数学人教版九年级上册用函数的观点看一元二次方程.docx

用函数的观点看一元二次方程教学目标：1通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。 2使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。 3进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。教学重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。教学难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点教学环节：一、引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。 根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是yx22x。(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? （最大值）(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内? （就是求如图(2)B点的横坐标）问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m? 教学要点解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的 函数关系式为：yax2 (a0) (1)因为AB与y轴相交于C点，所以CB0.8(m)，又OC2.4m，所以点B的坐标是(0.8，2.4)。因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 2.4a0.82 所以：a 因此，函数关系式是 yx2 (2)因为OF1.5m，设FDx1m(x10)，则点D坐标为(x1，1.5)。因为点D的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)， 得 1.5x12 x12 x1 x1不符合假设，舍去，所以x1。ED2FD2x123.1621.26(m)所以涵洞ED是m，会超过1m。问题3：画出函数yx2x3/4的图象，根据图象回答下列问题。(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y0?这里x的取值与方程x2x0有什么关系?(3)你能从中得到什么启发?教学要点1先让学生回顾函数yax2bxc图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数yx2x的图象。2教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(，0)和(，0)。6对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，达成共识：从“形”的方面看，函数yx2x的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2x0的解；从“数”的方面看，当二次函数yx2x的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2x0的解。更一般地，函数yax2bxc的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2bxc0的解；当二次函数yax2bxc的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2bxc0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。三、基础训练1、下列各抛物线与x轴是否有公共点，如果有，求出公共点的坐标.（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+42、判断下列各抛物线与坐标轴的交点个数.（1）y=6x2-2x+1 （2）y=2x2-6x3、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则a= ；4、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个公共点，则a的范围是 5、关于x的方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在 象限.四、例题分析：1、已知抛物线y=x2+2x+m+1与x轴只有一个公共点，求m的值.2、求证:不论k取何值时，抛物线y=x2-kx-2+k与x轴总有两个不同的交点.3、抛物线y=-x2-x+12中,x 时，y=0. x 时，y0.x 时，y0.4、(1)抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的条件是什么？(2)抛物线y=ax2+bx+c 在x轴下方的条件是什么？(3)不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a0）的值永远是正值的条件是什么？(4)已知:抛物线y=mx2-2(3m-1)x+9m-1,无 论x取何值时,函数y的值都是非负数. 求:m的取值范围.联想：二次函数与x轴的交点个数可以借助判别式解决，那么二次函数与一次函数的交点个数又该怎么解决呢？例如，二次函数yx22x3和一次函数yx2有交点吗？有几个？分析：两个函数的交点是这两个函数的公共解，先列出方程组，消去y后，再利用判别式判断即可.5.二次函数yx2x3和一次函数yxb有一个公共点（即相切），求出b的值.小结：1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）2、若一元二次方程ax2+