第二章群(练习附答案).doc

1. 设是实数集, 则对任意的, 代数运算 ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律2. 在群中, 的阶为12, 则的阶为 ( B ) (A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 63在7次对称群中和, 则等于（ A ）(A) (B) (C) (D) 7. 在群中, , 则方程和分别有唯一解为 ( B )(A) , (B) , (C) , (D) , 8. 设是正整数集, 则对任意的, 下面“o”是代数运算的是( B )(A) (B) (C) (D) 9. 设是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是的自同构的是( D )(A) (B) (C) (D) 10. 在偶数阶群中阶等于2的元数为 ( A )(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定11在5次对称群中元和的乘积是（ D ）(A) (B) (C) (D) 12若群的阶为48, 的真子群的阶不可能为 ( C )(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 24 13群中元的阶为24中，那么的循环子群的阶为 ( C ) (A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 921所有整数,令: ,当是偶数;,当是奇数.则为 ( B )(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换22若,且的阶为有限整数,则下列说法正确的是 ( A )(A) 与模的剩余类加群同构 (B) 的阶可能无限(C) 元中没有相同元 (D) 与整数加群同构24. 设是有理数集, 则对任意的,下列“o”是代数运算的是( C )(A) (B) (C) (D) 25. 在群中, , 则方程的唯一解为 ( D )(A) (B) (C) (D) 26在6次对称群中的阶是（ A ）(A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 631. 设是实数集, 则对任意的, 代数运算 ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律32. 设是有理数集, 则对任意的,下列“o”是代数运算的是( A )(A) (B) (C) (D) 33. 在群中, , 则方程的唯一解为 ( D )(A) (B) (C) (D) 34在5次对称群中的阶是（ B ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 537. 在16阶循环群中 , 循环子群的阶为 ( D ) (A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 840若群的阶为48, 的子群的阶为16，则在中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42.若为群,则 .3.循环群的阶是50，则它的子群的阶是 10 .5.次对称群的阶为 .6.假定,那么 , .11.一个有限非可换群至少含有_ 6 _个元素 . 14.5次对称群的阶为 120 .19.设是17阶群，则的生成元有 16 个.28.若群的元的阶是15，的阶是8,且, 则和的阶分别是 15 和 120 .30. 若群的阶为60, 的子群的阶为15，则在中的指数为 4 .35. 若是由集合的全体一一变换所作成, 则是一个 变换 群.1设,则能找到到的一一映射. ( )7有限群中存在某个元的阶无限. ( )1. 用循环置换的方法写出三次对称群的全体元.说明集合是的子群,并且写出的所有左陪集.解: ,(2分) 因为是有限集合, 由,知是封闭的,所以是的子群.(4分)的全体左陪集为(6分):,4.求出阶是32的循环群的所有子群.这些子群是否都是不变子群.解: 因为为循环群,所以为交换群,又因为32的所有正整数因子为：1，2，4，8，16,36. 所以循环群的所有子群为循环子群：，,，. 并且这些子群都是不变子群. 7.找出对称群的所有子群.解:因为，它的子群的阶只可能为：1，2，3，6. 所以它的所有子群为：1阶子群； 2阶子群，； 3阶子群； 6阶子群。9.取对称群的元和,计算，.解: ，, (或) ,（或） 12.求剩余类加群的所有生成元和所有子群.解：因为剩余类加群是循环加群，所以它的所有生成元为：； 所有子群为：. 16.用循环置换的方法写出5次对称群的元和,并计算，.解: ， ， , (或) ,（或） . （或） 17.求出模48的剩余类加群的所有子群.这些子群是否是不变子群?解: 因为为循环群,所以为交换群,又因为48的所有正整数因子为：1，2，3，4，6，8，12，16,24，48. 所以模48的剩余类加群的所有子群为循环子群：(1), (2),(3),(4), (6), (8), (12), (16), (24), (0). 并且这些子群都是不变子群. 1. 设群中元的阶为，试证：当且仅当.证明: 必要性:设, 其中为整数, , 那么有, 由的阶为知,即. 充分性:由可设, 其中为整数, 那么有, 8.若群的每一个元都适合方程，那么是交换群.证明: 任取, 可知，, 所以 所以是交换群.9.证明: 一个循环群必是一个交换群.证明: 设循环群，任取，则有 所以循环群是交换群. 12. 证明：有限群中元的阶都有限.证明: 设是一个有限群，对任意的，则元 都是中元，且其中一定有相同元. 不妨设，则有，即. 由且为有限正整数得的阶为有限.13. 证明: 阶为素数的群一定是循环群,且群中任意元都可作为群的生成元.证明: 设是一个阶为素数的有限群,则对任意的,的循环子群有个不同的元, 所以为循环群, 且群中任意元都可作为群的生成元.1、设是群中的元素，且，则。 ( ) 2、法则不是自然数集上的一个代数运算。()3、设集合，则上所有对换作成的集合是次对称群的一个生成系。()4、设是实数集，规定：，则是上的一个等价关系。( )5、交换群中任意两个子群的乘积仍是子群。()7、设是循环群中一个元素，则当且仅当。()8、若，则到的映射是满射当且仅当是单射。()3、试求置换，的阶。4、任意集合上自身到自身的映射称之为置换。()5、有限群中的元素的阶一定都有限。()3、在群中设