数学人教版九年级上册实际问题与二次函数（1）.docx

22.3.1实际问题与二次函数（第1课时）芜湖白茆中心校 谢同林教学目标： 知识与技能能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系，会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值） 过程与方法能将实际问题转化为二次函数问题,进而建立数学模型解决,从中体会数学建模的思想和数学来源于生活又服务于生活. 数学与思考利用二次函数的图像性质解决实际问题,体会数形结合的思想. 情感、态度与价值观通过实际问题与二次函数的联系,体验二次函数知识的实际应用价值,感受数学与人类生活的密切联系.教学重、难点 重点: 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法 难点: 理解与应用函数图像顶点、端点与最值的关系.教学过程： 一、新课导入： 1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，y的最 值是 .2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最_ 值，是 . 3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最_ 值，是 . 二、知识讲解：问题:用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S随矩形一边长 l 的变化而变化当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l的值. 矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为 m，场地的面积: S=l(30-l) 即S=-l2+30l(0l30)可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大值. 即l是15m时，场地的面积S最大.（S=225) 用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S随矩形一边长 l 的变化而变化当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 三、结论： 1由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 2列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围. 3在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值. 四、运用新知，拓展训练 例题讲解：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？请同学们带着以下几个问题读题（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况：设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式.涨价x元,则每星期少卖 件，实际卖出 件,每件利润为 元，因此，所得利润为 元. y=(60+x-40)(300-10x)即y=-10（x-5）2+6250当x=5时，y最大值=6250也可以这样求最值。所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.由公式可以求出顶点的横坐标，如下图在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案.解析：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出（300+20x)件，每件利润为（60-40-x）元，因此，得利润y=(300+20x)(60-40-x) =-20(x-5x+6.25)+6125 =-20（x-2.5）+6125x=2.5时，y最大值=6125你能回答了吧！由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?五、随堂练习：1（包头中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm22.某商店购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500个，据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个. (1)假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是_元，这种篮球每月的销售量是 个(用x的代数式表示) (2)8000元是否为每月销售篮球的最大利润?如果是，说明理由，如果不是，请求出最大月利润,此时篮球的售价应定为多少元?8000元不是每月最大利润，最大月利润为9000元，此时篮球的售价为70元.3.（2010荆门中考）某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.（1）假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润=销售收入购进成本）解析：（1）降低x元后，所销售的件数是（500+100x）,y=100x2+600x+5500 （0x11 ）（2）y=100x2+600x+5500 （0x11 ）配方得y=100（x3）2+6400 当x=3时，y的最大值是6400元.即降价为3元时，利润最大.所以销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.答：销售单价为10.5元时，最大利润为6400元. 六、课堂小结 1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解