数学人教版九年级上册垂径定理及其推论.doc

垂径定理及其推论的教学设计一、基本信息授课课题垂径定理及其推论授课课型复习课授课教师授课时间从教时间手机号码二、教学设计【内容分析】垂径定理及其推论是圆中的一个重要内容，它揭示了弦、直径及弦所对的弧之间的一种特殊的位置关系。解题时过圆心作已知弦的垂线是常用的辅助线，其目的是应用垂径定理的有关结论。【学情分析】有效教学旨在以最优的效率促进学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观“三个维度”上获得良好的发展。授课学校是学困生高度集中的学校，学生数学基础薄弱，突破掌握知识技能方面的瓶颈是难点。知识技能方面特点，决定了日积月累的“先天不足”，导致进入初中阶段“后天畸形”的尴尬，要加工、纠正和提升，难度大。【教学目标】知识目标：1、进一步熟悉垂径定理及其推论的应用。2、能运用垂径定理及其推论解决有关数学问题。3、会综合利用圆的有关性质解决有关数学问题。能力目标：1、 通过教学，提高学生分析基本图形、添加辅助线探索解题思路的能力。2、 通过把实际问题转化成一个数学问题，了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力。3、 通过练习，总结常用解题方法，渗透分类、方程、构造直角三角形等数学思想。情感目标：学会与同学交流合作，培养团队精神，体验学习过程中成功的快乐，增强学习数学的信心与热情。【教学重点】掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及其推论解决有关数学问题。【教学难点】在圆中解决有关弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，构造直角三角形。【任务分析】1、 通过课前限时练习，帮助学生回顾垂径定理及其推论的内容，形成良好的知识结构。2、 通过探究活动，帮助学生掌握应用垂径定理及其推论解决有关数学问题的解题思路、规律与技巧。3、 通过课后分层练习，帮助学生掌握重点知识，突破难点，提高学生灵活应用垂径定理及其推论解决数学问题的能力。【教学策略】采用“以问题为中心”的教学方法进行，让学生在问题解决过程中，不仅熟悉知识、优化知识结构，而且通过问题的解决，掌握方法和规律，提升灵活应用知识、分析解决问题的能力。【教学过程】一、知识梳理四个元素： （1）直径（过圆心） （2）垂直于弦 （3）平分弦（此弦非直径） （4）平分弦所对的弧师生活动：（问1）在上述四个元素中，只要知道其中几个元素，就可以推出其余元素呢？ （问2）求这些元素的方法是什么？归纳：在这四个元素中，只要知道其中的两个元素，就可以推出其余两组关系。（简称为知二推二）（尽量由学生归纳，老师再板书总结）师生活动：教师带领学生一起归纳垂径定理及其推论的四个元素，从而得到垂径定理及其推论的用处就是“知二推二”设计意图：让学生进一步了解垂径定理及其推论的作用，引导学生知道题目的哪些信息是在提醒他们用垂径定理或者垂径定理的推论。二、 探究活动探究一：如图，在O中，半径为10，OCAB于点D，OD8，求AB的长。 师生活动：连接半径，构造直角三角形，从而用勾股定理得到结果。并追问学生此题是知什么推什么？设计意图：引导学生作简单的辅助线，并将垂径定理与勾股定理结合起来，此题是知道半径和弦心距，求弦长。变式1：如图，在O中，AB=16，OCAB于点D，CD=4，求半径。师生活动：连接半径，构造直角三角形，从而用勾股定理得到结果。并追问学生此题是知什么推什么？设计意图：引导学生作简单的辅助线，并将垂径定理与勾股定理以及设未知数列方程等知识结合起来，此题是知道弦长和弦心距，求半径。变式2：如图，O的半径OC弦AB于点D，连结AO并延长交O于点E，连结ED，若AB=8，CD=2，求ED的长。师生活动：在前面几个题目的基础上，学生可以想到构造直角三角形，作辅助线连结EB，学生思考，尝试解决，如果学生有困难，教师可以提示学生中位线定理。设计意图：此题在变式2的基础上加大了一点点难度，除了要构造两次直角三角形之外，还需要用到中位线的知识点，达到综合运用所学知识的目的。变式3：一条排水管的界面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面的宽CD的长度。师生活动：学生自己思考，求弦长需要构造直角三角形，并要知道半径和弦心距，而此题的弦心距发生了变化，引导学生寻找变化中的不变元素。设计意图：根据一组变式，让学生巩固垂径定理的知识，并让学生更加明确什么时候用，为什么要用，怎么就联想到用，和哪些知识配合探究二：如图，AB、CD是半径为5的O两条弦，其中AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，求PA+PC的最小值。变式：如图，P、Q为EF上的任意一点，且PQ=4，求QA+PC的最小值。师生活动：小组讨论，找到题目的突破口，求线段和的最小值就是找到点的对称点，运用垂径定理以及轴对称的性质，找到最小值。设计意图：引导学生掌握“转化”思想，把陌生问题转化为熟悉问题（将军饮马问题）来解决。三、 课时小结1、 你认为垂径定理及其推论的核心元素有哪些？2、运用垂径定理及其逆定理解决问题时，有哪些解决方法？四、 课后作业【A组】1、如图1，O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM取值范围是（ ） A.3OM5 B.3OM5 C.4OM5 D.4OM52、如图2，AB是O的弦，OCAB于点C，若AB=8，OC=3，则半径OB的长为（ ）A.3 B.4 C.5 D.103、如图3，O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，A=22.5，OC=4，则CD的长为（ ）A. B.4 C. D.84、如图4，已知O的半径为6 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP2 cm，则tanOPA的值是_【B组】1、 如图1，AB，AC都是圆O的弦，OMAB，ONAC，垂足分别为M，N， MN3， BC_2、如图2，O过点B、C，圆心O在等腰直角ABC的内部，BAC900，OA1，BC6，则O的半径为（ ）A. B. C. D.3、如图3，在平面直角坐标系中，P与x轴相切，与y轴相交于A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是( )A(5，3) B(5，4) C(3，5) D(4，5)4、已知O的半径为13cm，弦ABCD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ） A17cm B7 cm C12 cm D17 cm或7 cm 【C组】1如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D是O上一点，ODAC，垂足为E，连接BD.(1)求证：BD平分ABC；(2)当ODB30时，求证：BCOD.2、如图所示