率为，点P（x，y）是椭圆上的点，若的最大值为10，求椭圆的标准方程考点：椭圆的标准方程；二阶矩阵；特征值与特征向量的计算专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用矩阵的运算，建立方程组，即可求得向量；（2）设出题意的参数方程，利用三角函数知识，即可求椭圆的标准方程解答：解：（1）设，由A2=得：，（2）由题意，离心率为，设椭圆标准方程是，它的参数方程为（是参数），最大值是5c，依题意5c=10，c=2，故椭圆的标准方程是点评：本题考查矩阵的运算，考